湖北省黄石市高二12月月考数学(理)试题 Word版含答案

2016学年度慧德学校12月月考卷
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择
1、如果命题“p 且q 是假命题”，“非p ”为真命题，则（ ） A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 一定是假命题
D ．命题q 可以是真命题也可以是假命题
2、命题“2,210x R x x ∃∈-+<”的否定是（ ） A 、2,210x R x x ∃∈-+≥ B 、2,210x R x x ∃∈-+> C 、2,210x R x x ∀∈-+≥ D 、2,210x R x x ∀∈-+<
3、已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中真命题的是（ ）
A.(p)q ⌝∨
B.p q ∧
C.(p)(q)⌝∧⌝
D.(p)(q)⌝∨⌝
4、节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．
14 B ．1
2
C ．
34 D ．7
8
5、如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）．
A 、
π121- B 、π1 C 、π21- D 、π
2 6、如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x =的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为（ ） A ．116
B ．1
8
C ．
14
D ．
12
7、一只蚂蚁一直在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A ．
43 B ．32 C ．3
1 D ．21
8、下图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设
甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）
A ．x 甲<x 乙，m 甲> m 乙
B ．x 甲<x 乙，m 甲< m 乙
C ．x 甲x 乙，m 甲> m 乙
D ．x 甲>x 乙，m 甲< m 乙
9、动圆M 与圆36)1(:2
2
1=++y x C 内切,与圆4)1(:2
2
2=+-y x C 外切,则圆心M 的轨迹方程为（ ）
A.
1151622=+y x B.115
162
2=+x y C.2522=+y x D.3822=+y x
10、某几何体的三视图如图所示（其中府视图中的圆弧是半圆），则该几何体的体积为（ ）
A ．488π+
B ．244π+
C ．484π+
D ．248π+
11、已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -、，过点2F 且
斜率为
2b
a
的直线l 交直线20bx ay +=于M ，若M 在以线段12F F 为直径的圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
13 B ．3 C ．12 D
12、在区间和上分别取一个数，记为a ，b ，则方程122
22=+b
y a x 表示
焦点在x 轴上且离心率小于
2
3
的椭圆的概率为（ ） A ．
21 B ．3215 C ．3217 D ．32
31 二、填空题
13、椭圆()1122>=+m y mx 的短轴长为
m 2
2
,则m = ． 14、设函数f （x ）=|log 2x|，则f （x ）在区间（m-2，2m ）内有定义且不是单调函数的充要条件是 ．
15的左焦点F 作倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，
16、如图所示，椭圆22
194
x y +=的左，右顶点分别为,A A '，线段CD 是垂直于椭圆长轴的弦，连接,AC DA '相交于点P ，则点P 的轨迹方程为____________．
三、解答题 17、已知圆上的点
(2,3)A 关于直线02=+y x 的对称点仍在这个圆上，且与直线
01=+-y x 相交的弦长为22，求圆的方程．
18、已知10
10
sin ,71tan =
=
βα分别在下列条件下求βα2+的值： （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,2,0πβπα （2）()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-∈2,0,0,πβπα
19、设p ：2x 2－x －1≤0，q ：x 2
－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0，若非q 是非p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
20、已知命题p ：关于x 的一元二次方程022
=++m x x 没有实数根，命题q ：函数
)16
1
lg()(2m x mx x f +
-=的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．
21、在平面直角坐标系xOy 中，已知点3
(1,)2P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>上，P 到
椭圆C 的两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若点,M N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点,M N 的坐标.
22、已知椭圆C 的离心率为
2
，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为6π
，直线过点
(1,0)E -且与椭圆C 交于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的椭圆方程；
（2）△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．
参考答案
一、单项选择 1、【答案】D 2、【答案】C 3、【答案】D
【解析】p 为真命题，p ⌝∴为假命题；q 为假命题，q ⌝∴为真命题；所以(p)q ⌝∨为假命题，p q ∧为假命题；(p)(q)⌝∧⌝为假命题；(p)(q)⌝∨⌝为真命题.故选D.
考点：命题的否定、逻辑联结词. 4、【答案】C 5、【答案】C
【解析】如图，设两个半圆的交点为C 且以AO 为直径的半圆以D 为圆心，连结OC 、CD 设OA=OB=2，则弓形OMC 的面积为2111
-1114242
Rt dco OMC OCD S S S ππ∆==-⨯⨯=-弓形扇形，所以空白部分面积为21=21122
2S ππ⎡⎤
⎛⎫--= ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣⎦空白，因此，两块阴影部分面积之和为
21
2224S ππ=-=-阴影，可得在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为
221P ππ
π-==-
考点：几何概型概率
6、【答案】B
7、【答案】D 【解析】
如图在三角形ABC 中，3,4,5,1AB BC AC AD AI BE BF CG CH =========，则ABC 的周长为12，由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过1的部分为线段,,DE FG HI 上，即其长度为12-6=6；则蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为
61
122
=，故选D ．
考点：几何概型
8、【答案】B
【解析】甲篮球运动员的得分是：13，15，23，26，28，34，37，39，41；乙篮球运动员的得分是：24，25，32，33，36，37，38，45，47。

