数列等差等比数列问题综合章节综合检测专题练习(一)含答案新人教版高中数学名师一点通

高中数学专题复习
《数列等差等比数列综合》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版
含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是 （ ） A ．(0,1)
B ．21
(1,)22
-
( C) 21(1,]23- D ． 11
[,)32
2．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于（ ）
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220（汇编全国4
理6）
3．（汇编上海理）设251sin π
n n n a =,n n
a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中,正数的个数是 （ ）
A ．25.
B ．50.
C ．75.
D ．100.
[解析] 对于1≤k≤25,a k ≥0(唯a 25=0),所以S k (1≤k≤25)都为正数.
当26≤k≤49时,令απ=25
,则
απk k =25
,画出k α终边如右, 其终边两两关于x 轴
对
称
,
即
有
)
50sin(sin ααk k --=,
所以
αs i n 11=k S +α2sin 2
1++α23sin 23
1+α24sin 24
1+0 +
α26sin 26
1
+
α27sin 27
1+αk k sin 1
=αsin 11+α2sin 2
1++α24sin )(261241-+α23sin )(271
231-+ +α)50sin()(1501k k
k ---,其中k=26,27,,49,此时k k <-<500, 所以
01501
>--k
k
,又παα<≤-<24)50(0k ,所以0)50sin(>-αk , 从而当k=26,27,,49时,S k 都是正数,S 50=S 49+a 50=S 49+0=S 49>0. 对于k 从51到100的情况同上可知S k 都是正数. 综上,可选D. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前100项和为（ ） （ ）
A ．
100
101
B ．
99101
C ．
99100
D ．
101
100
（汇编大纲理） 答案A
5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，14a =，则公差d 等于（ ） A ．1 B 53 C 2 D 3(汇编福建理)
6．等差数列
和
的前n 项和分别为S n 和T n ，对一切自然数n 都有，则
等于( )
x y α
2α
1213 (24)
2326274948
38
37… …
…
B ．
C ．
D ．（汇编）
7．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176
8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =A , S 2n -S n =B, S 3n - S 2n =C ,则下列各式一定成立的是
A.A+B=C
B.A+C=2B
C.AB=C
D.AC=B 2
9．设等比数列的首相为
，公比为q ，则“
< 0 且0< q <1”是“对于任
意
都有
”的 ( ）A 充分不必要
条件 B 必要不充分条件
C 充分比要条件
D 既不充分又不必要条件
10．设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为 ( ) A ．56 B ．64 C ．80 D ．128
11．等差数列{}n a 中，n a 2110m m m a a a -+-+=≠0，若ｍ＞1且2
110m m m a a a -+-+=，
2138
m S -=，则ｍ的值是
（ ）
A ． 10
B ． 19
C ．20
D ．38
12．已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、 c 分别成等差数列，且x y ≠0，则 的值等于 A.4 B.3 C.2 D.1
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，已知
21
42
n n S n T n +=
-，*n N ∈，则
1011
318615
a a
b b b b
+=++ ．4178
14．在等差数列中，若已知两项a p 和a q ，则等差数列的通项公式a n =a p +（n -p ）
.类似的，在等比数列中，若已知两项a p 和a q （假设p q ），则等比数列
的通项公式a n = ▲ .
15．（汇编年高考上海卷（理））设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差,
随机变量ξ等可能地取值12319,,,
,x x x x ,则方差_______D ξ=
16．数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且
12
201211
1
a a a +++
=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．
17．函数()f x 由下表定义：
若11a =，
25
a =,
*
2(),n n a f a n N +=∈则2008a 的
值________________．
18．某工厂生产了某种产品6000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
x 1 2 3 4 5 f (x )
3
4
5
2
1
19．在数1和2之间插入10个数，使这12个数成等差数列，则公差为______
20．已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a n +1=2S n +1，则公比q = . 评卷人
得分
三、解答题
21．（本题满分16分）
各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为
n S ，12b =，且()
2*632n n n S b b n N =++∈．
⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 令()*n
n n
b c n N a =
∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； ⑶ 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．
22．}{
n a 是首项14a =的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列， （1）求数列}{
n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+11n n b b 的前n 项和，求n T （3）在（2）的条件下若n T ≤1n b λ+对一切*
n N ∈恒成立，求实数λ的最小值. （本小题满分16分）
23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11(0),(,,1)n n a a a a rS n N r R r ++=≠=∈∈≠- (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若存在k N +∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，试判断：对于任意的m N +∈，且
2m ≥，
12,,m m m a a a ++是否成等差数列，并证明你的结论. (汇编年高考湖北卷理科19)（本小
题满分13分）
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.
24．已知数列{}n a 满足113,21,4
n n a a a +=-=+数列{}n b 满足1,n n b a =+数列{}n c 的前n 项和n S 2
4n n =- （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）令()11,n n n n n d c c T +=-为数列{}n d 的前n 项和，求21n T + （3）若使不等式128
n p n n
n
c b p c b ++++≤
成立的自然数n 恰好有4个，求正整数p 的
值
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B 2．B 3．
4．由55,5,15n S a S ==可得
11145
1541
5152
n a d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎪⎪⎩⎩ 11111(1)1n n a a n n n n +∴==-++ 100111111100
(1)()()1223
100101101101
S =-+-+
+-=-=
5．C 解析：：C
[解析]∵31336()2S a a ==+且3112 =4 2a a d a d =+∴=.故选
6．B
7．B 【汇编高考真题辽宁理6】 【解析】在等差数列中，111111481111()
16,882
a a a a a a s ⨯++=+=∴=
=，答案为
B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n 项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。

