增城期中考数学试卷答案

一、选择题
1. 选择题（每题3分，共15分）
（1）若函数f(x) = 2x + 3在x=1时的切线斜率为多少？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：A
解析：函数f(x) = 2x + 3的导数为f'(x) = 2，所以在x=1时的切线斜率为2。

（2）若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为多少？
A. 37
B. 25
C. 27
D. 29
答案：A
解析：根据平方差公式，a²+b²=(a+b)²-2ab=5²-2×6=25-12=13，所以a²+b²=37。

（3）下列哪个数不是有理数？
A. √4
B. √9
C. √16
D. √25
答案：A
解析：√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，它们都是有理数。

而√4=2，不是有理数。

（4）若等差数列{an}的公差为d，首项为a₁，则第n项an的通项公式为？
A. an = a₁ + (n-1)d
B. an = a₁ - (n-1)d
C. an = a₁ + nd
D. an = a₁
- nd
答案：A
解析：等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。

（5）下列哪个图形是中心对称图形？
A. 等腰三角形
B. 正方形
C. 等边三角形
D. 长方形
答案：B
解析：正方形是中心对称图形，其余选项不是。

二、填空题
6. 填空题（每题3分，共15分）
（1）若|a|=5，则a的值为多少？
答案：±5
解析：绝对值表示数与0的距离，所以a可以是5或者-5。

（2）若x²-4x+3=0，则x的值为多少？
答案：1或3
解析：通过因式分解或者求根公式，可得x²-4x+3=(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3。

（3）若sinα=1/2，则cosα的值为多少？
答案：√3/2
解析：sin²α+cos²α=1，sinα=1/2，代入可得cos²α=1-(1/2)²=3/4，所以
cosα=√3/2。

（4）若log₂3=1/3，则log₂27的值为多少？
答案：3
解析：log₂27=log₂(3³)=3log₂3=3×(1/3)=1，所以log₂27=3。

（5）若向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则向量a+b的坐标为多少？
答案：(1,5)
解析：向量a+b的坐标为(2-1,3+2)=(1,5)。

三、解答题
7. 解答题（每题10分，共30分）
（1）已知函数f(x) = x² - 2x + 1，求f(x)的图像特征。

答案：f(x)的图像特征如下：
- 顶点坐标为(1,0)；
- 对称轴为x=1；
- 图像开口向上；
- 与x轴的交点为(1,0)。

解析：f(x) = (x-1)²，所以顶点坐标为(1,0)，对称轴为x=1，开口向上，与x轴的交点为(1,0)。

（2）已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求前n项和Sₙ。

答案：Sₙ = 3n² + 3n
解析：等差数列的前n项和公式为Sₙ = n(a₁+aₙ)/2，代入a₁=2，d=3，得Sₙ = 3n² + 3n。

（3）已知圆的方程为(x-3)²+(y-4)²=16，求圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为(3,4)，半径为4。

解析：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，代入得圆心坐标为(3,4)，半径为4。

四、附加题
8. 附加题（每题10分，共10分）
（1）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 1，求f(x)的极值。

答案：f(x)的极大值为f(1)=2，极小值为f(2)=1。

解析：求导得f'(x) = 3x² - 6x + 4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。

将x=1和
x=2代入f(x)，得f(1)=2，f(2)=1，所以f(x)的极大值为2，极小值为1。

（2）已知直线l：2x - y + 3 = 0，直线m：x + 3y - 5 = 0，求两直线的交点坐标。

答案：两直线的交点坐标为(2,1)。

解析：将直线l和直线m的方程联立，得2x - y + 3 = 0，x + 3y - 5 = 0。

通过解方程组，得x=2，y=1，所以两直线的交点坐标为(2,1)。