2022届台州市高二下数学期末教学质量检测试题含解析

2022届台州市高二下数学期末教学质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)＝x 2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝x 2＋8x B ．f(x)＝x 2－8x C ．f(x)＝x 2＋2x D ．f(x)＝x 2－2x
【答案】B 【解析】 【分析】
求函数()f x 在2x =处的导数即可求解. 【详解】
∵()()2
2'2f x x xf ＝＋，()()’22'2f x x f ∴＝＋．令2x =，得()()’242'2f f ＝＋，
()’24f ∴-＝.故()28f x x x -＝.
【点睛】
本题主要考查导数定义的运用.求解()f x 在2x =处的导数是解题的关键.
2．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
【答案】C 【解析】 【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可计算出结果。

【详解】
事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、
()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()31
6612
P AB =
=⨯， 由古典概型的概率公式可得()3162
P A ==， 由条件概率公式得()()()
11
2126
P AB P B A P A ==
⨯=，故选：C. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。

3．已知函数f(x)＝e x (x －b)(b∈R)．若存在x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b 的取值范围
是( ) A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．5,
6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．35,26⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．8,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
'()(1)x f x e x b =-+，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()0f x xf x +>，即存在1
[,2]2x ∈，使得
()(1)0x
x
e x b xe x b -+-+>，即221x x b x +<+在1[,2]2恒成立，令221
(),[,2]12
x x g x x x +=∈+，则
2222'()0(1)x x g x x ++=>+，所以()g x 在1[,2]2上单调递增，所以max
8
()(2)3g x g ==，故83
b <，所以b 的取值范围是8
(,)3
-∞，故选A.
4．已知集合{3,2,0,2,4}A =--,2{|32}B x y x x ==--,则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A ．{3,2,0}-
B ．{2,4}
C ．{0,4}
D ．{3,2,4}--
【答案】B 【解析】
分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为()R A C B ，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B ，
根据集合的运算求得结果即可.
详解：根据偶次根式有意义，可得2320x x --≥，
即2230x x +-≤，解得31x -≤≤，即{}|31B x x =-≤≤， 而题中阴影部分对应的集合为()R A
C B ，
所以{}()2,4R A C B ⋂=，故选B.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从
而求得集合B ，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是()R A
C B ，再利用集合的运算法则求得结果.
5．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3++=m n p r ，那么必有3++=m n p r a a a a ，类比该
结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *
∈，且3++=m n p r ，那么必有（ ）
A ．3++=m n p r b b b b
B ．3
++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3
=m n p r b b b b
【答案】D 【解析】
分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.
详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，
则由“如果,,,m n p r N *
∈，且3++=m n p r ”，则必有“3=m n p r b b b b ”成立，故选D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.
6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，
()1
()12
x f x =-，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰好有三个不同的实
数根，则a 的取值范围是( ) A ．()2,+∞ B ．()1,2
C ．
(
)
3
4,2
D ．3(4,2]
【答案】D 【解析】
由f(x−2)=f(x+2),可得函数的周期T=4,当x ∈[−2,0]时,()1 12x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， ∴可得(−2,6]的图象如下：
从图可看出,要使f(x)的图象与y=log a (x+2)的图象恰有3个不同的交点，
则需满足()()log 223
log 623a a
⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，
求解不等式组可得a
的取值范围是2⎤⎦.
本题选择D 选项.
7．函数()3128f x x x =-+的单调增区间是 （ ） A ．()(),2,2,-∞-+∞ B ．()2,2- C ．(),2-∞-
D ．()2,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
求导，并解不等式()0f x '>可得出函数()y f x =的单调递增区间。

【详解】
()3128f x x x =-+，()2312f x x '∴=-，令()0f x '>，得2x <-或2x >，
因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-，()2,+∞，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数单调区间有以下几种方法： （1）基本性质法；（2）图象法；（3）复合函数法；（4）导数法。

同时要注意，函数同类单调区间不能合并，中间用逗号隔开。

8．若函数()y f x =图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(,)A B 为函数()y f x =的“孪生
点对”，且点(,)A B 对(,)B A 与可看作同一个“孪生点对”.若函数32
2,0()692,0
x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2
C ．4
D ．6
【答案】A 【解析】
分析：由题可知当0x >时，()f x 与2y =-恰有两个交点.根据函数的导数确定()f x 的图象，即可求得实数a 的值.
