安徽省亳州市汇贤中学高三数学文上学期期末试卷含解析

安徽省亳州市汇贤中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的奇函数f(x)，当时，，则函数
的所有零点之和为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
2. 的展开式中含x3的项的系数为
A.20
B.40
C.80
D.160
参考答案：
D
3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是 ()
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
4. 已知则（）
（A）（B）
（C）或（D）或参考答案：
D
试题分析：，．
考点：集合交集、并集和补集.
【易错点晴】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．注意区间端点的取舍.
5. 函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x＋sinx B．
C．f(x)＝xcosx D．f(x)＝x·(x－)·(x－)
参考答案：
C
6. 函数的单调递减区间为( )
A． B． C． D．（0，2）
参考答案：
Ｄ
7. 的展开式中，的系数是( )
A. 160
B. 80
C. 50
D. 10
参考答案：
B
【分析】
由二项式定理公式即可得到结果.
【详解】依题的展开式的通项为:
，
当时，，此时，
所以的展开式中，的系数是.
故选：B
【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.
8. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．y=x2+1 B．y=|lgx| C．y=cosx D．y=e x﹣1
参考答案：
C
【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．
【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．
【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；
对于B，函数不是偶函数，不正确；
对于C，既是偶函数又存在零点，正确；
对于D，函数不是偶函数，不正确．
故选C．
9. 已知满足，则的最小值是（）
A．0 B． C． D．2
参考答案：
B
10.
一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为 ( )
A. B. C. D. 8
参考答案：
答案：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为______________．
参考答案：
y＝sin 4x
12. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
参考答案：
13. 若对于定义在R 上的函数，其图像是连续不断的,且存在常数，使得
对任意实数
X成立,则称是一个X-伴随函数.有下列关于X-伴随函数的结论：
①是常函数中唯一一个-伴随函数；②是一个X-伴随函数；③-伴随函数至少有一个零点.其中不正确的结论的序号是_______(写出所有不正确结论的序号).
参考答案：
①②
14. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是坐标原点，点、
是两曲线的交点，若，则双曲线的实轴长为 .
参考答案：
【知识点】双曲线的简单性质．H6
解析：抛物线与双曲线有相同的焦点，点的坐标为（1，0），，⊥轴.设点在第一象限，则点坐标为（1，2）设左焦点为，则=2,由勾股定理得，由双曲线的定义可知.
【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的定义可得
点坐标，再由双曲线的定义可得结论。

15. （坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线
的最短距离为。

参考答案：
16.
已知函数当t∈[0，1]时，f（f （t ））∈[0，1]，则实数t的
取值范围是．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．
解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，
又函数，
所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，
所以解得：，又t∈[0，1]，
所以实数t的取值范围．
故答案为：．
【点评】本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．
17. 设，其中，表示k与n的最大公约数，则的值为=__ . 参考答案：
520；
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：
ξ0 2 3 4 5
p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
参考答案：
考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．
（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较．
解答：解：（1）设该同学在A处投中为事件A，
在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，
且P（A）=0.25，P（）=0.75，P（B）=q2，P（）=1﹣q2．
根据分布列知：ξ=0时P（）=P（）P（）P（）=0.75（1﹣q2）2=0.03，
所以1﹣q2=0.2，q2=0.8；
（2）当ξ=2时，P1=P=（B+B）=P（B）+P（B）
=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B）
=0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24
当ξ=3时，P2=P（A）=P（A）P（）P（）=0.25（1﹣q2）2=0.01，
当ξ=4时，P3=P（BB）P（）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，
当ξ=5时，P4=P（A B+AB）=P（A B）+P（AB）
=P（A）P（）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63；
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过的概率为P（BB+B B+BB）=P（BB）+P（B B）+P（BB）=2（1﹣q2）q22+q22=0.896；
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．
点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．体现数学的科学价值．
19. 甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即
停止投篮，结束游戏,已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求游戏结束时．
(I)甲、己投篮次数之和为3的概半；
(II)乙投篮次数不超过1次的概毕
参考答案：
略
20. （本小题满分12分）
2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段后，得到如下图的频率分布直方图．
（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；
（2）从体能测试成绩在的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在概率．参考数据：
参考答案：
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．K2 I2
【答案解析】（1）97；（2）
解析：（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分
平均数的估计值为：
…………………………6分
（2）从图中可知，体能测试成绩在的人数为（人），分别记为；体能测试成绩在人数为（辆），分别记为，从这人中随机抽取两人共有种情况：
，，，，，，，.……………………9分
抽出的人中体能测试成绩在的情况有
共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率.…………………………………12分
【思路点拨】（1）根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样；根据中位数的左、右两边小矩形的面积相等求中位数；
（2）利用频数=频率×样本容量分别求得体能测试成绩在[80，85）的人数和[85，90）人数，用列举法写出从这6人中随机抽取2人的所有基本事件，找出抽出的2人中体能测试成绩在[85，90）的基本事件，利用个数比求概率．．
21. 已知椭圆的焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，是否存在过点的直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点恰好落到由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边
界）？若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
略
22. 已知数列中，，前n项和为S n，且。

（1）求a1；
（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由。

参考答案：
(1)令n=1，则a1=S1==0．…………………………2分
(2)由，即，①
得．②②－①，得．③
于是，．④
③+④，得，即．………………………6分
又a1=0，a2=1，a2－a1=1，
所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，a n=n－1．………………………………………………………………8分
(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．…………………………………………………………10分
所以，(☆)．
易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．…………………………………………12分
当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列，
于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．……………………14分
综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，b p，b q成等比数列．……………16分。