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人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案

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人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则7BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=21EH BE =． 【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，EH=3CH=3，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC∠=（）A 3B3C3D3【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用ECtan ABCBE∠=得出答案．【详解】解:连接DC ，交AB 于点E ．由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,设EC=x,则EF=x =3x tan 30︒, ∴BF AF 2EF 23x ===EC 3tan ABC BE 923x 3x 33====+∠,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．3．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°；∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.4．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )A．833B．433C．8 D．83【答案】A 【解析】【分析】根据折叠性质可得BE=12AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM 中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.【详解】∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，∴BE=12AB=2，∠BEF=90°，∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，∴∠EA′B=30°，∴∠EBA′=60°，∴∠ABM=30°，∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，解得：BM=833，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）A 5B ．35C ．22D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2， 解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==． 故选：B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．6．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m 【答案】A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x ，在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.7．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．63D ．43【答案】D【解析】【分析】 连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43()sin 603OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,223ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯⨯⨯=， 故选：D ．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．8．如图，ABC ∆是一张顶角是120︒的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C 2D 3【答案】A【解析】【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可．【详解】解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，BH=12BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=30°，∴AB=30BH cos ︒=23， 由翻折变换的性质可知，DB=DA=3，∴DE=BD •tan30°=1，故选：A ．【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则c a a b c b+++的值为（ ）A ．12B 2C ．1D 2【答案】C【解析】【分析】先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,22DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°， ∴13,,22DB c AD c == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即a 2+c 2=b 2+ac ，∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b ++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．cos60tan45+o o 的值等于( )A ．32B ．22C ．3D ．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式13122=+=． 故选A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．11．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米B ．cot cot m βα-千米C ．tan tan m αβ-千米 D ．tan tan m βα-千米 【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.12．将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，则CD 的长为（ ）A ．3B ．12﹣3C ．12﹣3D ．3【答案】B【解析】【分析】 过点B 作BM ⊥FD 于点M ，根据题意可求出BC 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，进而可得出答案．【详解】解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝2，∴BC ＝AC ＝2．∵AB ∥CF ，∴BM ＝BC ×sin45°＝2122122= CM ＝BM ＝12，在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM ÷tan60°＝43∴CD ＝CM ﹣MD ＝12﹣43．故选B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．13．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）A ．（30）B ．（3，0）C ．（4035233D ．（30） 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.【详解】由题意知，111C A =，11160C A B ︒∠=，则11130C B A ︒∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =+=+，∴2019C (20196733,0)+，故选B .【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.14．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）A ．313B ．513C ．512D ．1213 【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=，且圆锥的侧面积为60π，∴圆锥的母线长为2601210ππ⨯=， ∴sin θ=512. 故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.15．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）A ．3(23)2--B ．33(2222---C ．3(3,22--D ．(3,3)- 【答案】D 【解析】 【分析】 过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.【详解】解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，∴'0'6M B A ∠=︒，在直角△''A B M 中，3==2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==22=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M =，'1A M =，∴OM=2+1=3，∴'B 的坐标为(3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】 解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．17．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos A =（ ）A．12B．22C．3D．5【答案】B【解析】【分析】构造全等三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.【详解】过A作AE⊥BE，连接BD，过D作DF⊥BF于F.∵AE=BF，∠AEB=∠DFB，BE=DF，∴△AEB≌△BFD，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴cos∠DAB=2 2.答案选B.【点睛】本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键.18．如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC＝20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43°．若该建筑物EF＝20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（）A ．46.7mB ．46.8mC ．53.5mD ．67.8m【答案】B【解析】【分析】 根据山坡的坡度i ＝1：0.75，可得BD CD ＝43，设BD ＝4x ，CD ＝3x ，然后利用勾股定理求得BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ；再利用矩形的性质求出FG ＝DE ＝46m ，BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，最后利用三角函数解直角三角形即可．【详解】解：如图，∵∠ADC ＝90°，i ＝1：0.75，即BD CD ＝43， ∴设BD ＝4x ，CD ＝3x ，则BC ＝22(4)(3)x x ＝5x ＝20m ，解得：x ＝4，∴BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ，易得四边形DEFG 是矩形，则EF ＝DG ＝20m ，FG ＝DE ＝DC+CE ＝12+34＝46（m ），∴BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，在Rt △AFG 中，AG ＝FG·tan ∠AFG ＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m ）， ∴AB ＝AG+BG ＝42.78+4≈46.8（m ），故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.．19．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）A．AF＝12 CFB．∠DCF＝∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12 BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有ba＝2a．∵tan∠CAD＝CDAD＝ba＝22，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=25，则线段AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，∴∠B=∠D，即sinB=sinD=25，∵半径AO=5，∴CD=10，∴2 sin105AC ACDCD===，∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.。

