单级移动倒立摆建模及串联PID校正..

课程设计题目单级移动倒立摆建模及串联PID校正学院自动化学院班级电气1003班姓名xxx指导教师刘志立2013 年 1 月16 日课程设计任务书学生姓名： xxx 专业班级： 电气1003班指导教师： 刘志立 工作单位： 自动化学院题 目: 单级移动倒立摆建模及串联PID 校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；2、要求系统输出动态性能满足,5.1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串联PID校正装置。

3、 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。

时间安排：指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录摘要 (1)1单级移动倒立摆系统的建模 (2)1.1倒立摆系统建模 (2)1.2单级移动倒立摆的数学模型的线性化 (3)2绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 (4)2.1绘制Bode图 (4)2.绘制Nyquist图 (5)3单级移动倒立摆系统的串联PID校正 (6)3.1设计PID控制器装置 (6)2.2确定PID参数 (7)4用MATLAB对校正后的系统进行校正分析 (9)4.1绘制校正后系统的bode图 (9)4.2绘制校正后系统的Nyquist图 (10)4.3系统校正后的比较 (11)5心得体会.............................................. . (12)参考文献 (13)本科生课程设计成绩评定表 (14)摘要倒立摆系统是一个典型的非线性多变量强耦合不稳定的非最小相位系统，在航天航空和机电一体化等领域得到了广泛的应用，如在火箭箭身的姿态稳定控制及机器人多自由运动稳定的设计都用到了倒立摆系统。

近年来智能控制技术得到了飞速发展，以倒立摆作为研究对象，用各种智能控制技术解决非线性系统的稳定控制问题成为了诸多学者不断用来研究和验证的手段。

因此对其进行工程化应用研究和更深度理论基础研究意义重大。

倒立摆系统利用牛顿运动定律建立直线型一级倒立摆系统模型，基于PID控制的思想，运用试探法整定PID参数，设计PID控制器控制倒立摆系统的稳定。

由MATLAB仿真验证设计的控制器是合理的。

关键词：倒立摆PID控制参数整定MATLAB单级移动倒立摆建模及串联PID校正1单级移动倒立摆系统的建模1.1倒立摆系统建模在惯性参考系的光滑水平平面上，放置一个可以水平于纸面方向左右自由移动的小车，一根钢性的摆杆通过末端的一个不计摩擦的固定点连接点与小车相连构成一个倒立摆。

倒立摆和小车共同构成了单级移动倒立摆系统。

倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。

倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然能够保持竖直向上的状态。

在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到轻微的摄动下就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。

对于单级倒立摆系统,由于存在空气阻力和各种摩擦力的影响，致使该系统为非线性系统。

为了建立数学模型我们得忽烈一部分对系统影响较小的力，如系统运行时空气对其的阻力，杆与小车之间的静摩擦力，小车与地面的滑动摩擦力等,倒立摆系统就能等效为一个典型运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

图1.1为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

2====M kg m kg l m g m s1.2,0.3,0.8,10/图1-1 倒立摆装置示意图在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m；摆杆的长度为l，在某一瞬间时刻的摆角为θ，在水平方向施加控制力u，此时小车在水平方向的位移为x，此时的摆心瞬时位置为（x + l错误！未找到引用源。

inθ）。

在水平方向，由牛顿第二定律即在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡即1.2单级移动倒立摆的数学模型的线性化为了避免复杂的求解微分方程的运算以缩短实时控制系统的响应时间，考虑到摆角θ很小，且在操作点0θ=0附近的微小变化，根据倒立摆的垂直位置可以近似等效为：θ≈sin θ≈0，θcos ≈1， 。

故可得系统运动方程式的简化公式为：将上式进行拉普拉斯变换得式的简化公式为：2222()()()()()ml s s U s X s s l s s g s θθθ+=+=（M+m ）X(s)s 联立求解：代入M (小车的质量)=1.2kg ，m (倒立摆的质量)=0.3g ，l(倒立摆的长度)=0.8m ，g(重力加速度)=10m/s 2到上式得2()1()()0.9615s G s U s s θ==--2222(sin )d x d M m x l u dt dt θ++=2()cos sin M m x ml ml u θθθθ++-=22(sin )cos sin d m x l l mgl dt θθθ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦22cos cos sin cos sin x l l g θθθθθθθ+-=)M m x ml uθ++=（x l g θθ+=2)(1)()(Mls g M m s u s -+=θ项忽略很小时θθθ2,2 绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图2.1绘制Bode图伯德（Bode）图也称为对数频率特性曲线，是用对数幅频特性和对数相频特性表示频率特性的曲线。

它的横坐标为ω，按常用对数lgω分度。

对数幅频特性的纵坐标为()20lg()dB；而对数相频特性的纵坐标表示=A，单位为分贝()Lωωϕω，单位为度()︒。

为()应用MATLAB绘制系统的Bode图，编程如下：num=[-1];den=[0.96 0 -15];sys=tf(num,den);Margin(sys)得到系统Bode图如图2-1所示图2-1 bode图2.2绘制Nyquist 图奈奎斯特(Nyquist)图也称福相频率特性曲线或极坐标图。