详解：由题可知，当0x >时，()f x 与2y =-恰有两个交点. 函数求导()()()'313f x x x =---（0x >）
易得1x =时取得极小值()12f a =--；3x =时取得极大值()32f a =-
另可知()02f a =-，所得函数图象如图所示.
∴当()122f a =--=-，即0a =时()f x 与2y =-恰有两个交点. ∴当0a =时，()f x 恰好有两个“孪生点对”，
故选A.
点睛：本题主要考查新定义，通过审题，读懂题意，选择解题方向，将问题转化为当0x >时，()f x 与
2y =-恰有两个交点是解题关键.
9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．刘徽应用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后四位的近似值
3.1415，这就是著名的“徽率”．如图是应用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值
为（ ）（参考数据：sin150.2588=°，sin7.50.1305=°）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
【答案】B 【解析】
试题分析：模拟执行程序，可得33
6,3sin 602
n S ===
，不满足条件 3.10,12,6sin 303S n S ≥==⨯=；不满足条件 3.10,24,23sin15 3.1056S n S ≥==⨯=；满足条件
3.10S ≥，推出循环，输出n 的值为24，故选B.
考点：程序框图.
10．将曲线πsin 34y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换3,
12x x y y =⎧⎪⎨=''⎪⎩
后得到的曲线方程为（ ）
A ．π2sin 4y x ⎛
⎫''=-
⎪⎝
⎭
B ．1πsin 24y x ⎛
⎫''=
- ⎪⎝
⎭ C ．1πsin 924y x ⎛
⎫''=
- ⎪⎝
⎭ D ．π2sin 94y x ⎛
⎫''=-
⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解. 【详解】
由伸缩变换，得132x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩
， 代入πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得π2sin 4y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，
即 1πsin 24y x ⎛
⎫''=
- ⎪⎝
⎭．选B 【点睛】
本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.
11．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( ) A ．分层抽样,简单随机抽样 B ．简单随机抽样, 分层抽样 C ．分层抽样,系统抽样 D ．简单随机抽样,系统抽样
【答案】D 【解析】
第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D
12．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是1
63
y x =-
+，则()()55f f +'=（）
A ．4
B ．3
C ．
153
D ．
163
【答案】A 【解析】 【分析】
由条件可得()3513f =，()13
5f '=- 【详解】
因为函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是1
63
y x =-+ 所以()3513f =
，()13
5f '=- 所以()()55f f +'=4 故选：A 【点睛】
本题考查的是导数的几何意义，较简单. 二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()2
f x x a x =-+，()2ln x
g x x
=
，若方程()()1f g x =有4个不等实根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】12,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝
⎭
. 【解析】 【分析】
根据()g x 和()f x 的图象，可得当且仅当()1f x =有四解时，符合题意．令()t g x =，此时10t <，20t <，31(0,
)2t e ∈，412t e
>，根据判别式可列出关于a 的不等式，进而可求a 的取值范围. 【详解】 解：2()lnx g x x =
，3
12()lnx g x x
-'=，可得()g x 在)e 递增，在,)e +∞递减， 则()g x 的图象如下：
当0a <时，2()||f x x a x =-+图象如图，此时()1f x =无解，不符合题意
当0a =时，2()||f x x a x =-+图象如图，此时()1f x =无解，不符合题意
当0a >时，函数2()||f x x a x =-+的图象如下：
令()t g x =，当0t <时，方程()t g x =只有一解，当且仅当()1=f t 有四解时，符合题意．
此时四解10t <，20t <，3
1(0,)2t e ∈，4
12t e >．则22122
11()10
22a a a a e
e ⎧⎛⎫-+⋅>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+->⎪⎩，解得122a e e >+.
综上，实数a 的取值范围是12,2e e ⎛
⎫+
+∞ ⎪⎝
⎭
. 故答案为: 12,2e e ⎛
⎫++∞ ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题考查了复合函数的零点问题，考查了数形结合的思想. 14．已知
，将
按从小到大的顺序用不等号“”连接为__________．
【答案】
【解析】 【分析】 将
分别判断与0,1的大小关系得到答案.
【详解】
故答案为
【点睛】
本题考查了数值的大小比较，0，1分界是一个常用的方法.