人教中考数学锐角三角函数的综合复习含答案

人教中考数学锐角三角函数的综合复习含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.2．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为3，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．（1）求二次函数的表达式；（2）在点T的运动过程中，①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；②若MT＝12AD，求点M的坐标；（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT 时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，3）（3）见解析【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可；（2）①如图1，连接AD．构造Rt△AED，由锐角三角函数的定义知，tan∠DAE＝3．即∠DAE＝60°，由圆周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°；②如图2，由已知条件MT＝12AD，MT＝MD，推知MD＝12AD，根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝12AD．根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可；（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝12AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．需要分类讨论：（i）当2111(1)211aa a-⎧⎨----⎩，即413a<，根据抛物线的增减性求得y的极值．（ii）当0112111(1)211aaa a<-⎧⎪->⎨⎪--<--⎩，即43＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．【详解】解：（1）把点B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，解得b＝﹣2，则该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①∠DMT的度数是定值．理由如下：如图1，连接AD ．∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4．∴抛物线的对称轴是直线x ＝1．又∵点D 的纵坐标为∴D （1，由y ＝x 2﹣2x ﹣3得到：y ＝（x ﹣3）（x+1），∴A （﹣1，0），B （3，0）．在Rt △AED 中，tan ∠DAE＝2DE AE ==． ∴∠DAE ＝60°．∴∠DMT ＝2∠DAE ＝120°．∴在点T 的运动过程中，∠DMT 的度数是定值；②如图2，∵MT ＝12AD ．又MT ＝MD ， ∴MD ＝12AD ． ∵△ADT 的外接圆圆心M 在AD 的中垂线上， ∴点M 是线段AD 的中点时，此时AD 为⊙M 的直径时，MD ＝12AD ． ∵A （﹣1，0），D （1，∴点M 的坐标是（0（3）如图3，作MH ⊥x 于点H ，则AH ＝HT ＝12AT ． 又HT ＝a ，∴H （a ﹣1，0），T （2a ﹣1，0）．∵OH≤x≤OT ，又动点T 在射线EB 上运动，∴0≤a ﹣1≤x≤2a ﹣1．∴0≤a ﹣1≤2a ﹣1．∴a≥1，∴2a ﹣1≥1．（i ）当2111(1)211a a a -⎧⎨----⎩，即14a 3时， 当x ＝a ﹣1时，y 最大值＝（a ﹣1）2﹣2（a ﹣1）﹣3＝a 2﹣4a ；当x ＝1时，y 最小值＝4．（ii ）当0112111(1)211a a a a <-⎧⎪->⎨⎪--<--⎩，即43＜a≤2时，当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝1时，y最小值＝﹣4．（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．3．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，∴AE=18米，在RT△ADE中，22+34DE AE∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，在RT△BCF中，22+5CF BF∴周长345（345）米，面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．4．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan3B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】解：由题意得，3 tan B=∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A3，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE3在Rt△CEF中，设EF＝x，CF3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CF＝3x≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．5．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'10，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，∴FN＝t，F'N＝3t，∵MH'＝FN＝t，EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，∴41533tt=-，∴t ＝4，∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．6．阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝AD b ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a C A =，sin sin a b A B=，所以sin sin sin a b c A B C ==． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB ＝；（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ． （3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1）6；（2）6海里；（36+2【解析】 【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB 的值.（2）此题可先由速度和时间求出BC 的距离，再由各方向角得出∠A 的角度，过B 作BM ⊥AC 于M ，求出∠MBC=30°，求出MC ，由勾股定理求出BM ，求出AM 、BM 的长，由勾股定理求出AB 即可；（3）在三角形ABC 中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C 作AC 的垂线BD ，构造直角三角形ABD ，BCD ，在直角三角形ABD 中可求出AD 的长，进而可求出sin75°的值． 【详解】解：（1）在△ABC 中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°， ∵AB sinC =sin BCA ， ∴45AB sin =60sin60， 23，解得：6. （2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°．∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，sin AB ACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin，解之得：AB=156．答：货轮距灯塔的距离AB=156海里．（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.在直角三角形ABM中，∠A=45°，6，所以3BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以3，由题意得，1531575sin+＝15660sin，sin75°=6+24．【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．7．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.8．已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．(1)求直线AC的解析式；(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝13x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值61； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，195）．【解析】【分析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k13=，则：直线AC的表达式为：y13=x+2；（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，16-m223-m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP12=PG•OA12=•（16-m223-m+213-m﹣2）•612=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y 56=-x ，当x ＝﹣2时，y 53=，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：2222555(32)()2()233-++--+=61． （3）存在．∵AE ＝CD ，∠AEC ＝∠ADC ＝90°，∠EMA ＝∠DMC ，∴△EAM ≌△DCM （AAS ），∴EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt △DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a 83=，则：MC 103=，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt △DMC 中，12DH •MC 12=MD •DC ，即：DH 10833⨯=⨯2，则：DH 85=，HC 2265DC DH =-=，即：点D 的坐标为（61855-，）； 设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣61010，D ′坐标为（618551010，-++），而点E 坐标为（﹣6，2），则2''A D =22618(6)()55-++=36，2'A E =22(2)1010+=2410m +，2'ED =22248(()551010+=2128510m +．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：①当2''A D +2'A E =2'ED 时，36+2410m -=2128510m +，解得：m =105，此时D ′（618551010，-++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+2128510m +=2410m +，解得：m =8105-，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）； ③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2410m -++2128510m ++=36，解得：m =810-或m =10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（35，195）． 综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35，195）． 【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．9．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为53°．已知BC ＝90米，且B 、C 、D 在同一条直线上，山坡坡度i ＝5：12．(1)求此人所在位置点P 的铅直高度．(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，tan63.4°≈2)【答案】（1）此人所在P 的铅直高度约为14.3米；（2）从P 到点B 的路程约为127.1米 【解析】分析：(1)过P 作PF ⊥BD 于F ，作PE ⊥AB 于E ，设PF ＝5x ，在Rt △ABC 中求出AB ，用含x 的式子表示出AE ，EP ，由tan ∠APE ，求得x 即可；(2)在Rt △CPF 中，求出CP 的长. 详解：过P 作PF ⊥BD 于F ，作PE ⊥AB 于E ， ∵斜坡的坡度i ＝5:12， 设PF ＝5x ，CF ＝12x ， ∵四边形BFPE 为矩形， ∴BF ＝PEPF ＝BE . 在RT △ABC 中，BC ＝90， tan ∠ACB ＝AB BC，∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.在RT△AEP中，tan∠APE＝1805490123 AE xEP x-≈＝＋，∴x＝207，∴PF＝5x＝10014.37≈.答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP＝13x，∴CP＝13×207≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.答：从P到点B的路程约为127.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.10．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝330＝______．（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析；（2）y＝18x2（x＞0）；（3）①163π或8π或（17+2）π；21．【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC=解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EFAC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH 垂直平分线段AD ， ∴FA ＝FD ，∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝83， ∴⊙O 的面积为163π． 如图2中，当AF ＝AO 时，∵AB 22AC BC +216x +∴OA ＝2162x +， ∵AF 22EF AE +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴216x +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x ＝4（负根已经舍弃）， ∴AB ＝2 ∴⊙O 的面积为8π．如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2164x+，∵△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴16＝x•2164x+，解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，∴⊙O的面积＝π•14•AB2＝（217+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF ＝18x 2＝98， ∴FG＝2﹣98，AF158，AH， ∵∠CFG ＝∠AFH ，∠FCG ＝∠AHF ，∴△CFG ∽△HFA ， ∴GF CG AF AH=，∴928158-= ∴CG，∴＝．故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

中考数学锐角三角函数(大题培优)含详细答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形4．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.5．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FHAB BE CH==；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝8463 FH EHCH AB===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．6．如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝12，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．（1）求B，D两点的坐标；（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣42，8﹣42）或（8+42，8+42）或42164216,⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭或16421642,77⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=12OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=12EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得． 【详解】解：（1）∵A （4，0）， ∴OA ＝4，∵四边形OABC 为正方形， ∴AB ＝OA ＝4，∠OAB ＝90°， ∴B （4，4），在Rt △OAD 中，∠OAD ＝90°， ∵tan ∠AOD ＝12， ∴AD ＝12OA ＝12×4＝2， ∴D （4，2）；（2）如图1，在Rt △OFG 中，∠OFG ＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，则x＝22x，解得：x＝22，∴E（8﹣2，8﹣2如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x＝2x﹣2，解得：x＝2+2，∴E（8+42，8+42）；②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2∴3x﹣2＝22x，∴227x=，∴42164216,77E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图5，当点E在线段OM上时，GQ＝PM＝22﹣3x，则22﹣3x＝2﹣2x，解得422x-=，∴16421642,77E⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；如图6，当点E在线段OB的延长线上时，3x﹣22x﹣2，解得：4227x=（舍去）；综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭或16421642--⎝⎭．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．7．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数≈≈）．据：2 1.414,3 1.73【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度．【解析】AB=-73.2 (米)．…6分解：（1）100(31)(2) 此车制速度v==18.3米/秒8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP ＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．9．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.(1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，，，，，，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形10．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】 解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠， 321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠， //OC DB ∴. CE DB ⊥， OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径， CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠， 3tan tan 4BAD F ∴∠==，34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==，10AB ∴==，5OB OC ==.OC CF ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

