2022-2023学年北京市大兴区九年级上学期期中考试数学考前自检试卷含详解

北京市大兴区2022-2023学年九年级上学期期中数学考前自检试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.已知地球上海洋面积约为316000000km²，数据316000000用科学记数法可表示为（）
A.3.16×109
B.3.16×107
C.3.16×108
D.3.16×106
2.抛物线()2
31y x =-+的顶点坐标是（）
A
.()
3,1 B.
()
3,1- C.
()
3,1- D.
()
3,1--3.下列一元二次方程中有两个相等实数根的是()
A .
2x 2－6x ＋1＝0
B.3x 2－x －5＝0
C.x 2＋x ＝0
D.x 2－4x ＋4＝04.已知菱形的两条对角线长分别为和8cm 和10cm,则菱形的面积为（）
A.2
cm B.402
cm C.
2
D.2
5.抛物线y=x 2﹣8x+m 的顶点在x 轴上，则m 等于（）
A.-16
B.-4
C.8
D.16
6.用配方法解方程2x 2x 70--=时，原方程应变形为()
A.2(x 1)6+=
B.2(x 2)6+=
C.2(x 1)8
-= D.2(x 2)8
-=7.将抛物线22y x =向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）
A.
223
y x =+ B.
223
y x =- C.
2
2(3)y x =- D.2
2(3)y x =+8.某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（）
A.12%
B.9%
C.6%
D.5%
二、填空题（共8题；共16分）
9.分解因式：231212x x -+=________．
10.已知a 是方程x 2﹣2018x+1=0的一个根a ，则a 2﹣2017a +
2
2018
1
a +的值为_____．11.在平面直角坐标系中，点P （﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P ′的坐标是____．12.方程(5)2x x x -=的根是________.
13.写出一个开口向下，对称轴为直线2x =的抛物线的解析式______．
14.如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若
正方形ABCD ，则AK =__________．
15.抛物线y=x 2﹣4x+3与x 轴两个交点之间的距离为_____．
16.如图所示直线y 33与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为__．
三、解答题（共12题；共68分）
17.解方程：3(1)33x x x +=+．18.在做解方程练习时，有一个方程“y 1
25
-
=y +■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x ＝2时整式5（x ﹣1）﹣2（x ﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
19.已知二次函数y=ax 2﹣2ax+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 左B 右），与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC ，求：二次函数的解析式．
20.如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()30A -,
和点()10B ,，交y 轴于点C .
(1)求这个抛物线的函数表达式；
(2)若点D 的坐标为()1,0-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值.21.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
22.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一
球，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间满足函数表达式()2
4y a x h =++，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．
（1）当a=-
1
24
时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为12
5
m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．
23.已知二次函数解析式为2223y x mx m =-++(m 是常数)．（1）求证：不论m 为何值，函数图象与x 轴总是没有公共点；
（2）把该函数图象沿平行y 轴方向怎样平移，得到的图象与x 轴只有一个交点？
24.某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．
25.
某校在艺术节选拔节目过程中，从备选的“街舞”、“爵士”、“民族”、“拉丁”四种类型舞蹈中，选择一种学生最喜爱的舞蹈，为此，随机调查了本校的部分学生，并将调查结果绘制成如下统计图表（每位学生只选择一种类型），根据统计图表的信息，解答下列问题：⑴本次抽样调查的学生人数及a 、b 的值.⑵将条形统计图补充完整．
⑶若该校共有1500名学生，试估计全校喜欢“拉丁舞蹈”的学生人数.