15．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a ．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为
1
4
，则cos α=_____________．
【答案】1
4
+ 【解析】 【分析】
设正方形边长为1，可得出每个直角三角形的面积为
1
sin 24
α，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为
34
，可求出3sin 24α=，由04π
α<<得出cos20α>并得出cos2α的值，再利用降幂公式
21cos 2cos 2
α
α+=
可求出cos α的值. 【详解】
设正方形边长为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin α和cos α，则每个直角三角形的面积为
11
sin cos sin 224ααα=，由题意知，阴影部分正方形的面积为14
， 所以，四个直角三角形的面积和为114sin 2144α⨯=-，即3
sin 24
α=，
由于α是较小的锐角，则04
π
α<<
，022
π
α∴<<
，所以，cos 24
α==
，
因此，
1cos 4
α=
===，故答案为1
4
+. 【点睛】
本题考查余弦值的计算，考查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出sin 2α和cos2α的值，并通过二倍角升幂公式求出cos α的值，考查计算能力，属于中等题．
16．若()12n
x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则()12n
x +的展开式中含3x 项的系数为__________． 【答案】160 【解析】
分析：根据题意，结合二项式定理可得2
15n C =，再利用二项式通项公式即可.
详解：由二项式定理，()12n
x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为2
n C ，
∴有2
15n C =，解得6n =.
则有162r r r r T C x +=，当3r =时，得33
62160C =，
∴()6
12x + 的展开式中含3x 项的系数为160.
故答案为：160.
点睛：本题考查二项式系数的性质，要注意区分某一项的系数与某一项的二项式系数的区别. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -
，其参数方程为1x t
y =⎧⎪⎨
=-+⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，求
11
||||
PA PB +的值. 【答案】
10y --=；2
4y x =.
(2) 2+. 【解析】
分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线2C ，将方程两边同时乘以ρ，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.
详解：（1
）由,1x t y =⎧⎪
⎨=-+⎪⎩
（t 为参数），
可得1C
10y --=，
又2C 的极坐标方程为2
cos 4cos 0ρθθρ+-=，即2
2
2
cos 4cos 0ρθρθρ+-=， 所以2C 的直角坐标方程为24y x =．
（2）1C
的参数方程可化为1,212x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
代入2C
得：(2
34240t t -++=， 设A ，B 对应的直线1C 的参数分别为1t ，2t ，
(
12423
t t +=
，12
4
3
t t
=
，所以10t >，20t >，
所以(
121212
4211113243
t t PA PB
t t t t ++=+==
=．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的知识，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐
标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义等，在解题的过程中，需要注意韦达定理的应用以及直线的参数方程是否是标准式.
18．己知复数1z 满足1(2)34i z i +=+，2z m i =-，其中m R ∈，i 为虚数单位. （l ）求2
1z ：
（2）若1212z z z +<.求实数m 的取值范围.
【答案】（1）2
134z i =+（2）62m -<<
【解析】 【分析】
根据复数的概念和复数的运算法则求解. 【详解】 解：（1）134(34)(2)
22(2)(2)
i i i z i i i i ++-=
==+++- 221(2)3+4z i i =+=
（2）122(2)2z z i m i m i +=-+-=+-
∴
<
解得：62m -<<； 【点睛】
本题考查共轭复数、复数的模和复数的运算，属于基础题. 19．已知函数()()22f x x x a x R =++-∈． （1）当0a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()24f x x ≤+对任意[]
10x ∈-，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】 (1) 533⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，．(2) []21-，
【解析】 【分析】
（1）利用零点分类讨论法解绝对值不等式；（2）由题得2x a -≤对任意[]10x ∈-，成立，即22x a x -+≤≤对任意[]10x ∈-，成立，再求实数a 的取值范围．
【详解】
（1）当0a =时，不等式()7f x ≤可化为227x x ++≤．
当0x >时，227x x ++≤，解得53x ≤
，故503
x <≤； 当10x -≤≤时，227x x +-≤，解得5x ≤，故10x -≤≤； 当1x <-时，()227x x -+-≤，解得3x ≥-，故31x -≤<-．
综上，当0a =时，不等式()7f x ≤的解集为533⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
，．
（2）∵()24f x x ≤+对任意[]10x ∈-，成立， ∴2224x x a x ++-+≤任意[]10x ∈-，成立， ∴2x a -≤对任意[]10x ∈-，成立， 所以22x a x -+≤≤对任意[]10x ∈-，成立
又当[]10x ∈-，时，()()min max 212122x x +=-+=-=-，， 故所求实数a 的取值范围是[]21-，．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．如图，在四面体ABCD 中，BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒.