初中数学锐角三角函数的易错题汇编附答案

初中数学锐角三角函数的易错题汇编附答案

初中数学锐角三角函数的易错题汇编附答案一、选择题1．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若4BC =，1DE AF ==，则GF 的长为（ ）A ．135B ．125C ．195D ．165【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE∠=∠==，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，4BC =，∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=︒，∵1AF DE ==，∴3DF CE ==， ∴22345BE CF =+=，在BCE ∆和CDF ∆中， BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE CDF SAS ∆≅∆，∴CBE DCF ∠=∠，∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=︒=∠，cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠==， ∴453CG =，125CG =， ∴1213555GF CF CG =-=-=，故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB的长是（）A．3 B．43C．5D．13【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=ACAB=23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A的邻边斜边，然后带入数值即可求解.3．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )A 83B43C．8 D．83【答案】A 【解析】【分析】根据折叠性质可得BE=12AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM 中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.【详解】∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，∴BE=12AB=2，∠BEF=90°，∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，∴∠EA′B=30°，∴∠EBA′=60°，∴∠ABM=30°，∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，解得：BM=833，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.4．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．35B．45C．34D．43【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC，∴∠A=∠BOD.∴tanA=tan∠BOD=43 BDOD=.故选D．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．5．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）A ．1B ．12C ．3D ．3 【答案】C【解析】【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-=33，即可求出答案 【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝33 AE ＝33， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣3＝233 ， 在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝323CFEF ==， 故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等6．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=，22534AE ∴=-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽， ::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．7．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）A ．2244x y +=B ．2244x y -=C ．2288x y -=D ．2288x y+= 【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，∵EF 垂直平分CD ，∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，∴∠ACD ＝∠FCE ，∴△CEG ∽△FEC ，∴GE CE ＝CE FE， ∴y ＝2FE， ∴y 2＝24FE ， ∴24y＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4， ∴24y ＝x 2﹣4， ∴24y+4＝x 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．8．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA 等于（ ）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC∠=（）A．39B3C．33D．32【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用ECtan ABCBE∠=得出答案．【详解】解:连接DC ，交AB 于点E ．由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,设EC=x,则EF=x =3x tan 30︒, ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 923x 3x 33====+∠, 故选:A 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．10．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD的值（ ）A ．35B ．34C ．45D ．67【答案】D【解析】【分析】根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝12AB ，进而可求得AE AD的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠，∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，则S△ACE＝12AC·h，S△BCE＝12BC·h，∴S△ACE：S△BCE＝12AC·h：12BC·h＝AC：BC，又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，∴AE：BE＝AC：BC，∵在Rt ABCV中，90ACB∠=︒，3tan4B=，∴AC：BC＝3:4，∴AE：BE＝3:4∴AE＝37AB，∵CD为AB边上的中线，∴AD＝12AB，∴367172ABAEAD AB==，故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC 是解决本题的关键．11．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A．（163，2）B．（163，1）C．（83，2）D．（83，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到FC＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，∵CD∥x轴，∴DF⊥OB，∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，∴FC＝CG＝CE，∴DH＝CG＝CF，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴tan∠OAB＝DHAH＝OBOA＝34，∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，∵CD∥OA，∴∠DCA＝∠CAG，∵∠DAC＝∠GAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，∴x＝23，∴DH＝2，OH＝163，∴D（163，2），故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．5342π-B．5342π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=3，AH=AO•cos∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=532π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.13．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA=底边:腰.如图，在ABC∆中，AB AC=，2A B∠=∠.则sin B sadA⋅=（）A ．12B 2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠A=2∠B ，∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，∴在Rt △ABC 中，BC=sin AC B ∠2AC ， ∴sin ∠B •sadA=1AC BC BC AC=g , 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ）A ．8sin 17A =B ．cosA=815C ．tan A =817D ．cot A=815 【答案】D【解析】【分析】 根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】 由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB == ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC ==，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.15．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183-πC ．32316π-D ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3843⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC的长为( )A ．3πB ．23πC 3πD 23π 【答案】B【解析】【分析】 根据垂径定理得到3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，∴3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o， ∴»BC 的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.17．如图，河坝横断面的迎水坡AB 的坡比为3：4，BC ＝6m ，则坡面AB 的长为（ ）A ．6mB ．8mC ．10mD ．12m 【答案】C【解析】【分析】 迎水坡AB 的坡比为3：4得出3tan 4BAC ∠=，再根据BC ＝6m 得出AC 的值，再根据勾股定理求解即可.【详解】由题意得3tan 4BAC ∠=∴468tan 3BC AC m BAC ==⨯=∠ ∴22228610AB AC BC m =+=+=故选：C. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，把坡比转化为三角函数值是关键.18．已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为102km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行47km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（ ）km ．A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】 解：∵∠MAB=45°，BM=102，∴22BM MA +22(102)(102)+，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°， tan ∠BAD=BD AD =33， ∴3，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+3）2=202，∴BD=10，∴3，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，33，∴AC=AD ﹣333km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为3km ．故选A ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a•tanαB．a•cotαC．a•sinαD．a•cosα【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC BC ，∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－53B．20－103C．10－53D．53－5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．。

备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析

备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=151514151AE AB -+++==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB3=32=，依据tan∠Q=tan∠A32=BQ=BC3=2，进而得出PQ=PB+BQ72=；（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ12=PQ×BC3=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=． ∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果∠A ＝30°，①如图1，∠DCB 等于多少度；②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB为等边三角形.∴∠CDB＝60°∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∵∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠FDB＝∠CDP，在△DCP和△DBF中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．9．如图，正方形ABCD+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ，（1）求证：△ABF ∽△ACE ；（2）求tan ∠BAE 的值；（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。

人教中考数学锐角三角函数综合题含详细答案

人教中考数学锐角三角函数综合题含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数2．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN；（3）当2733-或2733+时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【解析】分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =95S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．∵S △ABC =12•AC•BE=814， ∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -， ∴coaA=647.55AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，∵S △PQM =95S △QCN ， ∴32=9352， ∴9t 2+（9-9t ）2=95×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0，解得t=3（舍弃）或35．∴当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=3HQ，∴3t=3（9-9t），∴t=2733-．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得3，∴39t-9），∴27+33综上所述，当2733-s27+33时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．4．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）【答案】（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或【解析】试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．试题解析：（1）①法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCPBD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）法一：轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由得：，∴．即PD=法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△A D′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．如图，已知，在O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AC BD=.=；（1）求证：AB CD∠；（2）如图，若直径FG经过点E，求证：EO平分AED（3）如图，在（2）的条件下，点P 在CG 上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O 10.【解析】 【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；（3）如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有22LK KG ==，2222FK FL LK n =+=，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HFFK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 10． 【详解】解：（1）证明：∵AC BD =，∴AC CB BD CB +=+， ∴AB CD =， ∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ∆≅∆， ∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒， 如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒， ∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =， 在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL = 设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==， 在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，22LK KG n ==，2222FK FL LK n =+=+， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，∴KG HFFK HM=，∴2222222n nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =. 即O 的半径的长为10.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．7．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN＝43．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴EH FH FHAB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】【分析】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，求出点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx+c，即可求解；（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，即可求解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx﹣3得：0＝﹣14×36+6b﹣3，解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣14x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EH⊥BC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），tan∠OBC＝3162OCOB==，则sin∠OBC5，则EH＝EB•sin∠OBC5CE＝2CH5则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝5∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan ∠DBE ＝164-＝12， 故：∠DBE ＝∠OBC ，则∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°， ①当点F 在y 轴负半轴时，过点F 作FG ⊥BG 交BC 的延长线与点G ，则∠GFC ＝∠OBC ＝α，设：GF ＝2m ，则CG ＝GFtanα＝m ， ∵∠CBF ＝45°，∴BG ＝GF ，即：5＝2m ，解得：m ＝5 CF 22GF CG +5＝15， 故点F （0，﹣18）； ②当点F 在y 轴正半轴时， 同理可得：点F （0，1）；故：点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．9．如图所示，一堤坝的坡角62ABC ∠=︒，坡面长度25AB =米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角50ADB ∠=︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 米)(参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，tan50 1.20︒≈)【答案】6.58米【解析】试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．试题解析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．10．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.(1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，，，，，，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形。

中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习附答案

中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数3．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置4．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5232S {23x 1235x 93543x 9x +≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）． （2）当0≤x≤3时， 如图1，OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ； 由题意可知直线l ∥BC ∥OA ， 可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=13（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（）当3＜x≤5时，如图2，)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ243331333 3x 3=∆=-=-⋅⋅=+---梯形梯形当5＜x≤9时，如图3，12S BE OAOC 312x 2323 =x 1233=+⋅=--+（）（）。