类型民族拉丁爵士街舞
据点百分比a 30%b 15%
26.已知函数()()11y x m
x m =+--，()2
0y
ax m a =+¹在同一平面直角坐标系中．
（1）若1y 经过点（1，-2），求1y 的函数表达式．
（2）若2y 经过点（1，m +1），判断1y 与2y 图象交点的个数，说明理由．
（3）若y 经过点（
1
2
，0)，且对任意x ，都有12y y >，请利用图象求a 的取值范围．27.如图，抛物线2
142
y ax ax =--交x 轴于点A ，C ，交y 轴于点B ，AC ＝6．
（1）抛物线的解析式；
（2）点P 为x 轴上一动点，将线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PD ．当点D 在抛物线上时，求点P 的坐标．28.如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．若2PE ED =，求PBC
的面积；
是以BC为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，②抛物线上是否存在一点P，使PBC
请说明理由．
北京市大兴区2022-2023学年九年级上学期期中数学考前自检试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.已知地球上海洋面积约为316000000km²，数据316000000用科学记数法可表示为（）
A.3.16×109
B.3.16×107
C.3.16×108
D.3.16×106
【答案】C
【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯，其中1a ≤
＜10，n 为整数．所以 3.16a =，n 取决于原数小数点的移
动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以8.n =【详解】解：31600000083.1610=´故选C
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．2.抛物线()2
31y x =-+的顶点坐标是（
）
A.
()
3,1 B.
()3,1- C.
()
3,1- D.
()
3,1--【答案】A
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【详解】解：∵()2
31y x =-+，∴此函数的顶点坐标为（3，1），故选：A ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x =h ．
3.下列一元二次方程中有两个相等实数根的是()
A.2x 2－6x ＋1＝0
B.3x 2－x －5＝0
C.x 2＋x ＝0
D.x 2－4x ＋4＝0
【答案】D
【详解】试卷分析：选项A ，△=b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，
即可得该方程有两个不相等的实数根；选项B △=b 2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C ，△=b 2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D ，△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，即可得该方程有两个相等的实数根．故选D ．考点：根的判别式．
4.已知菱形的两条对角线长分别为和8cm 和10cm,则菱形的面积为（
）
A.2cm
B.402
cm C.
2 D.2
【答案】B
【分析】(一)菱形性质知菱形的对角线互相垂直平分，再说明菱形的面积为四个相等的三角形面积而解得．（二）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【详解】解：（一）∵菱形的对角线互相垂直平分，∴菱形的面积为四个相等的三角形面积即：4×1
2×
82×10
2
=40（cm 2）,（二）：∵一个菱形的两条对角线长分别为8cm 和10cm ，∴这个菱形的面积=1
2×8×10=40（cm 2）．故选B.
【点睛】本题考查菱形的对角线互相垂直平分，从而说明对角线分成四个面积相等的直角三角形，或者熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半而求得菱形面积．5.抛物线y=x 2﹣8x+m 的顶点在x 轴上，则m 等于（）A.-16 B.-4
C.8
D.16
【答案】D
【分析】顶点在x 轴上，所以顶点的纵坐标是0．根据顶点公式即可求得m 的值．【详解】抛物线的顶点纵坐标是：464
4
m -，则得到：
464
04
m -=，解得m =16.故选:D.
【点睛】考查了二次函数的性质，熟记二次函数顶点的坐标公式是解题的关键.6.用配方法解方程2x 2x 70--=时，原方程应变形为()
A.2(x 1)6+=
B.2(x 2)6+=
C.2(x 1)8-=
D.2(x 2)8
-=【答案】C
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【详解】方程变形得：x 2-2x=7，配方得：x 2-2x+1=8，即（x-1）2=8，故选C ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的一般步骤以及完全平方公式是解本题的关键．7.将抛物线22y x =向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）
A.
223
y x =+ B.
223
y x =- C.
