2020年高考数学二轮复习小题押题(12+4)跟踪检测3 不等式

2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）跟踪检测3 不等式
1．(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx 2＋nx －1
m ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＜－12或x ＞2，则m －n ＝( ) A.1
2 B ．－5
2
C.52
D ．－1
解析：选B 由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1
m 2(m
＜0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－5
2
.
2．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b 的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4
D ．4 2
解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，∴a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ≥22a ·22b ＝22a
＋2b
＝22，当且仅当2a
＝22b ，即a ＝12，b ＝1
4
时取等号．
3．(2017·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是( )
A ．5
B ．7
C ．8
D ．23
解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝3，2x －y ＝3的交点A (2,1)时，目标函
数z ＝2x ＋3y 取得最
小值7.
4．(2017·贵阳一模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.9
2
D.112
解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22
，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.
5．(2017·云南模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －
1－2，x ≥1，
21－x －2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )
A ．{x |0≤x ≤2}
B ．{x |0≤x ≤3}
C ．{x |1≤x ≤2}
D ．{x |1≤x ≤3}
解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －
2－2，x ≥2，22－x －2，x ＜2.
当x ≥2时，由2x －
2－2≤0，解得2≤x ≤3； 当x ＜2时，由22－
x －2≤0，解得1≤x ＜2.
综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}． 6．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≤3，x －y ≥1，
y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝－x ，当直线经过点A (3,0)时，z ＝x ＋y 取得最大值，此时z max ＝3＋0＝3.
7．(2017·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式
x 2＋ax －2＜0
可化为a ＜2－x 2x ＝2x －x ，设f (x )＝2
x
－x ，x ∈[1,4]，
由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.
法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.
8．(2017·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，
x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )
A ．[1,13]
B ．[1,4] C.⎣⎡⎦
⎤4
5，13 D.⎣⎡⎦⎤
45，4
解析：选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45
，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max
＝|OA |2＝
13，故选C.
9．(2017·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋
a
x 1x 2
的最小值是( )
A.
63 B.233
C.433
D.263
解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0， 又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，
∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋1
3a ≥2
4a ·13a ＝433，当且仅当a ＝3
6
时取等号． ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是43
3
.
10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C ．20,30
D ．0,50
解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，
x ≥0，y ≥0.
画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．
故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．
11．已知点M 是△ABC 内的一点，且AB ―→·AC ―→
＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别
为2
3
，x ，y ，则4x ＋y xy 的最小值为( ) A ．16 B ．18 C ．20
D ．27
解析：选D 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵AB ―→·AC ―→
＝23，∠BAC ＝π6
，
∴|AB ―→|·|AC ―→
|cos π6＝23，∴bc ＝4，
∴S △ABC ＝12bc sin π6＝1
4
bc ＝1.
∵△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为2
3，x ，y ，
∴23＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝13， ∴
4x ＋y xy ＝1x ＋4y
＝3(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋4y ＝3⎝⎛⎭
⎫1＋4＋y x ＋4x
y ≥3⎝
⎛⎭
⎫
5＋2y x ·4x y ＝27， 当且仅当y ＝2x ＝2
9时取等号，
故
4x ＋y
xy
的最小值为27. 12．(2017·安徽二校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤2，y －4≤x ，
x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范
围是( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,0] C.⎣⎡⎦
⎤－15，3
5 D.⎣⎡⎦
⎤－1
5，0 解析：选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝2，
y －4＝x 得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)； 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，即C (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －4＝x ，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－5，y ＝－1，
即A (－5，－1)． 要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨
⎪⎧
－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，
所以－1
5
≤k ≤0.
13．(2018届高三·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋
1
b 2－1的最小值为________．
解析：令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1
b 2
－1
＝a －1＋
1
a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1
b 2－1
的最小值为3.
答案：3
14．(2017·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤0，x －y ≤0，
x 2＋y 2≤4，
则z ＝
y －2
x ＋3
的最小值为________． 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2
x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)
连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有
|3k ＋2|
k 2＋1
＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－12
5.
答案：－12
5
15．(2017·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |
x 2＋2，当
x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝2
4
(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，
|x |
x 2＋2
＝0＜
2
4
，因此要使关于x 的不等式ax 2－ |x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭
⎫24，＋∞. 答案：
⎣⎡⎭
⎫24，＋∞
16．(2018届高三·福州调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，
x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：
①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意知，不等式组所表示的可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，
y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝3，
所以点C 的坐标为(1,3)．
因为∀(x，y)∈D，y≥ax，
由图可知，a≤k OB，所以a≤1.
由∃(x，y)∈D，x－y≤a，设z＝x－y，则a≥z min.
当目标函数z＝x－y过点C(1,3)时，z＝x－y取得最小值，此时z min＝1－3＝－2，所以a≥－2. 综上可知，实数a的取值范围为[－2,1]．
答案：[－2,1]。