【精品】人教版中考数学《锐角三角函数》专题及答案详解

【精品】人教版中考数学《锐角三角函数》专题及答案详解

【精品】人教版中考数学《锐角三角函数》专题及答案一、选择题1. 如图，在△ABC 中，CA = CB = 4，cos C=14，则sinB 的值为（▲） A．B．C．D．【答案】D2..如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（ ） A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx【答案】D【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选D ． 3．如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20°，山高BC ＝2千米.A.B.C. D.BC AB 2sin 20sin 20BC.故按键顺序为20°24.已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12，∴∠α=30°．故选A.5.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC=32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D 的坐标为(332,0)，其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个【答案】D 【解析】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时，OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2=7，故②正确；过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时，OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3OD OC，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0).6. 如图，在△ABC 中，CA = CB = 4，cos C=14，则sinB 的值为（▲） A．B．C．D．【答案】D【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cosC=14，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，AD=B224115-=，在Rt △ABD 中，AB=22(15)326+=，∴sinB=151026AD AB ==，故选D.7.2sin60°的值等于(A) 1 (B)2(C)3(D)2【答案】C 【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=321，再乘以2，可得答案C.8.如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB=m ，∠BAC=∠α，下列结论错误的是（） A. ∠BDC=∠α B.BC= m·tanα C.AO=2sin m α D.BD=cos m α【答案】C ．【解析】由锐角三角函数的定义，得s inα= 2BC OA ，∴AO=2sin BCα，故选C ．9.如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64） 【答案】1.02【解析】∵∠ABO ＝70°，AB ＝6m ，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO ＝5.64（m ），∵∠CDO ＝50°，DC ＝6m ，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO ＝4.62（m ），则AC ＝5.64﹣4.62＝1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．10.在直角三角形ABC 中，若2AB=AC 则cosC=___________.【答案】或【解析】若∠B=90°，设AB=x ，则AC=2x ，所以BC==x ，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x ，则AC=2x ，所以BC==x ，所以cosC===；综上所述，cosC 的值为或．故答案为或．αm ODB C A11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝12BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.【答案】9 2a【解析】∵BC＝a,∴CF＝12BC＝12a,∴BF＝32a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝12a,∴△MED∽△MFB,∴MD EDMB FB=,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝12a,MB＝32a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝92a.12.如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.如图1，当CD＝12AC时，13tan;4α=如图2，当CD＝13AC时，25tan;12α=如图3，当CD＝14AC时，37tan;24α=……依次类推，当CD＝11ACn+（n为正整数）时，tan nα=……【答案】21.2(1)n n n ++【解析】当n ＝1时，133tan ;414α==⨯当n ＝2时，255tan ;1226α==⨯当n ＝3时，377tan ;2438α==⨯……∴2121tan .(22)2(1)n n n n n n n α++==++13.如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，53cos =C .则AB 边的长为▲.【答案】165【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65，85AD ，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝30°．∵sin B=12AD AB =，AB =2AD=165．14.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为_________．【答案】32【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴AC=22512=13，∵△ABC绕点A旋转到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan∠ECD=ED DC=128=32，故答案为：32.15.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=.【答案】【解析】连接BC，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=√3a，在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√7a.∴cos∠ABC=BCAB =√3a√7a=√217.又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=√217.三、解答题16.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行.在C 处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910）【解题过程】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ， 则//CE DF ，//AB CD Q ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =， 在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒Q ，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈g ，1785sin3280322BF BD =︒=⨯≈g ，1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒Q ，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=g ，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为134m ．17. 图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB ＝25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE ＝50cm ，CE ＝130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【解题过程】过B 点作MN ∥DE ，分别交直线AD 和直线EC 于点M 、N ，由题意可知AD ∥CE ，∠ADE ＝90°∴四边形DMNE 为矩形，∴∠AMB ＝∠BNC ＝9 0°，MN ＝DE ，MD ＝NE ．在Rt △ABM 中，∠D AB ＝37°， sin ∠MAB ＝MBAB ，∴MB ＝AB ·sin37°＝25×0.6＝15，cos ∠MAB ＝AMAB ，∴AM ＝AB ·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN ＝DE ＝50，∴NB ＝50－15＝35，∵∠ABM ＝90°－37°＝53°，∠ABC ＝72°，∴∠NBC ＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN ＝90°－55°＝35°．在Rt△BNC 中，tan ∠BCN ＝BN CN ，∴CN ＝350.75＝50，∴EN ＝CN+CE ＝50+130＝180＝MD ，∴AD ＝MD －AM ＝180－20＝160（cm ）．答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm 高的位置．18.如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ．连接MD ，MG ，MB ．(1)试证明DM ⊥MG ，并求MBMG 的值；(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中MBMG 的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．D'图10DCBAD'NM 图10D CBA解：(1)延长GM交DE于H，∵EF的中点M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴AB∥DE∥GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，==AMH FMGEM FMHEM GMF⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△EHM≌△FGM(ASA),∴HM＝MG，GF＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG，∴DM是△HDG底边上的中线，∴DM⊥MG；设AB＝4，BC＝2，易求MB＝12EF=MG＝BC，∴MBMG(2)MBMG比值会随着α的变化而变化，理由如下：连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EA T＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α∴四边形TBFD为矩形∴DF＝TB∵G为BD的中点∴MG＝11 22 DF TB=由题设AB＝2，BC＝1∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα∴DF＝TB＝2sinαMG＝1122DF TB=＝sinα在RT△EBF中由勾股定理得EF∴===图2图1A B CDEFMGA B CDEFMG图2图1A B CDEFMGA B CDEFMGQT图2图1A B CDEFMGA B CDEFMGQT∴MB ＝2EF∴MB MG＝sin α=第二批二、填空题19.在ABC ∆中90C ∠=︒，tan A =，则cos B =．【答案】12【解析】解：Q 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =，设a =，3b x =，则c =，1cos 2a B c ∴==． 故答案为12． 【知识点】特殊角的三角函数值20.如图，在△ABC 中，sinB ＝，tanC ＝，AB ＝3，则AC 的长为 ．【答案】【解题过程】过A 作AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，sinB ＝，AB ＝3，∴AD ＝AB •sinB ＝1，在Rt △ACD中，tanC ＝，∴＝，即CD ＝，根据勾股定理得：AC ＝＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形21.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA= ___________．【答案】45【解析】根据正弦的定义直接求解，sinA=45BC AB =，故答案为45．【知识点】锐角三角函数22.如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan ∠APD=.答案：2解析：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，由正方形ABCD 和点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，易证△ABE ≌△BCF,证得AE ⊥BF,延长BF 交AD 的延长线于点G,可证△BCF ≌△GDF,∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质AD=DP=21AG,∴∠APD=∠DAE=∠AEB ，∴tan ∠APD=tan ∠AEB=2.因此本题填2．三、解答题23..如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，5AB =，1BD =，3tan 4B =． （1）求AD 的长；（2）求sin α的值．解：（1）3tan 4B =Q ，可设3AC x =，得4BC x =，222AC BC AB +=Q ，222(3)(4)5x x ∴+=，解得，1x =-（舍去），或1x =，3AC ∴=，4BC =，1BD =Q ，3CD ∴=， 2232AD CD AC ∴=+=； （2）过点作DE AB ⊥于点E ，3tan 4B =Q ，可设3DE y =，则4BE y =，222AE DE BD +=Q ，222(3)(4)1y y ∴+=，解得，15y =-（舍)，或15y =，∴35DE =，1sin 210DE AD α∴==【知识点】解直角三角形的应用 24如图，在A 处的正东方向有一港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60︒方向巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B ．求A ，B 间的距离．(3 1.73≈，2 1.4≈，结果保留一位小数）．【解题过程】解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，则60ACD ∠=︒，45BCD ∠=︒，如图所示． 在Rt BCD ∆中，sin BD BCD BC ∠=，cos CD BCD BC ∠=，2sin 20342BD BC BCD ∴=∠=⨯⨯≈g ，2cos 20342CD BC BCD =∠=⨯⨯≈g ；在Rt ACD ∆中，tan ADACD CD ∠=，tan 42372.2AD CD ACD ∴=∠=⨯≈g ．72.242114.2AB AD BD ∴=+=+=．A ∴，B 间的距离约为114.2海里．。