2
2(3)y x =- D.2
2(3)y x =+【答案】B
【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．
【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：2=23y x -．故选：B ．
【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．
8.某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（）
A.12%
B.9%
C.6%
D.5%
【答案】D
【分析】设每个月生产成本的下降率为x ，根据该公司10月份及12月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1-x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（舍去）．故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（共8题；共16分）
9.分解因式：231212x x -+=________．【答案】()2
32x -##()
2
32x -【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式因式分解，即可求解．【详解】解：原式(
)
2
344
x x -=+()2
32x =-，
故答案为：()
2
32
x -【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．10.已知a 是方程x 2﹣2018x+1=0的一个根a ，则a 2﹣2017a +22018
1
a +的值为_____．【答案】2017
【详解】解：根据题意可知：a 2﹣2018a+1=0，
∴a 2+1=2018a ，a 2﹣2017a=a ﹣1，∴原式=a 2﹣2017a+1a
=a ﹣1+
1a
=21a a
+﹣1
=2018﹣1=2017．
故答案为：2017．
11.在平面直角坐标系中，点P （﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P ′的坐标是____．【答案】（3，－1）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．【详解】解：∵点P 的坐标为（−3，1），
∴和点P 关于原点中心对称的点P ′的坐标是（3，−1），故填：（3，－1）．
【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（−x ，−y ）是解题的关键．12.方程(5)2x x x -=的根是________.【答案】120,7
x x ==【分析】首先将方程转化形式，再提取公因式，即可得解.【详解】解:原方程可转化为252x x x
-=270
x x -=()70
x x -=∴方程的根为120,7x x ==.
【点睛】此题主要考查二元一次方程的解法，熟练运用，即可解题.13.写出一个开口向下，对称轴为直线2x =的抛物线的解析式______．【答案】()
2
2y x =--【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：该抛物线的解析式可以为()2
2y x =--（答案不唯一），
故答案为()2
2y x =--．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14.如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若
正方形ABCD ，则AK =__________．
【答案】3-．
【详解】连接BH ，如图所示：
∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴∠BAH =∠ABC =∠BEH =∠F =90°，由旋转的性质得：AB =EB ，∠CBE =30°，∴∠ABE =60°，
在Rt △ABH 和Rt △EBH 中，∵BH =BH ，AB =EB ，
∴Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），
∴∠ABH =∠EBH =1
2∠ABE =30°，AH =EH ，
∴AH =AB •tan ∠ABH =1，∴EH =1，
∴FH 1-，
在Rt △FKH 中，∠FKH =30°，
∴KH =2FH =1)-，
∴AK =KH ﹣AH =1)1--=3-；
故答案为3-．
15.抛物线y=x 2﹣4x+3与x 轴两个交点之间的距离为_____．
【答案】2．
【分析】令y =0，可以求得相应的x 的值，从而可以求得抛物线与x 轴的交点坐标，进而求得抛物线y =x 2﹣4x +3与x 轴两个交点之间的距离．
【详解】∵抛物线y =x 2﹣4x +3=（x ﹣3）（x ﹣1），∴当y =0时，0=（x ﹣3）（x ﹣1），解得：x 1=3，x 2=1．∵3﹣1=2，∴抛物线y =x 2﹣4x +3与x 轴两个交点之间的距离为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.如图所示直线y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为__．
【答案】23
π
【分析】先根据一次函数的性质求出AB 的长，可得到∠ABO =30°，从而得到∠BAO =60°，根据弧长公式求出点B 运动的路径的长度，即可求解．
【详解】当y =0=0，解得x =-1，
∴A （-1，0），
当x =0时，y x ，
∴B （0），
∴OB ，OA =1，
∴AB 2=，
∴AB =2OA ，
∴∠ABO =30°，
∴∠BAO =60°，
∴设当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 落在点1B 处，
∴1==2AB AB ，
∴11OB =，
∴点B 运动的路径的长度为
60×22=1803
ππ．故答案为：23π
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求弧长，熟练掌握一次函数的图象和性质，弧长公式是解题的关键．
三、解答题（共12题；共68分）
17.解方程：3(1)33x x x +=+．
【答案】11x =-，21x =．
【分析】根据题意利用解一元二次方程的解法因式分解法，求解即可.
