自适应练习题及答案

2008练习题作业一：第三章、第四章 第三章（一）书66页3.4题。

对于加权矢量为T w w ],[21=w 的二阶自适应滤波器，给定下列数据⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112xx R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=87d x r 42}{2=d E 1) 写出}{2e E 与T w w ],[21=w 的关系；（3.1.10） 2) 求opt w ，写出}{2e E 与opt w w v -=的关系；（3.2.1）3)求将xx R 对角线化的正交矩阵Q ，v Q v T ='以及}{2e E 与'v 的关系式。

-------------------------------------------------------------- 书66页3.4题答案：解：（1）().T e d w X n =-Q 其中()[(),(1)]TX n X n X n =-22(){[()]}T E e E d w X n =-Q2()[()()]2[()]TTTE d w E X n X n w w E X n d =+-2()2T T XX Xd E d w R w w r =+- (1)将221()42,12XXE d R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦及[78]TXdr =代入（1）式，可得：222121212[]222141642E e w w w w w w =++--+（2）opt w 应满足2[]0wE e ∇= 即220XX opt Xd R w r -=∴11217128opt XXXdw R r --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21711283-⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]23T=∴ {}()()22111min min[]()2TTXX Xd XX XX Xd XX Xd Xd E e E d R r R R r R r r ξ---==+-21121()2()T T Xd XX Xd Xd XX XdTXd XXXdE d r R r r R r E d r R r ---=+-=-21742[78]42384128⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()2min []Topt XX opt E e w w R w w ξξ==+--Q21()T TXd XX Xd XX E d r R r v R v -=-+ (2)将221()42,12XXE dR ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦及[78]T Xdr =代入（2）,可得：[]112221423812v v v v ξ⎡⎤⎡⎤=-+⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ＝2212122224v v v v +++（3）易求得2112XXR ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值及归一化特征向量为：12121, 3.,TTq q λλ==== ∴1211111Q q q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦1'211111TTv v v v v v Q v v -⎡⎤⎡⎤-+∴==⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴令'''12Tv vv ⎡⎤=⎣⎦，则''12,v v v v v v -+==()()()()12''min 2'121''112'22'''112'2'2'2120[]00()010********TT Xd XX Xd E e v v v E d r R r v v v v v v v v v λξξλλλ-⎛⎫==+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++Q（二）（自适应滤波仿真作业1）书67页3.8题（有修改）。

3.8 对于图3.8的自适应线性预测处理模型。

令()[(1),(2)]T n x n x n =--x ， T n w n w n )](),([)(21=w 1) 求以1a 、2a 、2v σ表示的输入自相关矩阵 )}()({n n E T x x R xx =xx R 的特征值和相应的特征矢量、xx R 的条件数、使xx R 对角化的正交矩阵Q 和opt w 表达式。

2) 令))(()(opt T n n w w Q v -=，求按最陡下降法对)(n w 进行递推时，)(n v 和w(n)与n 的变化关系的公式。

3) 对于12=v σ、3.02=μ20.02μ=及)95.0,195.0(),(21-=a a 、(-1.5955,0.95)、（-1.9114,0.95）三种情况下在)(1n w —)(2n w 坐标平面上画出按最陡下降法调整时，)(n w 的变化曲线。

------------------------------------------- 书67页3.8题（1）由图可知 ()[(1),(2)]T n x n x n =--x []12()(),()Tn w n w n =w 则 12()(1)(2)()x n a x n a x n v n +-+-=ˆ()()()T xn n n =x w ˆ()()()e n x n x n =- 得 {}()()T xx R E n n =x x (1)(1)(1)(2)()()(2)(1)(2)(2)T x n x n x n x n n n x n x n x n x n ----⎡⎤=⎢⎥----⎣⎦x x Q ()()()()0110xx xx xx xx xx r r R r r ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦12()()(1)(2)x n v n a x n a x n =----[]()()21222222121212()()()(1)(2)()122()(1)2()(2)2(1)(2)x n x n v n a x n a x n v n a x n a x n v n a x n v n a x n a a x n x n =----=+-+-----+--[]()()[][][]22222121212()()()122()(1)2()(2)2(1)(2)E x n x n E v n a E x n a E x n E v n a x n E v n a x n a a E x n x n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+---⎣⎦⎣⎦⎣⎦--+--()()()()222121200021xx v xx xx xx r a r a r a a r δ⇒=+++（1）212()(1)()(1)(1)(1)(2)x n x n v n x n a x n a x n x n -=------()[]()()121()(1)01xx xx xx r E x n x n a r a r ⇒=-=-- （2）联立（1）（2）式得()()()()()()22222223212122121221101111v v xx a a r a a a a a a a a a a a δδ++==-++-+++---()()()()221122232121212122111112v v xx a a r a a a a a a a a a a a δδ--==-++-+++--- 由12()(1)(2)()x n a x n a x n v n +-+-=得到12(0)(1)(2)0xx xx xx r a r a r ++=将()0xx r 、()1xx r 代入上式得到()()()()22222212212222232121212122()()211112v v xx a a a a a a r a a a a a a a a a a a δδ----==-++-+++--- 或由二阶AR 模型2121212(0)(1)(2)(1)(0)(1)0(2)(1)(0)0xx xx xx v xx xx xx xxxx xx r a r a r r a r a r r a r a r δ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 也可以解出(0),(1),(2)xx xx xx r r r代入()()()()0110xx xx xx xx xx r r R r r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并计算得到特征值()()2121211v a a a δλ=--+ ()()2221211v a a a δλ=-++单位特征向量1Tq =⎝⎭2Tq =⎝⎭条件数 12112max 12min1121,01()1,01xx a a a a a cond R a a a a a λλ++⎧≥⎪-+⎪==⎨-+⎪<⎪++⎩正交矩阵2222Q ⎡⎢⎢=⎢-⎢⎣⎦()()()()221212221201100011v v a a a a a a δλλδ⎡⎤⎢⎥--+⎛⎫⎢⎥Λ== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦ˆ()()()()()T e n x n xn x n n =-=-w x {}{}22()()2T T xd xx E e n E x n w R ξ==-+r w w 由图可知()()()()()2221122212121,2,111TTv xd xx xx r r a a a a a a a a a δ⎡⎤==---⎡⎤⎣⎦⎣⎦-++-+r ()2121212111xx v a a a R aa δ-+-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦由正规方程1112(0)(1)(0)(1)(0)(1)xx xx xx opt xx xd xx xx xx r r r a R r r r a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦w r （2）由式()[][]1()2()2()2xx xx xx xx n n R n I R n μμμ+=+-=-+w w r w w r()()T opt v n Q w n w ⎡⎤=-⎣⎦()()[]111(2)0(2)(0)(2)(0)nnn v n I Q Q v Q I Q v Q I Q v μμμ---⎡⎤=-Λ=-Λ=-Λ⎣⎦令1()()v n Q v n -'= 则()(2)(0)n v n I v μ''=-Λ-----------------------------------------------4) 第四章（一）书87页4.5题4.5 采用Levinson-Durbin 算法（式(4.1.30)）计算M 阶最佳预测滤波器时的运算量。