中考数学锐角三角函数综合题汇编附详细答案

中考数学锐角三角函数综合题汇编附详细答案

-＞锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图•从地而上的点A 看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P 的仰角是45。

，向前 走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60。

和30。

.拐P（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到lm ）.备用数据：盯农1_7, 缶L4 【答案】（1） ZBPQ=30°；（2）该电线杆PQ 的髙度约为9m.【解析】试题分析：（1）延长PQ 交直线AB 于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可：（2）设PE=x 米，在直角AAPE 和直角ABPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE,根 AB=AE-BE 即可列岀方程求得x 的值，再在直角ABQE 中利用三角函数求得QE 的长，则 PQ 的长度即可求解.试题解析：延长PQ 交直线AB 于点E,Z A 二45°,••• AB=AE -BE=6 米,在直角ABPE 中, BE 二迈PE 二』Ex米,33 A B（1） 求Z BPQ 的度数：(1) Z BPQ 二90°・60°二30°；(2) 设 PE 二x 米. 在直角△ APE 中， 则AE=PE=x 米: •・• ZPBE=60° ・・・Z BPE=30°贝I」x-^^-x=6t3解得：x=9+3jj・则BE= （3 JJ+3）米.在直角ABEQ 中，QE=JI B E=』］（3J3+3） = （3+JJ ）米.3 3PQ=PE-QE=9+3 73 -（3+^3）=6+2 ^3 =9 （米）.答：电线杆PQ的髙度约9米.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.2.已知RtA ABC中，AB是00的弦，斜边AC交。

0于点D,且AD=DC,延长CB交00 Array（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由：（2）如图2,过点E作OO的切线，交AC的延长线于点F.①若CF=CD时，求sinZ CAB的值；②若CF=aCD （a>0）时，试猜想sinZ CAB的值.（用含a的代数式表示，直接写岀结果）p3 ^/a^TZ【答案】（1） AE=CE；（2）①3；②a + 2.【解析】试题分析：（1）连接AE、DE,如图1,根据圆周角泄理可得Z ADE=Z ABE=90%由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED,如图2,由Z ABE=90°可得AE是。

人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题及答案

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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数3．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =95S △QCN 时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S △PQM =95S △QCN ；（3）当t=2733-s 或2733+s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．【解析】分析：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即可解决问题；（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =95S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．∵S △ABC =12•AC•BE=814，∴BE=92， 在Rt △ABE 中，22=6AB BE -，∴coaA=647.55AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，∵S△PQM=95S△QCN，∴3•PQ2=935⨯•CQ2，∴9t2+（9-9t）2=95×（5t）2，整理得：5t2-18t+9=0，解得t=3（舍弃）或35．∴当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴3，∴39-9t），∴2733-．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH=3QH ， ∴3t=3（9t-9）， ∴t=27+33， 综上所述，当t=2733 s 或27+3326s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记ACBC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为33时，CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FPMC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，ACBC=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FPMC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FPMC PB=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，ACBC=tan30°， ∴k=tan30°=3， ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=22．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．（2）在点P、Q运动的过程中：①当0＜t≤1时，如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t．∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，S=12PM•PE=12×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．S=1 2PM•PE=12×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如图3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，S=12PM•MQ=12×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（3）①当0＜t≤1时，22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．②当1＜t≤2时，22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647．③当2＜t＜167时，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．【解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=22，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．∵sin∠DAB=22，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．设直线l的解析式为：y=kx+b，则有4k b0{b4-+==，解得：k1{b4==．∴y=x+4．∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜167时，如图3．（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：①如图4，点M在线段CD上，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=209．②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．∴当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．6．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO ＝∠OAE ． ∴∠AEO ＝∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∵DC ⊥AC ， ∴OE ⊥DC ． ∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是直径， ∴∠AEB ＝90°，∠ABE ＝60°． ∴∠EAB ＝30°，在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°=6×32=33， 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝∠BAE ＝30°， ∴AD=cos30°×AE=3×33=92.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.7．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233384y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x=+或334y x=--.【解析】【分析】（1）设出交点式，代入C点计算即可（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D，易证△CDP∽△COB，得到比例式PC PDBC OB=，得到PD=45PC，所以5PA+4PC＝5（PA+45PC）＝5（PA+PD），当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q，∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个；此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G，利用cos∠QFT求出QG，分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0）、B（4，0）∴y＝a（x+2）（x﹣4）把点C（0，3）代入得：﹣8a＝3∴a＝﹣38∴抛物线解析式为y＝﹣38（x+2）（x﹣4）＝﹣38x2+34x+3（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D ∴∠CDP＝∠COB＝90°∵∠DCP＝∠OCB∴△CDP∽△COB∴PC PDBC OB=∵B（4，0），C（0，3）∴OB＝4，OC＝3，BC∴PD＝45PC∴5PA+4PC＝5（PA+45PC）＝5（PA+PD）∴当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC∴S △ABC ＝12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855AB OC BC ⨯== ∴5AE ＝18∴5PA+4PC 的最小值为18．（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3 ∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ = ∴FG ＝35FQ ＝95∴x Q ＝1﹣9455=-，QG 125==①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，） 设直线l 解析式为：y ＝kx+b∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，） ∴直线l ：334y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论8．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝12 EC；（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）633 tan EAC-∠=【解析】【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP＝3x，EH＝2PH＝2x，由此FH＝2x+3﹣1，CF＝23x+3﹣3，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP＝3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝1+3，由此tan∠EAF＝2﹣3，根据对称性可得tan∠EAC＝6-33．11【详解】（1）如图1中，∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，∴∠EDC＝90°，故答案为90；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，∵AD＝AE，∴△BAD≌△PAE（SAS），∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EC＝2PE＝2BD；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，∴EP3，EH＝2PH＝2x，∴FH＝31，CF3FH＝33∵△BAD≌△PAE，∴BD＝EP3，AE＝AD，在Rt△ABG中，∵AB＝2∴AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，∴22+（23）231）2+（4﹣3﹣32，整理得：9x2﹣12x＝0，解得x＝43（舍弃）或0∴PH＝0，此时E，P，H共点，∴AF＝3∴tan∠EAF＝EFAF 3131-+＝23根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC 6-33．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P 与边BC 相切时，求P 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）()25880010x x x y x -+=<<；（3）1025- 【解析】 【分析】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BFPF，即：2248805x x x y x--+-=，即可求解；（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解． 【详解】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP，则HP⊥BC，cosC=35，则sinC=35，sinC=HP CP=R10R-=45，解得：R=409；（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=35，设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，则BH=ACsinC=8，同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2284x+-=2880x x-+，DA=255x，则BD=45-255x，如下图所示，PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则55EB=BDcosβ=（555x）525x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx--+-=，整理得：y=()25x x 8x 800x 103x 20-+<<+； （3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G ，则PG=PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ，GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 时弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ，∵AG 是圆P 的直径，∴∠GDA=90°，∴EP ∥BD ，由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形，∴AG=EP=BD ，∴AB=DB+AD=AG+AD=45，设圆的半径为r ，在△ADG 中，AD=2rcosβ=5，DG=5，AG=2r ， 5+2r=45，解得：2r=51+， 则：DG=5=10-25， 相交所得的公共弦的长为10-25．【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．10．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向. (1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，，，，，，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形。