求得28x ≈甲，35x ≈乙，28m =甲，36m =乙，。

故选B 。

9、【答案】A 10、【答案】D
【解析】由三视图可知，这是一个长方体和一个半圆柱构成的几何体，所以体积为
21
342242482
ππ⋅⋅+⋅⋅⋅
=+. 考点：三视图.
11、【答案】C
【解析】设过点2F 且斜率为2b a 的直线l 的方程为2()b
y x c a
=
-，与20bx ay +=联立，可得交点(,)2c bc M a -
，∵M 在以线段12F F 为直径的圆上，∴222()()2c bc
c a +-=，即223=4b a ，∴22221c =4a b a -=，∴1
=2
c e a =。

故选C 。

考点：椭圆的简单性质。

12、【答案】B
【解析】由椭圆焦点在x 轴上，可知a b >
e <2b a >，在 15,24a b ≤≤≤≤，结合线性规划知识，数形结合，由几何概型可得概率为15
32
.故本题答案选B.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.线性规划；3.几何概型. 二、填空题 13、【答案】2 【解析】
14、【答案】[2，3） 15
16、【答案】22
194
x y -=
【解析】设()00,y x C ，()00,y x D -，()()03,03，，
A A '-,所以直线()33
:00
++=x x y y l AC ，()33:00
---='x x y y l D
A 两式相乘得到()
99
2202
02---=x x y y ①，根据点()00,y x C 在椭圆上，所以1492
020=+y x ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=914202
0x y ，代入①整理为22194x y -=，即两直线交点P 的轨
迹是22194x y -=，故填：22
194
x y -=
.
考点：1.轨迹方程；2.椭圆方程.
【方法点睛】本题考查了交轨法求轨迹方程，属于中档题型，首先根据C 和D 两点的坐标，表示直线AC 和D A ',然后两个方程消参后就是交点P 的轨迹方程，消参多选择的方法多采用代入消参，或四则消参，比如两个式子相加，相减，或相除，相乘，再根据点在抛物线上，得到轨迹方程. 三、解答题
17、【答案】52)3()6(22=++-y x 或244)7()14(22=++-y x .
试题分析：圆上的点A 关于直线对称的点B 在圆上，说明该直线过圆心，所以可假设圆心坐标为),2(a a -，得到圆的方程为2
2
2
)3()22(r a a =-++，又圆于另一直线相交的弦长为
22，弦心距即勾股定理可求得244,7,52,3=-==-=r a r
a 或，代入前式便可得到
圆的标准方程．
试题解析：设圆心为),2(a a -，由题意得：
2222)2
|
13|()2()3()22(+-+=++--a a a ，解得3
-=a 或7-=a ，此时52=r 或244=r ∴所求圆的方程为52)3()6(22=++-y x 或244)7()14(22=++-y x .
考点：点到直线的距离，圆的方程. 【解析】
18、【答案】（1）)4
,0()2,0(,71tan π
απαα∈⇒∈=
)4
,0()2,0(,1010sin π
βπββ∈⇒∈=
)4
3
,0(2πβα∈+∴
3
1tan 1010sin =∴=
ββ 4
21tan tan 1tan tan )2tan(π
βαβαβαβα=+∴=⋅-+=
+∴
（2）3
1
tan )2,0(,1010sin =∴∈=
βπββ 1)2tan(
=+∴βα
)2
,43()0,(,71tan ππαπαα--∈⇒-∈=
πβαππβα4
3
2)4,(2-=+∴--∈+∴
19、【答案】
1
12
a ≤≤ 试题分析：本题由非q 是非p 的必要不充分条件，分析可得q 是p 的充分不必要条件（逆否命题），再由集合思想可得易得Q P ⊆,集合数轴可求出a 的取值范围。

