焦作市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

焦作市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是（ ）]
)1(+=x f y )(x f y =A ． B ．
C ．
D ．1=x 1-=x 2=x 2
-=x 3． 若变量x ，y 满足：
，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（
）
A ．﹣2＜t ＜
﹣B ．﹣2＜t ≤
﹣C
．﹣2≤t ≤﹣D ．﹣2≤t ＜﹣
4． 若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
5． 设a=lge ，b=（lge ）2，c=lg
，则（
）
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
6． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
由算得2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
7． 已知三个数，，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三1a -1a +5a +{}n a 项，则能使不等式成立的自然数的最大值为（ ）1212111
n n
a a a a a a +++≤+++ A ．9 B ．8
C.7
D ．5
8． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题
的个数为（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9． 若圆心坐标为
的圆在直线上截得的弦长为 ）
()2,1-10x y --=A ． B ． ()()2
2
210x y -++=()()2
2
214x y -++=C ． D ．()()2
2
218x y -++=()()2
2
2116
x y -++=10．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（
）
A．1B．±2C．或3D．1或2
12．极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（）A．1B．C．D．2
二、填空题
13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
14．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．
15．设函数则______；若，，则的大小关系是______．
16．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD
所成的角是 ．
17．已知双曲线x 2﹣y 2=1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|+|PF 2|的值为 ．　
18．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
三、解答题
19．本小题满分10分选修：坐标系与参数方程选讲
44-在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，在极坐标系与直角坐标系取相同的长
xoy 3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩xOy 度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴中，圆的方程为．
O x
C ρθ=Ⅰ求圆的圆心到直线的距离；
C Ⅱ设圆与直线交于点，若点的坐标为
，求．
C A B 、P (3,PA PB +20．已知函数
（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的值域．
21．已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2+cos2x （1）求f （x ）最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[
]上的最大值和最小值．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立C 2cos ρθ=平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
243x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；C （2）求曲线上任意一点到直线的距离的最大值.
C 23．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，
D ，
E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
24．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
焦作市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （2，0，0），E （0，0，1），A （0，0，0），C （2，2，0），
=（﹣2，0，1），
=（2，2，0），
设异面直线BE 与AC 所成角为θ，
则cos θ==
=
．
故选：B ．
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数向右平移个单位得出的图象，又是偶函数，对称轴方程)1(+=x f y )(x f y =)1(+=x f y 为，的对称轴方程为.故选A ．0=x ∴)(x f y =1=x 考点：函数的对称性.3． 【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t （x+y+1）+x+2y=0，由
，得
，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M （﹣2，1），
则由图象知A ，B 两点在直线两侧和在直线上即可，即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得﹣2≤t≤﹣，
即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．
4．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
5．【答案】C
【解析】解：∵1＜e ＜3＜，
∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．
【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．　
6． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年9.967 6.635>人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．7． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为三个数等比数列，所以，倒数重新排列后恰
1,1,5a a a -++()()()2
115,3a a a a +=-+∴=好为递增的等比数列的前三项，为，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则{}n a 111,
,8421n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
1
2不等式等价为，整理，得
1212111n n
a a a a a a +++≤
+++ ()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，故选C. 1
722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.8． 【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”，∴命题P 是真命题，∴命题P 的逆否命题是真命题；￢P ：“若直线m 不垂直于α，则m 不垂直于l ”，
∵￢P 是假命题，∴命题p 的逆命题和否命题都是假命题．故选：B ．　
9． 【答案】B 【解析】
考点：圆的方程.1111]
10．【答案】A
【解析】解：由“a＞b，c＞0”能推出“ac＞bc”，是充分条件，
由“ac＞bc”推不出“a＞b，c＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac＞bc，但是a＜b，c＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
11．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值；
当2≤x≤4时，
f（x）=1﹣|x﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x≤8时，2＜≤4，
则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），
此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
12．【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，
可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1．
故选：A．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
二、填空题
13．【答案】0.6
【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y≤0.25=，
即（）t﹣0.1≤，
即t﹣0.1≥
解得t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
14．【答案】　14　．
【解析】解：有框图知S=a⊗b=
∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14
故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
15．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
，因为，所以
又若，结合图像知：
所以：。

故答案为：，
16．【答案】　30°　．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
17．【答案】 ．
【解析】解：∵PF 1⊥PF 2，
∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2．
∵双曲线方程为x 2﹣y 2=1，
∴a 2=b 2=1，c 2=a 2+b 2=2，可得F 1F 2
=2
∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=8
又∵P 为双曲线x 2﹣y 2=1上一点，
∴|PF 1|﹣|PF 2|=±2a=±2，（|PF 1|﹣|PF 2|）2=4
因此（|PF 1|+|PF 2|）2=2（|PF 1|2+|PF 2|2）﹣（|PF 1|﹣|PF 2|）2=12
∴|PF 1|+|PF 2|的值为故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
18．【答案】　6　．
【解析】解：双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36
，即为：
﹣=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】Ⅰ∵
∴
:C ρθ
=2:sin C ρθ=∴，即圆的标准方程为
．22:0C x y +-=
C 22(5x y +-=
直线的普通方程为
．30x y += 所以，圆
．
C
Ⅱ由，解得或
22(53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-++⎪
⎩12x y =⎧⎪⎨=+⎪
⎩21x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩所以 20．【答案】【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ）∴
，∵a ≠0，∴﹣x+b=﹣x ﹣b ，∴b=0（3分）
又函数f （x ）的图象经过点（1，3），
∴f （1）=3，∴
，∵b=0，∴a=2（6分）
（2）由（1）知
（7分）当x ＞0时，，当且仅当，即时取等号（10分）
当x ＜0时，，∴当且仅当，即时取等号（13分）
综上可知函数f （x
）的值域为
（12分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=（sinx+cosx ）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+
sin （2x+），∴它的最小正周期为
=π．（2
）在区间
上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f （x ）取得最小值为
1+×（
﹣）=0，
当
2x+=时，f （x ）取得最大值为
1+×1=1+．
　||||PA PB +==
22．【答案】（1）参数方程为，；（2）.1cos sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩3460x y -+=145【解析】试题分析：（1）先将曲线的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得,利用圆的参数方
C 22(1)1x y -+=程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线上任一点坐标,C 用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值.
试题解析：
（1）曲线的普通方程为，∴，C 22cos ρρθ=22
20x y x +-=∴，所以参数方程为，22(1)1x y -+=1cos sin x y θθ=+⎧⎨
=⎩
直线的普通方程为.3460x y -+=（2）曲线上任意一点到直线的距离为
C (1cos ,sin )θθ+，所以曲线上任意一点到直线的距离的最大值为.33cos 4sin 65sin()914555d θθθϕ+-+++==≤C 145考点：1.极坐标方程；2.参数方程.
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，
所以还有2人只有一个科目得分为A ，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，
则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，
则P （B ）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，
=×（+）﹣
=．
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∴T==π，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．。