解答时利用等差数列的性质快速又准确。

8．B 解析：4524B 9．A 10．B 11．
A
12．C
解析：4695C
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
13．
14．apn –p
解析： a
p
n – p
15．. 16． 2
7- 17．1 18．汇编 19．
11
1 20．3893 评卷人
得分
三、解答题
21． （本题满分16分）解：（1）∵2a 4a =244
116a q q ==，2
q =4，
∵0n a >，∴q =2， ∴1
2-=n n a ……………………………………2分 ∴b 3=4a ＝8. ∵2
63n n n S b b =++2 ① 当n ≥2时，2
11163n n n S b b ---=++2 ②
①-②得22
11633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+
12b =，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，
∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分 由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-． …………………………6分 （2）∵31n b n =-，∴n n n b c a =
＝131
2
n n --， ∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，57
8
c =<1，…………………………8分
下面证明当n ≥5时，1n c <． 事实上，当n ≥5时，11323122n n n n n n c c +-+--=
-＝
432n
n
-＜0 即1n n c c +<，∵57
8
c =
<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，…………………………10分 故满足条件1n c >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分 (3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p <q <r ，p ，q ，R ∈N *)使a p ， a q ， a r 构成等差数列， ∴
2a q =a p +a r
，
即
2
2q
—1
=2p
—1
+2r
—1
．∴2q
—p +1
=1+2r
—
p
．…………………………13分
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分 22．
23．（Ⅰ）由已知1n n a rS +=，可得21n n a rS ++=，两式相减可得
2111()n n n n n a a r S S ra ++++-=-
即21(1)n n a r a ++=+又21a ra ra ==，所以当0r =时，数列{}n a 为：,0,,0a …，…； 当0,1r r ≠≠-时，由已知0a ≠，所以0()n a n N +≠∈ 于是由21(1)n n a r a ++=+，可得
2
1
1()n n a r n N a +++=+∈， 23,.,.n a a a ∴…,…成等比数列，
当≥n 2时，2(1)n n a r r a -=+
综上，数列{}n a 的通项公式为2
,1
(1), 2.n n a n a r r a n -=⎧=⎨
+≥⎩
（Ⅱ）对于任意的m N +∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（Ⅰ）知，{
,1,0, 2.
n a n a n ==
≥
∴对于任意的m N +∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列； 当0,1r r ≠≠-时，111.
k k k k S S S a +++==+212,k k k k S S a a +++=++
若存在k N +∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则
122,k k k S S S +++=12222k k k k S a a S ++∴++=，
即212k k a a ++=-，
由（Ⅰ）知，23,,,,n a a a ……的公比r+1=—2，于是对于任意的m N +∈，且2m ≥，
12m m a a +=-从而24m m a a +=，122m m m a a a ++∴+=，
即12,,m m m a a a ++成等差数列.
综上，对于任意的m N +∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列. 24．。