【详解】解：由3(1)33x x x +=+，得(33)(1)0x x -+=，
得11x =-，21x =．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，并结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.在做解方程练习时，有一个方程“y 125
-=y +■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x ＝2时整式5（x ﹣1）﹣2（x ﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．【答案】“■”这个有理数为65
-，方程的解为：y ＝1【分析】利用“该方程的解与当x ＝2时整式5（x −1）−2（x −2）−4的值相同”求出方程的解；再将方程的解代入y 125
-=y +■中求得■．【详解】解：当x ＝2时，整式5（x −1）−2（x −2）−4＝5×（2−1）−2×（2−2）−4＝1．
∵方程的解与当x ＝2时整式5（x −1）−2（x −2）−4的值相同，
∴方程的解为：y ＝1．
当y ＝1时，y 125
-
=y +■．∴1125-=+■解得：■＝65-．答：“■”这个有理数为65
-，方程的解为：y ＝1．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，求代数式的值．利用方程的解的意义，将方程的解去替换未知数的值
是解题的关键．
19.已知二次函数y=ax 2﹣2ax+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 左B 右），与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC ，
求：二次函数的解析式．【答案】212133
y x x =-++【详解】解：22y ax ax c =-+ ，
22,
y ax ax a a c ∴=-+-+2(1),
y a x a c ∴=--+∴对称轴为x =1，
设A 点坐标为(m ,0)，B 点坐标为(n ,0)，
12
m n +∴=，∵AB =4，
∴n −m =4，
∴m =−1，n =3，
∴A (−1,0)B (3,0)
∵OC =OA ，
∴C (0,1)，
221y ax ax ∴=-+，
将A (−1,0)代入221y ax ax =-+，
得0=a +2a +1，解得13a =-，即二次函数的解析式为212 1.33
y x x =-++20.如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()30A -,
和点()10B ,，交y 轴于点C .
(1)求这个抛物线的函数表达式；
(2)若点D 的坐标为()1,0-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值.
【答案】(1)224233y x x =--+；(2)S 的最大值为174
.【分析】（1）根据A,B 两点坐标可得出函数表达式；
（2）设点224,233P x x x ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
，根据 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形列出S 关于x 的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.
【详解】解：（1）将A,B 两点的坐标代入解析式得，9320,20,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2,34.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为：224233y x x =-
-+；（2）连接OP ，设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝
⎭，由（1）中表达式可得点()0,2C ，
则 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形111222
p P AO y OC x CO OD =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯222411221()213=332322
2x x x x x ⎛⎫--++⨯--⨯⨯=--+ ⎪⎝⎭⨯⨯，∵10-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为174
.【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.
21.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【详解】试卷分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围．
试卷解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，
而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20，解得m≥3，
而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4．
22.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间满足函数表达式()2
4y a x h =++，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．
（1）当a=-124
时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为
125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．
【答案】（1）①h=53；②此球能过网，理由见解析；（2）a=-15
．【分析】（1）①将点P （0，1）代入y=-
124(x-4)2+h 即可求得h ；②求出x=5时，y 的值，与1.55比较即可得出判断；
（2）将(0，1)、(7，125
)代入y=a(x-4)2+h 代入即可求得a 、h ．【详解】（1）解：①当a=-124时，y=-124
(x-4)2+h ，将点P(0，1)代入，得：-124
×16+h=1，解得：h=53
；②把x=5代入y=-124(x-4)2+53，得：y=-124
×(5-4)2+53=1.625，
∵1.
625＞1.55，∴此球能过网；
（2）把(0，1)、(7，125
)代入y=a(x-4)2+h ，得：1611295a h a h +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得：15215a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴a=-15
．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23.已知二次函数解析式为2223y x mx m =-++(m 是常数)．
（1）求证：不论m 为何值，函数图象与x 轴总是没有公共点；
（2）把该函数图象沿平行y 轴方向怎样平移，得到的图象与x 轴只有一个交点？
【答案】（1）见解析；（2）把函数图象沿平行y 轴方向向下平移3个单位长度后，图象与x 轴只有一个公共点．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝﹣12，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【详解】（1）证明：∵()()
222224134412120m m m m ∆=--⨯⨯+=--=-＜，∴方程x 2﹣2mx +m 2+3=0没有实数解，
即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总没有公共点；
（2）∵()2
22233y x mx m x m =-++=-+，
∴把函数2223y x mx m =-++的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数()2y x m =-的图象，它的顶点坐标是（m ，0）．
∴这个函数的图象与x 轴只有一个公共点．
∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数的图像与平移变换，解题关键是把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．
24.某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．
【答案】2
24m 【分析】连接AC ，利用勾股定理求出AC 的长，再利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，根据ΔΔABC ADC S S -求出即可．
【详解】解：连接AC ，
∵4=AD ，3DC =且AD DC ⊥，
∴在Rt ADC 中，225AC AD DC =
+=，∵在ABC 中，
∴2222512169AC BC +=+=，
∵2213169AB ==，
∴222AC BC AB +=，
∴ABC 是直角三角形，∴ΔΔ11125432422
ABC ADC S S -=⨯⨯-⨯⨯=，∴这块地的面积是224m ．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形是解答本题的关键．
25.