（Ⅰ）证明：BD AC ⊥；
（Ⅱ）若60ABD ∠=︒，2BA =，四面体ABCD 的体积为2，求二面角B AC D --的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析. (2)105
【解析】
分析：（1）作Rt△ABD 斜边BD 上的高AE ，连结CE ，易证BD ⊥平面AEC ，从而得证；
（2）由四面体ABCD 的体积为2，sin 1AEC ∠=，
得90AEC ∠=︒，所以AE ⊥平面BCD ，以EB ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.
详解：解法一：（1）如图，作Rt△ABD 斜边BD 上的高AE ，连结CE ．
因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt△ABD ≌Rt △BCD ．可得CE BD ⊥．所以BD ⊥平面AEC ，于是BD AC ⊥．
（2）在Rt△ABD 中，因为2BA =，60ABD ∠=︒，所以4BD =，3AE =， 3CE =，△AEC 的面积3sin 2S AEC
=
∠．因为BD ⊥平面AEC ，四面体ABCD 的体积2，所以13
sin 4232
AEC ⋅⋅∠⋅=，sin 1AEC ∠=，90AEC ∠=︒，所以AE ⊥平面BCD ．
以EB ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则()
0,0,3A ，
()1,0,0B ，()
0,3,0C ，()3,0,0D -，()1,0,3AB =-，()0,3,3AC =-，()
3,0,3AD =--．
设()111,,m x y z =是平面BAC 的法向量，则00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111130
330
x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取(
)
3,1,1m =
．
设()222,,n x y z =是平面DAC 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，即2222330
330
y z x z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，可取()
1,3,3n =-． 因为105
cos ,m n m n m n ⋅=
=，二面角B AC D --的平面角为钝角，所以二面角B AC D --的余弦值为105-
解法二：（1）因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt△ABD ≌Rt △BCD ．可得AD CD =． 设AC 中点为E ，连结BE ，DE ，则BE AC ⊥，DE AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE ，，于是BD AC ⊥．
（2）在Rt△BCD 中，因为2BC =，60CBD ∠=︒，所以△BCD 面积为23A 到平面BCD 距离为h ，因为四面体ABCD 的体积2，所以3h =
在平面ABC 内过A 作AF BC ⊥，垂足为F ，因为2BA =，60ABD ∠=︒，所以3AF =．由点到平
面距离定义知AF ⊥平面BCD ． 因为AF FC ⊥，所以6AC =
．因为2BA =，23AD =，所以102BE =
，422
DE =，所以222105cos 2BE DE BD BED BE DE +-∠==-
⋅，即二面角B AC D --的余弦值为105
-． 点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.
21．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是
2
3
，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大 【解析】
试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；
（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大． 试题解析：
（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3
()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()30
42361
35
C C P c ξ===；
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ
1 2 3
P
1
5 35 15
()1232555
E ξ=⨯+⨯+⨯=
设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3
()()31
2
013
3112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
()()23
23332112282,33327327
P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应聘者乙正确完成题数η的分布列为：
()0123227272727E η=⨯
+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,
3B η⎛⎫~ ⎪⎝
⎭∴()2
323
E η=⨯=） （2）因为()()()()2
22
13121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=， ()()2
13
D np p η=-=
所以()()D D ξη<
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大 22．已知函数()2
221
x a f x =++是奇函数． （1）求a 的值；
（2）判断()f x 的单调性，并用定义加以证明；
【答案】 (1) 2a =- ；(2) ()f x 在定义域上是减函数．证明见解析 【解析】 【分析】
（1）直接根据奇函数的性质f （0）＝0，求出a ，再进行验证；（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明； 【详解】
（1）由题知()f x 的定义域为R ，
因为()f x 是奇函数，所以()00f =，即()0200221
a f =+=+ 解得2a =-.
经验证可知()f x 是奇函数， 所以2a =-.
（2）()f x 在定义域上是减函数，
由（1）知，()2
121x
f x =-+
+，任取12,x x R ∈，且12x x <， 所以()()1122121x f x f x ⎛⎫
-=-+
- ⎪+⎝⎭
212
2221212121x x x ⎛⎫-+=- ⎪+++⎝⎭
. (
)()()()()()()
212
1
1
2
1
2
221221
22221212121x x x x x x x x +-+-=
=++++
12x x <， 2122x x ∴>，
()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >
所以()f x 在定义域上是减函数． 【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，单调性，属于中档题．。