人教中考数学锐角三角函数的综合复习附答案

人教中考数学锐角三角函数的综合复习附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．2．如图，PB 为☉O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交☉O 于点A ，连接PA ，AO.并延长AO 交☉O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．3．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=22．∴AP+BP的最小值是22．（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．4．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）【答案】（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或【解析】试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．试题解析：（1）①法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCPBD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）法一：轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由得：，∴．即PD=法二：四点共向作法，A 、H 、D 、P 共向，∴∠APD ＝∠AHB ＝62°，∴．考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆5．如图，已知，在O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且AC BD =.（1）求证：AB CD =；（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；（3）如图，在（2）的条件下，点P 在CG 上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O 的半径的长为10.【解析】 【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；（3）如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，求出22FL =，设HM n =，则有22LK KG n ==，2222FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HFFK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】解：（1）证明：∵AC BD =，∴AC CB BD CB +=+， ∴AB CD =， ∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ∆≅∆， ∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒， 由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒，如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒， ∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =， 在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL = 设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==， 在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，2LK KG ==，2222FK FL LK n =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，∴KG HFFK HM=，∴2222222nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =10FO = 即O 10【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．6．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK ∽△NMA ; 即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM ，证明∽ 得7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．（1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCDS 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OB BC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0， ∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-． 当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为503． （3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【解析】【分析】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE ＝2，则CH 5解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx﹣3得：0＝﹣14×36+6b﹣3，解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣14x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EH⊥BC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），tan∠OBC＝3162OCOB==，则sin∠OBC5，则EH＝EB•sin∠OBC5CE＝2CH5则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝5∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：35+m＝2m，解得：m＝35，CF＝22GF CG+＝5m＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．9．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD=；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB=，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．10．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22+【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，∴△ABF ∽△ACE ．（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，∴BE ＝EB ，∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，∴HC ＝EH ，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC 2，∵BC 2+1，∴x+x 2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝ 1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM 2， ∵AC 22AB BC +2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC 22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB 22+ •2﹣12 ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22+．． ∴PE+PF 22+【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案解析一、选择题1．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若4BC =，1DE AF ==，则GF 的长为（ ）A ．135B ．125C ．195D ．165【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE∠=∠==，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，4BC =，∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=︒，∵1AF DE ==，∴3DF CE ==， ∴22345BE CF =+=，在BCE ∆和CDF ∆中， BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE CDF SAS ∆≅∆，∴CBE DCF ∠=∠，∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=︒=∠，cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠==， ∴453CG =，125CG =， ∴1213555GF CF CG =-=-=，故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB的长是（）A．3 B．43C．5D．13【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=ACAB=23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A的邻边斜边，然后带入数值即可求解.3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA 3D．cosD＝12【答案】D【解析】【分析】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．【详解】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；∴点B在以AD为直径的圆上，∴∠ABD＝90°，故A正确；∴点C是△ABD的外心，在Rt△ABC中，sin∠D＝ABAD＝12，∴∠D＝30°，∠A＝60°，∴sinA＝32，故C正确；cosD＝32，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．4．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解:如图,延长DC、AB交于点E，，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝xm，CE＝2xm．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12，BE＝12m，CE＝24m，DE＝DC+CE＝8+24＝32m，由tan36°≈0.73，得＝0.73，解得AB＝0.73×32＝23.36m．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．203海里D．303海里【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=22303AB AP-=（海里）故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A3B．3C．32D23【答案】A 【解析】连接OC，∵OA=OC ，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC 是⊙O 切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC •tan30°=3，故选A8．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．65.8米B ．71.8米C ．73.8米D ．119.8米【答案】B【解析】【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．【详解】解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ，∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米，∴设DG x =，则 2.4 CG x =．在Rt CDG ∆中，∵222DG CG DC +=，即222(2.4)52x x +=，解得20x =，∴20DG =米，48CG =米，∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米．∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥，∴四边形EGBM 是矩形，∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米．在Rt AEM ∆中，∵27AEM ︒∠=，∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米，∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( )A 3B ．4C ．6D ．33【答案】D【解析】【分析】 连接OA ．证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题．【详解】如图，连接OA ．∵AE EB =，∴CD AB ⊥，∴»»AD BD=， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ，∴60AOB ∠=o ，∵OA OB =，∴AOB ∆是等边三角形，∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =⋅=o故选D ．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．cos60tan45+o o 的值等于( )A ．32B 2C 3D ．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】 解：原式13122=+=． 故选A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．11．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183-πC ．32316π-D ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3843⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．12．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )A ．asinα+asinβB ．acosα+acosβC ．atanα+atanβD ．tan tan a a αβ+ 【答案】C【解析】【分析】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．【详解】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．13．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则7BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =． 【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；∵AB=2DE，∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，EH=3CH=3，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．14．如图，已知△A1B1C1的顶点C1与平面直角坐标系的原点O重合，顶点A1、B1分别位于x轴与y轴上，且C1A1＝1，∠C1A1B1＝60°，将△A1B1C1沿着x轴做翻转运动，依次可得到△A2B2C2，△A3B3C3等等，则C2019的坐标为（）A．（30）B．（3，0）C．（403523，32D．（30）【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.【详解】由题意知，111C A =，11160C A B ︒∠=，则11130C B A ︒∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===， 结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =++=+，∴2019C (20196733,0)+，故选B .【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.15．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60︒刻度线，则假山的高度CD 为（ ）A ．()23 1.6mB ．()22 1.6mC ．()43 1.6mD ．23m【答案】A【解析】【分析】 根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°=6CK CK AK =，进而得出CD 的长． 【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°=6CK CK AK =， 解得：CK=23即CD=CK+DK=23+1.6=（23+1.6）m ．故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.16．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD，∴AC=AD •cos70°， AD=cos70AC︒， ∴2cos70AC AC AB AD=︒=2cos70°． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．17．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（ ）A ．14B ．16C 2D ．310【答案】B【解析】【分析】过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC 是菱形，则OE 与BC 垂直平分，易得EF=12x ，CF=x ．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，∴BC ＝AD ，设AB ＝2x ，则BC ＝x ．如图，过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ． ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形BOCE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OC ，∴四边形BOCE 是菱形．∴OE 与BC 垂直平分，∴EF ＝12AD ＝12x ，OE ∥AB ， ∴四边形AOEB 是平行四边形，∴OE ＝AB ＝2x ，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EF DF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．18．已知在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AC= 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（）A．8sin17A=B．cosA=815C．tan A =817D．cot A=815【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知，AB=17；A.15sin17BCAAB== ,所以A错误；B.8cos17ACAAB==，所以，B 错误；C.15tan8BCAAC==，所以，C错误；D.cotACABC==815，所以选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.19．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为()A．cot cotmαβ-千米B．cot cotmβα-千米C．tan tanmαβ-千米D．tan tanmβα-千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β= cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.20．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ）A 3B 23C ．3D ．3【答案】B【解析】【分析】证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ．∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ．∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°．∵∠DEB =90°，∴BD =23sin603DE =︒． 故选B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