某校在艺术节选拔节目过程中，从备选的“街舞”、“爵士”、“民族”、“拉丁”四种类型舞蹈中，选择一种学生最喜爱的舞蹈，为此，随机调查了本校的部分学生，并将调查结果绘制成如下统计图表（每位学生只选择一种类型），根据统计图表的信息，解答下列问题：
⑴本次抽样调查的学生人数及a 、b 的值.
⑵将条形统计图补充完整．
⑶若该校共有1500名学生，试估计全校喜欢“拉丁舞蹈”的学生人数.类型民族拉丁爵士街舞
据点百分比a 30%b 15%
【答案】（1）200；25%；30%；（2）补图见解析；（3）450人.
【详解】（1）解：总人数：60÷30%=200（人），a=50÷200=25%，
b=1-25％-30％-15％=30%；
（2）解：喜欢爵士舞人数=200×30％=60（人）
如图所示：
（3）1500×30%=450（人）．
答：约有450人喜欢“拉丁舞蹈”．26.已知函数()()11y x m x m =+--，()20y ax m a =+¹
在同一平面直角坐
标系中．
（1）若1y 经过点（1，-2），求1y 的函数表达式．
（2）若2y 经过点（1，m +1），判断1y 与2y 图象交点的个数，说明理由．
（3）若y 经过点（12，0)，且对任意x ，都有12y y ，请利用图象求a 的取值范围．
【答案】（1）212
y x x =--（2）当m =-1时1y 与2y 图象有一个交点；当m ≠-1时1y 与2y 图象有两个交点
（3）a 的取值范围是01a -＜或10
a ＜＜【分析】（1）将（1，-2）代入()()11y x m x m =+--可得m 的值，从而得到答案；
（2）将（1，m +1）代入2y ax m =+得到a ，再联立1y 、2y 的解析式判断解的个数从而得到交点个数；
（3）将点（12
，0)代入可得m 的值，再联立1y 、2y 的解析式求出图象只有一个交点时，a 的值，观察图象得到无交点时，a 的范围即得答案．
【小问1详解】
解：∵1y 经过点(1，-2)，
∴（1+m ）（1-m -1）=-2
解之：122,1m m =-=．
当m =-2时，2
1=2y x x --；当m =1时，2
12y x x =--；
∴1y 的函数表达式为：212y x x =--；【小问2详解】
解：∵2y 经过点(1，m +1)，
∴a +m =m +1
解得：a =1．
∴2=+y x m ，
∵()()1x m x m x m +=+--，
整理得：22220x x m m ---=，
∴()()222444241
0b ac m m m -=---=+³，当m =-1时，△=0，
当m ≠-1时，△＞0
∴当m =-1时1y 与2y 图象有一个交点；当m ≠-1时1y 与2y 图象有两个交点．
【小问3详解】
解：∵y 经过点(
12，0)，∴2121
142
y x x y ax =-+=-，，
∴21142
x x ax -+=-，整理得：()23104
x a x -++=，∴()22413b ac a -=+-，
若240b ac -=，则1y 与2y 图象只有一个交点，
此时()2130a +-=，
解之：11a =
-，21a =如图，
若1y 与2y 图象没有交点，则对于任意x 都有12y y >，
由图象可知此时01a ＜或10a -＜＜，
∴a 的取值范围是01a ＜或10a -＜＜．
【点睛】本题考查函数一次函数、二次函数表达式及图象的交点，关键是判断△的符号，从而得出交点情况．
27.如图，抛物线2142
y ax ax =--交x 轴于点A ，C ，交y 轴于点B ，AC ＝6．
（1）抛物线的解析式；
（2）点P 为x 轴上一动点，将线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PD ．当点D 在抛物线上时，求点P 的坐标．
【答案】（1）2142
y x x =--（2）点P 的坐标为（0，0）或（-8，0）
【分析】（1）把解析式化为顶点式可得抛物线对称轴为x =1，再由AC =6，可得点A （4，0），再代入，即可求解；（2）先求出B （0，-4），然后作DE ⊥x 轴于点E ，可得到PED BOP @V V ，再设P 点坐标（m ，0），则D （m +4，
-m ）
，然后代入抛物线解析，即可求解．【小问1详解】解∶2142y ax ax =--=()
2112+1422a x x a ---=()2111422a x a ---，∴对称轴为：直线x =1，
又∵AC =6，
∴A （4，0），∴2104442