-------------------------------------------------书87页4.5题答案解：从m 到m ＋1阶，需要2m ＋3次乘除运算和2m ＋1次加减运算。

∴从1阶到M 阶时的乘除运算量为：()()()252131579213232M M M M M +-+⨯-⎡⎤⎣⎦++++-+==+-⎡⎤⎣⎦L 从1阶到M 阶时的加减运算量为：()()()23211135721112M M M M +-+⨯-⎡⎤⎣⎦++++-+==-⎡⎤⎣⎦L∴从0阶到M 阶时的乘除运算量为：()()()23213357921322M M M M M +-+⨯⎡⎤⎣⎦+++++-+==+⎡⎤⎣⎦L从0阶到M 阶时的加减运算量为：()()()2121113572112M M M M +-+⨯⎡⎤⎣⎦+++++-+==⎡⎤⎣⎦L ---------------------------------------------------------（二）书87页4.7题4.7 证明对复信号的线性预测滤波器的正交原理(式(4.2.8)) 式(4.2.18)0)}()({*=-k n x n e E fm),,1(m k Λ= (提示：将有关分量分成实部和虚部(4.2.12)- (4.2.18)) ------------------------------------4.7题答案4．7 证明：由式（4.2.16）及式（4.2.17）可知：()()222222()()()Re Re Re Re Re mk mk mk mk mk A B E A B E A E B E E a a a a a ⎧⎫⎧⎫∂∂∂+∂∂⎪⎪⎪⎪=+=+⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭＝{}{}2Re ()2Im ()E A x n k E B x n k ⋅-+⋅-＝{}2Re ()Im ()0E A x n k B x n k ⋅-+⋅-= ∴{}Re ()Im ()0E A x n k B x n k ⋅-+⋅-=………………..（1） 又{}(){}Re ()()Re (Re ()Im ())fm E e n x n k E A jB x n k j x n k *⎡⎤-=+---⎡⎤⎣⎦⎣⎦Q ＝{}Re ()Im ()E A x n k B x n k ⋅-+⋅- (2)对比（1）、（2）两式可知：{}Re ()()0f m E e n x n k *⎡⎤-=⎣⎦ (3)同理()(){}{}2222()Im Im Im 2[Im ()]Re ()2Im ()Re ()0mk mk mk A B E A B E E a a a E A x n k B x n k E A x n k B x n k ⎧⎫⎧⎫∂∂∂+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭=⋅--+⋅-=-⋅-+⋅-={}Im ()Re ()0E A x n k B x n k ∴-⋅-+⋅-= (4)又{}(){}Im ()()Im (Re ()Im ())fm E e n x n k E A jB x n k j x n k *⎡⎤-=+---⎡⎤⎣⎦⎣⎦Q ＝{}Im ()Re ()E A x n k B x n k -⋅-+⋅- (5)对比（4）、（5）两式可知：{}Im ()()0f m E e n x n k *⎡⎤-=⎣⎦……………（6） 由（3）、（6）两式可得：{}{}{}()()Re ()()Im ()()0f f f m m m E e n x n k E e n x n k jE e n x n k ***⎡⎤⎡⎤-=-+-=⎣⎦⎣⎦，1,2,,k m =L--------------------------------------- （三）书88页4.9题4.9令||)(n xx n r α=，1||<α，根据公式(4.1.30)求最佳滤波器参数1K 、2K 、3K 。