察哈尔右翼后旗高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

察哈尔右翼后旗高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9[,6]5
B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6] 2． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7
），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
3． 已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．
13
2
C ．12
D ．15 4． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →
|为（ ）
A ．1 B.4
3
C.53
D ．2 5． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D6
6． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1
的中心，若
+
，则x 、y 的值分
别为（ ）
A ．x=1，y=1
B ．x=1，
y= C ．
x=，
y=
D ．
x=，y=1
7． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如下：
由2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
8． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①
()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④
⎩
⎨
⎧=≠=0,00
|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 9． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）
A B ． C D ．2
10．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342
y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
11．设函数()(
)2
1,1
41
x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）
A ．(][],20,10-∞-
B ．(][],20,1-∞-
C ．(][],21,10-∞-
D ．[][]2,01,10-
12．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）
A ．4
B ．5 C
． D
．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．给出下列命题： ①存在实数α
，使
②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β
其中正确命题的序号是 ．
14．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
15
()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
16．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________.
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．
18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为，求角C ．
19．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *
），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
20．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，
228b S =（*n N ∈）．
（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和n T ．
21．圆锥底面半径为1cm
，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ
为参数，],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïîa
a
（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的极坐标； （II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
察哈尔右翼后旗高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，(1,6)
B ，
9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用． 2． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1，
∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，
∴
展开式的通项为T r+1=
，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴
展开式中x ﹣3
的系数为
=﹣4320，
故选：B ．. 3． 【答案】C
考点：线性规划问题．
【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y 轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定． 4． 【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →
，
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y
即x ＝2，y ＝53
，
∴CD →
＝（2，53）－（2，0）＝（0，53
），
∴|CD →
|5． 6． 【答案】C
【解析】解：如图，
+
+（
）．
故选C ．
7． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 8． 【答案】B
第
9． 【答案】C 【解析】
考
点：余弦定理． 10．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需
直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
11．【答案】A 【解析】
考
点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 12．【答案】D 【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==
GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】②③．
【解析】解：①∵sinαcosα
=sin2α∈
[
，]
，∵
＞，∴存在实数α
，使错误，故①
错误，
②
函数=cosx是偶函数，故②正确，
③
当
时，=cos（2
×
+）=cosπ=﹣1
是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α
=，β
=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
14．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．15．【答案】
53
,
124
⎛⎤
⎥
⎝⎦
【解析】
试题分析：
作出函数y=()23
y k x
=-+的图象，如图所示，
函数y=的图象是一个半圆，直线()23
y k x
=-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0
-时，303
224
k
-
==
+
，当直线
()23
y k x
=-+
2
=，解得
5
12
k=，所以实数的取值范围是
53
,
124
⎛⎤
⎥
⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的
斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 16．【答案】
1
e e
- 【解析】解析： 由ln a b ≥得a
b e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“a
b e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为
1
1
1|a a e da e e ==-⎰
，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为
1
e e
-． 三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42，所以q 2
=
．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q=1，所以a 1=．
故数列{a n }的通项式为a n =．
（Ⅱ）b n =+
+…+=﹣（1+2+…+n ）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则
+
+…+
=﹣2=﹣
，
所以数列{}的前n 项和为﹣
．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．
18．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则
=
，即有sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB ，
由正弦定理，a=b ，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=absinC=a2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，
又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，
解得C=…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
19．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，
∴，，，
∴b1=1，=2q＞0，=2q2，
又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．
∴a n=2n．
∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，
∴．
（2）c n===﹣
=，
∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣
+…+
=﹣2
=﹣2+
=
﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =-，16n n b -=；（2）21
n n +. 【解析】
试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为，
由题意得2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或2,
36.d q ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴21n a n =-，12n n b -=或1
(52)3
n a n =-，16n n b -=．
（2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，
∴111111()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121
n n
T n n n =-+-++-=-++…．
考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用. 21．
． 【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面11CDD C ，如图所示．
设正方体棱长为，则1CC x =
，11C D ， 作SO EF ⊥于O
，则SO =1OE =，
∵1ECC EOS ∆∆，∴
11CC EC SO EO =
121
x =，
∴2
x =
cm
，即内接正方体棱长为2．
考点：简单组合体的结构特征． 22．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D
点坐标为)q q ，由已知得C 是以(0,0)O
因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线+2=0x y +的斜率相同，34
π
θ=，故D 点的直角坐标为(1,1)-
，极坐标为3)4
p ． （Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B
，则2AB
k =
=-故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--.。