2019年港澳台联考数学真题 (每题详细解析版含答案)

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2015年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数 学

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）sin 225

=（ ）

（A ）2

-

（B ）2

（C ）12-

（D ）1

2

（2）设平面向量(1,2)a =-，(3,2)b =-，则2a b +=（ ）

（A ）(1,0) （B ）(1,2)

（C ）(2,4)

（D ）(2,2)

（3）设集合{1,2,3,4}A ⊆，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）

（A ）2个

（B ）4 个

（C ）5 个 （D ）7个

（4）设()y f x =是212

x

x

y --=+的反函数，则1()5f =（ ）

（A ）4 （B ）2

（C ）

12 （D ）14

（5）设函数212

log (45)y

x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1-

（D ）2-

（6）不等式24x x ++<的解集为（ ）

（A ）{|1}x x < （B ）{|61}x x -<

<

（C ）{|4}

x x <

（D ）{|0}x x <

（7）已知函数sin (0)y x ωω=>的图象关于直线3

x π

=

对称，则ω的最小值为（ ）

（A ）2

（B ）

3

2

（C ）23

（D ）12

（8）函数cos()23x y

π

=+的图象按向量ω平移后，所得图象对应的函数为（ ）

（A ）cos 2

x y

=

（B ）cos 2

x

y

=-

（C ）sin 2

x y

=

（D ）sin 2

x y

=-

（9）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为（ ）

（A ）1

（B ）

34

（C ）34-

（D ）1- （10）直线l 与椭圆22

13618

x y +=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(2,1)，则l 的斜率为（）

（A

（B

）

（C ）1

（D ）1-

（11）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1

1a =公比为q ，

且1q <，若1

l i m 33n n n

S S →∞+=--，

则q =（ ） （A ）2

3-

（B ）12-

（C ）12

（D ）23

（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（ ）

（A ）

311

（B ）411

（C ）

511

（D ）611

二、填空题：本大题共6小题；每题5分。 （13）点(3,1)-关于直线0x y +

=的对称点为_____________．

（14）曲线x y xe =在点(0,0)处的切线方程为_____________________． （15）复数3(1)

i

z i i +=

+的共轭复数z =_______________．

（16）A ，B ，C 为球O 的球面上三点，AB AC ⊥，若球O 的表面积为64π，O 到AB ，AC 的距离均为3，则O 到平面ABC 的距离为____________．

（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面220x z --=的垂线，垂足为______________．

（18）若多项式4

3

2

()p x x x ax bx c =++++，(1)2p =，用2

1x +除()p x 的余式为2，(1)p -=___．

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（19）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，sin 2sin C A =，2B A =，求b 和B ．

（20）设函数2()2x a

f x x

=+，当1x =时，()f x 取得极值。

（I ）求a ；

（II ）求()f x 的单调区间。

（21）已知数列{}n a 的前n 项和2

142n n n S a -=--

。

（I ）证明：数列{2}n

n a 是等差数列； （II ）求{}n a 的通项公式。

（22）设11(,)A x y 和22(,)B x y 是抛物线C ：2

y x =上的两点，且1210x x +=。

（I ）若11y =，求直线AB 的方程；

（II ）证明：当点A ，B 在C 上运动时，线段AB 的垂直平分线过定点。

2015年港澳台联考数学试题解析版

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）sin 225

=（ ）

（A ）2

- （B ）2

（C ）12-

（D ）1

2

【答案】A

（2）设平面向量(1,2)a =-，(3,2)b =-，则2a b +=（ ）

（A ）(1,0) （B ）(1,2)

（C ）(2,4)

（D ）(2,2)

【答案】B

（3）设集合{1,2,3,4}A ⊆，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）

（A ）2个

（B ）4 个

（C ）5 个 （D ）7个

【答案】C

（4）设()y f x =是212

x

x

y --=+的反函数，则1()5f =（ ）

（A ）4 （B ）2

（C ）

12 （D ）14

【答案】B

（5）设函数212

log (45)y

x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1-

（D ）2-