它是以复平面的矢量表示G(jω)的一种方法。

开环系统Nyquist 图绘制的方法为：当ω从0→∞变化时，可由幅频和相频特性公式计算出各点所对应的|)(ωj G k |和)(ωϕ。

在复平面逐点描绘可以画出开环系统的幅相频特性曲线。

但是这种方法计算麻烦一般不采用，实际中常采用概略绘图的方法。

概略绘图法：由某些特殊的幅相频特性来绘制开环系统的幅相频特性曲线，一般常采用ω=0起点，ω= ∞终点，ω=1/T 转折频率及过负实轴的点。

运用MATLAB 来作出系统的Nyquist 图，编程如下：num=[-1];den=[0.96 0 -15];Nyquist(num,den)得到系统Nyquist 图如2-2所示图2-2 Nyquist 图3单级移动倒立摆系统的PID 校正设计PID 控制器来控制系统，要求系统输出动态性能满足%3.4≤σ，s t s 5.1≤。

3.1设计PID 控制器装置从所得倒立摆线性化后的传递函数模型可以看出, 该系统因为含有不稳定的零极点, 所以是一个自不稳定的非最小相位系统 。

该方法的主要思想是:根据给定值 r 与系统的实际输出值 c 构成控制偏差 e,然后将偏差的比例 ( P)、 积分 ( I)和微分 (D)三项通过线性组合构成控制量 ,对被控对象进行控制 ,故称为 P I D 控制。

则PID 控制用于倒立摆系统的原理如下图：图3-1 PID 控制器原理图PID 控制器各环节的特点：比例环节放大时，系统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但比例太大时系统振荡次数会增加，调节时间变长，甚至会不稳定。

积分控制可消除系统稳态误差，但会使系统滞后增加稳定性变差，反应速度变慢。

微分控制可提高系统动态特性（减少超调量和反应时间），使系统稳态误差减小。

其控制规律为：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰t d t e T dt t de T t e k t u i d p 1 设PID 控制器的传递函数为：s K sK K G d i p c ++= 即： ss K K s K G d i P c 2++= 而倒立摆系统的传递函数为：()()1596.012--=Φ=s s U s G 则校正后系统的开环传递函数为：ss K s K s K GG ip d c 1596.032-++-=3.2确定PID 参数应用MATLAB 对倒立摆系统进行仿真来确定PID 控制器的参数,,p i d K K K 。

编程如下：num=[Kd Kp Ki];den=[-0.96 0 15 0];bode(num,den)sys=tf(num,den)sysc=sys/(1+sys);t=0:0.05:2;step(sysc,t) %校正后系统单位阶跃响应图 impulse(sysc,t) %校正后系统的单位脉冲响应图 （其中,,p i d K K K 为待定PID 参数）由倒立摆系统的传递函数可知系统为自不稳定的非最小相位系统，故p K 、i K 、d K 均为负值。

首先，i K 、d K 分别置零，p K 从小调到大直到仿真图上出现稳态振荡，即波形在实轴上下作等幅振荡，这时得到p K =-1000。

其次，由于系统存在较大的惯性环节，先调节i K 没有效果，这时可先调节d K ，消除稳态振荡，直到示波器上超调量和调节时间在给定范围内，这时d K 也有一个范围。

再次，在对应d K 范围内调i K ，在超调量和调节时间在给定范围内的前提下减小稳态误差，得到一个i K 范围。

最后，初步定下p K 、i K 、d K 参数-1000、-100、-100，对应的单位阶跃响应曲线如图3-2所示：图3-2校正后系统单位阶跃响应图根据图3-2可以得出系统校正后：超调量 1.06 1.02=3.9%1.02σ-=调节时间 s t =0.229s满足设计要求指标：s t s 5.1%,3.4%≤≤σ经过验证，PID 控制器参数整定正确，符合课程设计的要求。

4 用MATLAB 对校正后的系统进行仿真分析校正后系统的开环传递函数为：231001000100(s)0.9615s s G s s++=- 下面应用MATLAB 绘制校正后的系统Bode 图和Nyquist 图4.1 绘制校正后系统的Bode 图调出MATLAB ，编写程序： num=[100,1000,100]; den=[0.96,0,-15,0]; sys=tf(num,den) margin(sys);得到校正后系统的Bode 图如图4-1所示：图4-1 校正后系统的Bode 图4.2 绘制校正后系统的Nyquist图打开MATLAB，编写程序：clear，num=[100 ,1000,100];den=[0.96,0,-15 0];nyquist(num,den)得到校正后系统的Nyquist图如图4-2所示：图4-2 校正后系统的Nyquist图4.3 系统校正前后的比较校正前，系统发散不稳定，加入串联PID 校正环节后，比例环节放大时，系统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但比例太大时系统震荡次数会增加，调节时间变长；积分控制可以消除系统稳态误差，但会使系统反应速度变慢；微分环节可提高系统动态性能，减少超调量和调节时间。