试题解析：由2x 2
－x －1≤0得112x -
≤≤.记P=]1
,12
⎡-⎢⎣ 由x 2
－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0得a-1≤x ≤a.记Q=[]1,a a -
因为非q 是非p 的必要不充分条件,即q 是p 的充分不必要条件， 得：Q 是P 的真子集，1a -≥12-
，且a ≤1，得；1
12
a ≤≤ 【考点】逆否命题及充要条件与子集思想. 20、【答案】21≤<m ．
思路点拨：解决该类问题的基本步骤：(1)弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；(2)明确其构成形式；(3)根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．对于已知命题的真假求字母范围的问题，需将条件转化为相关的不等式(组)来求解．（1）方程无实根只需
044<-=∆m 即可；（2）定义域为R ，也要注意参数m 是否为0进行讨论．
试题解析：因为x 的一元二次方程022
=++m x x 没有实数根
所以044<-=∆m ，解得1>m ，即命题p ：1>m
又函数)16
1
lg()(2
m x mx x f +
-=的定义域为R 所以2>m ，即命题q ：2>m 又
p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 和q 一真一
假，所以实数m 的取值范围21≤<m 考点：简单命题与复合命题及其关系．
21、【答案】（1）22+=143x y （2）点M
31-2(,)，N (,)20；或M -20(,)，N (,)3-12．
试题分析：（1）由椭圆定义得a 2=4，又点
3(1,)
2P 在椭圆上，可得到一个方程组，解得a b 22=4=3,，所以椭圆的方程为22
+=1
43x y .（2）设11M x y （,），22N x y （,），则需列
出四个独立条件：由点M ，N 是椭圆C 的两点，所以可得两个条件，关键在于对平行四边形的运用，较为方便的是ON 的中点等于PM 的中点，这样等到两个一次条件，解方程组得
点M
31-2(,)，N (,)20；或M -20(,)，N (,)
3
-12． 试题解析：（1）由题意知，2219
+=14a b ，a 2=4. 解得a b 22
=4=3,，所以椭圆的方程为22
+=143x y .
（2）设11M x y （,），22N x y （,），则ON 的中点坐标为22
22x y （
,）
，PM 的中点坐标为
1
13+1+222y x （,）． 因为四边形POMN 是平行四边形，所以
即 由点M ，N 是椭圆C 的两点，所以
解得2220x y =⎧⎨=⎩，，或22132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，
.
由2220x y =⎧⎨=⎩，，得11132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
．由22132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，得1120x y =-⎧⎨=⎩，.
所以，点M
31-2(,)，N (,)20；或M -20(,)，N (,)
3-12． 考点：椭圆标准方程
22、【答案】（1）2
214x y +=；（2
）2
12
12
1+=223+2=.22x x y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，1212=1,3.2x x y y -⎧⎪⎨=-⎪⎩x y x y 22222
22
2⎧3+4=12⎪
3⎨3-1+4-=12⎪2⎩，
()().
试题分析：（1）根据椭圆C
的离心率为2，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为6π列方程组求出,a b 的值即可；（2）可设直线的方程为1x my =-，2
21,41,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
整理得
22(4)230m y my +--=，由韦达定理、弦长公式、三角形面积公式可得
AOB S ∆
=2，然后用单调性最值.
试题解析：（1
）由题知：c a =
b c =，解得2a =，1b =， 故椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． （2）因为直线过点(1,0)E -，所以可设直线的方程为1x my =-或0y =（舍）． 由条件得2
21,41,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中12y y >． 解得12224m y y m +=+，12234
y y m -=+，
则21||y y -=，则211||||2AOB S OE y y ∆=
-21==，
设t =1()g t t t =+
，t ≥
则()g t
在区间)+∞
上为增函数，所以()3
g t ≥．
所以AOB S ∆≤，当且仅当0m =
时等号成立，即max ()AOB S ∆= 所以存在△AOB 面积的最大值．AOB S ∆
．
【考点】1、待定系数法求椭圆方程；2、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，函数单调性法求三角形面积最值的.。