人教版初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案解析一、选择题1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．23B ．22C ．10D ．243【答案】D 【解析】【分析】分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8，∴AO=CO=4，∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342AM AM sin AOB AO ===∠， 342CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ⨯===g △ 12231232BD CN S ⨯===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15B 5C ．355D ．95【答案】A【解析】【分析】 根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为555， ∴55555θθ-=， ∴5cos sin θθ-=， ∴()21sin cos 5θθ-=． 故选：A ．【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin 5θθ-=．3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 222x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--， ∵2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）A ．78.6米B ．78.7米C ．78.8米D ．78.9米【答案】C【解析】【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度【详解】如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G∵BC 的坡度为1:0.75∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm∵BC=140m∴在Rt △BCF 中，()2220.75140x x +=，解得：x=112∴CF=112m ，BF=84m∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形∵DE=55m ，CE=FG=36m∴DG=167m ，BG=120m设AB=ym∵∠DAB=40°∴tan40°=1670.84120DG AG y ==+ 解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．(31)π+【答案】C【解析】【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形． ∴正三角形的边长32==． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为12222ππ⨯⨯=，∵底面积为2r ππ=， ∴全面积是3π．故选：C ．【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）A．1113B．1315C．1517D．1719【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF可得出△OEF≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．【详解】解：∵矩形纸片ABCD，点P在BC边上，将CDP∆沿DP折叠，点C落在点E处，根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP ，∴.DC=DE=4， CP= EP，在△OEF和△OBP中90EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△OEF≌△OBP(AAS)∴ОE=OB， EF= ВР.设EF=x,则BP=x，DF= DE-EF=4-X，又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,∴AF=AB-BF=1+x.在Rt△DAF中，AF2+AD2= DF2，即(1+x) 2+32= (4-x)2解得: x=35∴DF=4-x=175∴cos∠ADF=1517ADDF=故选: C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．7．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m 【答案】A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x ，在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.8．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且AB ＝BD ，则tan D 的值为（ ）A ．3B ．33C ．23D ．23【答案】D【解析】【分析】 设AC ＝m ，解直角三角形求出AB ，BC ，BD 即可解决问题．【详解】设AC ＝m ，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝2m ，BC ＝3AC ＝3m ，∴BD ＝AB ＝2m ，DC ＝2m+3m ，∴tan ∠ADC ＝AC CD ＝23m m+＝2﹣3． 故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米D ．1000sin α米 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC ABα=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米，∴tan AC AB α=， ∴1000tan tan AC AB αα==米． 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC =60°，则k 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．﹣2【答案】C【解析】 分析：根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．详解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BA=BC ，AC ⊥BD ，∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点A （1，1），∴OA=， ∴BO=，∵直线AC 的解析式为y=x ，∴直线BD 的解析式为y=-x ，∵OB=，∴点B 的坐标为（−，）， ∵点B 在反比例函数y=的图象上， ∴，解得，k=-3，故选C ．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.13 1.73370.60sin ≈︒≈,，370.80370.75cos tan︒≈︒≈,)（）A．23.0米B．23.6米C．26.7米D．28.9米【答案】C【解析】【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM 的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．【详解】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，∵沿着坡度为1:2.4i=的斜坡AB步行26米到达点B处，∴BN1 AN 2.4=，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM=MEtan30︒=11.63，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.73，∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．12．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=25，则线段AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，∴∠B=∠D，即sinB=sinD=25，∵半径AO=5，∴CD=10，∴2 sin105AC ACDCD===，∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33【答案】A【解析】【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【详解】如图，连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE=90°，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，∴∠E=180°-90°-60°=30°，∴sinE=sin30°=12. 故选A.14．如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（ ）．A ．1B ．22C 21D ．222【答案】D【解析】【分析】根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解：Q CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，D ∴为ABC ∆的内心，OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形，O Q 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=-Q 四边形DFCE 为正方形，,CE DE ∴=222,OD CE ∴==-故选D ．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．15．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）A ．3cmB ．2cmC ．23cmD ．4cm【答案】A【解析】【分析】 根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC ，OG ⊥BC ，∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG o=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=，∴圆形纸片的半径为3cm ，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．16．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60︒刻度线，则假山的高度CD 为（ ）A ．()23 1.6m +B ．()22 1.6m +C ．()43 1.6m +D ．23m【答案】A【解析】 【分析】 根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°= 6CK CK AK =，进而得出CD 的长． 【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°=6CK CK AK =， 解得：3即3（3+1.6）m ．故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.17．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°， AD=cos70AC ︒， ∴2cos70AC AC AB AD=︒=2cos70°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．18．如图，基灯塔AB 建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i ＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC ＝20m ，然后在C 处水平向前走了34m 到达一建筑物底部E 处，他在该建筑物顶端F 处测得灯塔顶端A 的仰角为43°．若该建筑物EF ＝20m ，则灯塔AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（ ）A ．46.7mB ．46.8mC ．53.5mD ．67.8m【答案】B【解析】【分析】 根据山坡的坡度i ＝1：0.75，可得BD CD ＝43，设BD ＝4x ，CD ＝3x ，然后利用勾股定理求得BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ；再利用矩形的性质求出FG ＝DE ＝46m ，BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，最后利用三角函数解直角三角形即可．【详解】解：如图，∵∠ADC ＝90°，i ＝1：0.75，即BD CD ＝43， ∴设BD ＝4x ，CD ＝3x ，则BC 22(4)(3)x x 5x ＝20m ，解得：x ＝4，∴BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ，易得四边形DEFG 是矩形，则EF ＝DG ＝20m ，FG ＝DE ＝DC+CE ＝12+34＝46（m ），∴BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，在Rt △AFG 中，AG ＝FG·tan ∠AFG ＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m ）， ∴AB ＝AG+BG ＝42.78+4≈46.8（m ），故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.．19．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC BC ，∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．。

人教版初中数学锐角三角函数的分类汇编附答案

人教版初中数学锐角三角函数的分类汇编附答案

人教版初中数学锐角三角函数的分类汇编附答案一、选择题1．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）A ．3cmB ．2cmC ．23cmD ．4cm【答案】A【解析】【分析】 根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC ，OG ⊥BC ，∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG o =2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=，∴圆形纸片的半径为3cm ，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）A ．39B ．36C ．33D ．32【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE∠=得出答案． 【详解】解:连接DC ，交AB 于点E ．由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,设EC=x,则EF=x 3x tan 30︒, ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 23x 3x 33====+∠, 故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米D ．1000sin α米 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC ABα=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米，∴tan AC ABα=， ∴1000tan tan AC AB αα==米． 故选：C ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．sin∠AOD=32，∴∠AOD=60°；sin∠AOE=22，∴∠AOE=45°；∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.5．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．7C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.7．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．【详解】解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC，所以sin∠A＝0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．8．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）A．1 B．12C3D3【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝323-33【详解】过点C作CF⊥BD与点F．∵∠BAE＝30°，∴∠DBC＝30°，∵BC＝2，∴CF＝1，BF3，易证△AEB≌△CFD（AAS）∴AE＝CF＝1，∵∠BAE＝∠DBC＝30°，∴BE＝33AE＝33，∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣33＝233 ， 在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝132332CFEF ==， 故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等9．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，若O e 的半径是4，1sin 4B =，则线段AC 的长是（ ）．A ．2B ．4C ．32D ．6【答案】A【解析】【分析】 连结CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD ＝90︒，∠D ＝∠B ，则sinD ＝sinB ＝14，然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长．【详解】连结CD ，如图，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90︒，∵∠D ＝∠B ，∴sinD ＝sinB ＝14， 在Rt △ACD 中，∵sinD ＝AC AD ＝14，∴AC＝14AD＝14×8＝2．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直线AC 的解析式为y=x ，∴直线BD 的解析式为y=-x ，∵OB=，∴点B 的坐标为（−，）， ∵点B 在反比例函数y=的图象上， ∴，解得，k=-3，故选C ．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ， ∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ， AEH EMG ∴∠=∠， AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+ 在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ，解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EFEN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．5342π-B．5342π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=3，AH=AO•cos∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=5342π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.14．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ∆中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ⋅=（ ）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】 解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∵∠A=2∠B ，∴∠B=∠C=45°，∠A=90°， ∴在Rt △ABC 中，BC=sin ACB∠=2AC ， ∴sin ∠B •sadA=1AC BC BC AC=g , 故选：C ． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】 【分析】连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC2即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④． 【详解】 解：连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120°∵120FOG ∠=︒ ∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE ∴∠BOD=∠COE 在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC ∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形， ∴ODE V 形状不变，故①正确； 过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形 ∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠∴∴S △ODE =12DE·2∴OE 最小时，S △ODE 最小，过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 3223∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 ∵2348=1423∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE =2312a ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确； ∵△ODB ≌△OEC ∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时BDE V 的周长最小 ∵3OE ∴OE 最小时，DE 最小 而OE 的最小值为OE′=36a ∴DE 336a =12a∴BDE V 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确， 故选A ． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．16．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ． 【详解】 解：∵//DE BC ， ∴ADE ~ABC V V ， ∵2DE BC =， ∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF = ∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF==︒，∴DF=3， 故选：D ． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．18．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．C．20m D．【答案】C【解析】【分析】【详解】解:∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，∴AC===m．∴AB=m．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．19．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A．（163，2）B．（163，1）C．（83，2）D．（83，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到FC＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，∵CD∥x轴，∴DF⊥OB，∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，∴FC＝CG＝CE，∴DH＝CG＝CF，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴tan∠OAB＝DHAH＝OBOA＝34，∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，∵CD∥OA，∴∠DCA＝∠CAG，∵∠DAC＝∠GAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，∴x＝23，∴DH＝2，OH＝163，∴D（163，2），故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．20．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③3AD AB =；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE （SAS ），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP ≌△ABP （SSS ），进而得出∠EAP ＝∠PAB ＝30°，再分别得出AD 与AB ，PB 与PC 的数量关系即可． 【详解】解：∵在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠D ＝∠C ， ∴△ADE ≌△BCE （SAS ）， ∴AE ＝BE ，∠DEA ＝∠CEB ， ∵EA 平分∠BED ， ∴∠AED ＝∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝∠CEB ＝60°，故：①EB 平分∠AEC ，正确； ∴△ABE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠EBC ＝30°，AE ＝AB ，∵PE ⊥AE ，∴∠DEA ＋∠CEP ＝90°，则∠CEP ＝30°，故∠PEB ＝∠EBP ＝30°，则EP ＝BP ，又∵AE ＝AB ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ABP （SSS ），∴∠EAP ＝∠PAB ＝30°，∴AP ⊥BE ，故②正确；∵∠DAE ＝30°，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝tan30°＝3，∴AD ，即AD =， ∵AB ＝CD ，∴③2AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，∴CP ＝12EP ， ∵EP ＝BP ， ∴CP ＝12BP ， ∴④PB ＝2PC 正确．综上所述：正确的共有4个．故选：A ．【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．。

