2021-2022学年山东省潍坊市安丘第四中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年山东省潍坊市安丘第四中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了3766名理科考生的数学成绩，
用表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，
将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3766名
考生的
．平均分．“红分”人数
．“红分”率．“红分”人数与非“红分”人数的比值
参考答案：
依题意，输出的为红分人数，为红分率．
3. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
4. 若是等差数列的前项和，且，则的值为
A.44
B.22
C.
D.88
参考答案：
A
故选A
5. 复数z=的虚部是( )
A．B．C．1 D．
参考答案：
C
z=，所以复数z=的虚部是1，因此选C。

6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）
A．3024 B．1007 C．2015 D．2016
参考答案：
A
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：
S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016
=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+
=6+…+6=6×=3024；
所以该程序运行后输出的S值是3024．
故选：A．
7. 已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是（）
A．［5.5，7.5） B．［7.5，9.5） C．［9.5，11.5） D．［11.5，13.5）
参考答案：
D
8. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,
则 ( ). A. B.
C. D.
参考答案：
D
9. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若，，则（）
A.－3
B. －2
C. 2
D. 3
参考答案：
C
【分析】
由题得到关于的方程组，解方程组即得解.
【详解】由题得.
故选：C
【点睛】本题主要考查等差数列前n项和和通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 如图，F1、F2是双曲线C1：与椭圆C2的公共焦点，点A是C1 、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）
A、B、
C、D、
参考答案：
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设x，y满足约束条件，则的最小值为_______.
参考答案：
－6
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，有最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12. 如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：若，则输出的
数是
．
参考答案：
略
13. 已知，且，则m等于
__________。

参考答案：
14. 已知向量，，，若∥，则=___
参考答案：
5
略
15. 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .
参考答案：
6
略
16. 坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 .
参考答案：
17. 设,,则的值是________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设F1，F2分别是椭圆D： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为2，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为2．
（1）求椭圆D的方程；
（2）设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的弦长分别为m，n，当m?n 最大时，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）求得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得c的值，根据三角形的面积公式ab=，由a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，求得O到直线l的距离d，代入椭圆方程，利用弦长公式，求得m和n，利用基本不等式的性质，即可求得t的值，求得直线l的方程．
【解答】解：（1）设F1坐标为（﹣c，0），F2坐标为（c，0），（c＞0），
则直线AB的方程为，即；
又，
∴，解得：a2=5，b2=1，
∴椭圆D的方程为；
（2）易知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x=ty+2，则圆心C到直线l的距离为，
∴，得（t2+5）y2+4ty﹣1=0，∴，
∴（当且仅当，即时，等号成立），
∴直线方程为或．
19. 选修4—1：几何证明选讲
如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（1）求AC的长；
（2）求证：BE＝EF．
参考答案：
（本小题满分10分）
解：（I），，…………（2分）
又，
，，…………（4分）
，…………（5分）
（II），，而，…………（8分）
，．…………（10分）
20. 随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为、、、、、、，由此得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；
（2）从使用手机时间在、、、的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？
参考答案：
（1）由于小矩形的面积之和为1，则，由此可得．
该地区高中生一周使用手机时间的平均值为
．
（2）使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有
人，使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在
的学生有人，
故用分层抽样法从使用手机时间在，，，的四组学生中抽样，抽取人数分别为，，，
．
21. （本小题满分12分）
函数，其图象在处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意得，且，
∴即解得，，
∴． (4)
分
（Ⅱ）由，可得，
，
则由题意可得有三个不相等的实根，
即的图象与轴有三个不同的交点，
，则的变化情况如下表．
则函数的极大值为，极小值为．······················ 6分的图象与的图象有三个不同交点，则有：
解得．······························································ 8分
（Ⅲ）存在点P满足条件．························································································ 9分
∵，∴，由，得，
．当时，；当时，；当时，．可知极值点为
，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴
，∴．
上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．………………12分
略22. 某机床厂用98万元购进一台数控机床，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，从第一年开始每年的收入均为50万元．设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；并求第几年开始，该机床开始盈利；
（2）问哪一年平均盈利额最大、最大值是多少？
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）第x年所需维修、保养费用为12+4（x﹣1），故y与x之间的函数关系为y=50x﹣x （12+4x+8）﹣98，x∈N+．可知当y＞0时，开始盈利，解不等式﹣2x2+40x﹣98＞0求得x的范围，从而得到结论；
（2）化简=40﹣（x+），再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：（1）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，
第x年所需维修、保养费用为12+4（x﹣1）=4x+8，
由维修、保养费用成等差数列递增，
依题得：y=50x﹣x（12+4x+8）﹣98
=﹣2x2+40x﹣98（x∈N+）；
可知当y＞0时，开始盈利，
解不等式﹣2x2+40x﹣98＞0，
得10﹣＜x＜10+．
∵x∈N+，∴3≤x≤17，
故从第3年开始盈利；
（2）∵=40﹣（x+）≤40﹣2=40﹣14=36．
（当且仅当x=7时，等号成立）；
∴到第七年，年平均盈利额能达到最大值，此时工厂共获利36万元．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，二次函数函数的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。