a a -=⨯-，∴a =1，∴抛物线解析式为：2142y x x =
--；【小问2详解】
解：由（1）得2142
y x x =
--，当x =0时，y =-4，
∴B （0，-4），
∴OB =4，
如图，作DE ⊥x 轴于点E ，
∵∠PDE +∠DPE =∠DPE +∠BPO ，
∴∠PDE =∠BPO ，
又∵PD =PB ，∠POB =∠PED =90°，
∴()PED BOP AAS @V V ，
∴DE =OP ，PE =OB ，
∴PE =4，
设P 点坐标（m ，0），则D （m +4，-m ），
∵D 点在抛物线上，∴()()214442
m m m +-+-=-，解得m =-8或0；
∴P （-8，0）或（0，0）；
综上，点P 的坐标为（0，0）或（-8，0）．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、全等三角形的性质和判定，证明PED BOP @V V ，得到点D 的坐标，然后列出关于m 的方程是解题的关键．
28.如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．若2PE ED =，求PBC 的面积；
②抛物线上是否存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）223y x x =-++；（2）①32PBC S =△；②1113113,22P ⎛+ ⎝⎭，2113113,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．【分析】（1）将A （-1,0），B （3，0）代入y=-x 2+bx+c ，可求出答案；
（2）①先求出点C 的坐标，进而可求得直线BC 的函数关系式，再设()2,23P m m m -++，进而可表示出点E 的坐标为(,3)E m m -+，再根据PD=3ED 列出方程求解即可；
②设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++，根据PB=PC 可得PB 2=PC 2，进而可列出方程求解即可．
【详解】（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -，()3,0B ，22(1)0330
b c b c ⎧---+=∴⎨-++=⎩，
解得23
b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为223y x x =-++．
（2）①在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，
()
0,3C ∴设直线BC 的解析式为y kx b =+，
则330b k b =⎧⎨+=⎩
，31
b k =⎧∴⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
若2PE ED =，则3PD ED =，
设()
2,23P m m m -++，则(,3)E m m -+，2233(3)m m m ∴-++=-+，
即2560m m -+=，
解得12m =，23m =（舍）
当2m =时，()2,3P ，()2,1E ，
则1PE =，
131322
PBC S ∴=⨯⨯=△，②假设存在点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++，
∵PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
∴PB=PC ，
∴PB 2=PC 2，
∵()2,23P m m m -++，B （3，0），C （0，3），
∴（m-3）2+（-m 2+2m+3）2=m 2+(-m 2+2m+3-3)2
整理得m 2-m-3=0，
解得m 1=12
，m 2=12-，当m=1132+时，-m 2+2m+3=1132
+，∴点P 的坐标为（
1132+，1132+），当m=1132时，-m 2+2m+3=1132
，∴点P 的坐标为（
1132，1132），
综上所述：抛物线上存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，此时点P 的坐标为111,22P ⎛++ ⎝⎭，
2113113,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法解题的关键．。