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人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案一、选择题1．如图，ABC ∆是一张顶角是120︒的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．3【答案】A【解析】【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，BH=12BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=30°，∴AB=30BH cos ︒3 由翻折变换的性质可知，3∴DE=BD •tan30°=1，故选：A ．【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 222x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--， ∵2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．3．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．4．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE GF AB=<（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．【详解】解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB∴S阴影=S△GDE＋S△EGF=12DE·GN＋12GF·EM=12DE·（x·sinB）＋12DE·[（AB－x）·sinB]=12DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]=12 DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都为定值∴S阴影也为定值故选B．【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（ ）A ．1B ．12C ．3D ．3 【答案】C【解析】【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-=33，即可求出答案 【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝3 AE ＝3， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣3＝233 ， 在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝323CFEF ==， 故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等6．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m 【答案】A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x ，在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.7．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③32AD AB =；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE （SAS ），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP ≌△ABP （SSS ），进而得出∠EAP ＝∠PAB ＝30°，再分别得出AD 与AB ，PB 与PC 的数量关系即可．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴AE ＝BE ，∠DEA ＝∠CEB ，∵EA 平分∠BED ，∴∠AED ＝∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝∠CEB ＝60°，故：①EB 平分∠AEC ，正确；∴△ABE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠EBC ＝30°，AE ＝AB ，∵PE ⊥AE ，∴∠DEA ＋∠CEP ＝90°，则∠CEP ＝30°，故∠PEB ＝∠EBP ＝30°，则EP ＝BP ，又∵AE ＝AB ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ABP （SSS ），∴∠EAP ＝∠PAB ＝30°，∴AP ⊥BE ，故②正确；∵∠DAE ＝30°，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝tan30°∴AD ，即AD =， ∵AB ＝CD ，∴③AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，∴CP ＝12EP ， ∵EP ＝BP ，∴CP＝12 BP，∴④PB＝2PC正确．综上所述：正确的共有4个．故选：A．【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE是等边三角形是解题关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝3BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．【详解】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝3∵AG分别平分∠EAD，∴∠BAE＝∠EAG，∵∠BAD＝90°，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵GM⊥AD，∴∠AMG＝90°，∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝GMAG，cos∠GAM＝AMAG，∴GM＝AG•sin30°3AM＝AG•cos30°＝3，同理可得HT3CT＝3，∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，∴四边形ABNM 为矩形，∴MN ＝AB ＝23，BN ＝AM ＝3，∴GN ＝MN ﹣GM ＝3，∴GN ＝HT ， 又∵GN ∥HT ，∴四边形GHTN 是平行四边形，∴GH ＝TN ＝BC ﹣BN ﹣CT ＝10﹣3﹣3＝4，故选：B ．【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．sin ∠3AOD=60°； sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.10．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．3D．3【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：22303AB AP-=故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．11．把Rt ABC∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S △BDO =52，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ， 则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ，∴251522BODOACS OBS OA⎛⎫==÷=⎪⎝⎭△△，∴5OBOA=，∴tan∠BAO=5OBOA=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．13．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A．60ABC∠=︒B．2ABE ADES S∆=VC．若AB=4，则7BE=D．21sin CBE∠=【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27；利用正弦的定义得sin∠CBE=2114 EHBE=．【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；∵AB=2DE，∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，33，在Rt△BEH中，22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．5342π-B．5342π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=3，AH=AO•cos∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=532π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.15．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，嘉淇与假山的水平距离BD为6m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60︒刻度线，则假山的高度CD为（）A ．()23 1.6m +B ．()22 1.6m +C ．()43 1.6m +D ．23m【答案】A【解析】【分析】 根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°=6CK CK AK =，进而得出CD 的长． 【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°=6CK CK AK =， 解得：CK=23即CD=CK+DK=23+1.6=（23+1.6）m ．故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.16．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，与x 轴另一交点为A ，顶点为B ，若△AOB 为等边三角形，则b 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣23C ．﹣33D ．﹣43【答案】B【解析】【分析】 根据已知求出B （﹣2,24b b a a-），由△AOB 为等边三角形，得到2b 4a ＝tan60°×（﹣2b a ），即可求解；【详解】解：抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，∴c ＝0，B （﹣2,24b b a a-）， ∵△AOB 为等边三角形，∴2b 4a＝tan60°×（﹣2b a ）， ∴b ＝﹣23；故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．17．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°，AD=cos70AC ︒， ∴2cos70AC AC AB AD=︒=2cos70°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．18．如图，河坝横断面的迎水坡AB 的坡比为3：4，BC ＝6m ，则坡面AB 的长为（ ）A ．6mB ．8mC ．10mD ．12m 【答案】C【解析】【分析】 迎水坡AB 的坡比为3：4得出3tan 4BAC ∠=，再根据BC ＝6m 得出AC 的值，再根据勾股定理求解即可.【详解】由题意得3tan 4BAC ∠=∴468tan 3BC AC m BAC ==⨯=∠ ∴22228610AB AC BC m =+=+=故选：C.【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，把坡比转化为三角函数值是关键.19．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是，堤高BC=10m ，则坡面AB 的长度是（ ）A．15m B．C．20m D．【答案】C【解析】【分析】【详解】解:∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，∴AC===m．∴AB=m．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．20．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．。

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