17无穷小比较zsy

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1
例2. 求 lim(1x2)3 1. x0 cosx1
解: 当x0时,
(1x2)13 1~1 x 2 3
co x 1 s~ 1 x 2 2
原式 lim
1 3
x2
2
x0

1 2
x
2
3
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例3. 求xl im 0tasxni3nsxixn.
1 n
x
证: lim n1x1
x0
1 n
x
anbn(ab) (a n1 an2bbn1)
lim
x0
1
n1xn1
1 n
x
n1xn1n1xn2 1
当x0时, n1x1～ 1 x
n
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定理1 . 设~, ~, 且
解: x l i0m ta sx in 3 s n xixn x l i0m scix(n o 1 xs s c i3n x o x)s
当x0时, Leabharlann inx~x co x 1 s~ 1 x 2
x2
2
原式 limx 2 lim 1 1
x0x3coxs x0 2cosx 2
第七节
第一章
无穷小的比较
引例 . x0时,3x,x2,sinx都是无穷小, 但
lim x 2 0, x 0 3x
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x2
x
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
注：等价无穷小量代换，只能用于乘除运算，对加减 项的无穷小量不能随意代换，比如下面解法是错误的
xl i0m tasxn i3sn xixnxl i0m xx 3x0
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常用等价无穷小 : 当x0时,
sinx～x , tanx～x , arcsxin～ x ,
例如 , 当 x0时
x 3 o(6 x 2 ); sinx～ x; tanx～ x arcsxin～x
又如 ，
lx im01xc2osx

lim
x0
2
sin
2
x 2
4
(
x 2
)
2

1 2
故 x0时
1cox～s
1 2
x
2
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例1.
证明:
当 x0时,
n1x1～
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作

o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
若 limC0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~

或 ~
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1cox～s12 x 2 , ln1(x) ～ x
n1x1～
1 n
x
ex1 ～ x
2. 等价无穷小替换定理
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
lim

存在 , 则
lim f(x ) lim f(x )lim lim


证:
lim
lim





lim lim lim lim


例如, lim tan2x lim 2x 2 x0 sin5x x0 5x 5