斜立体几何
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【详解】
证明：连接 ，
侧面 为菱形，
，
又 C， ，
平面 ，
，又 ， ，
平面 ，
平面 ， 直线 直线 ；
解：由 知，平面 平面 ，由 作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，
，得D为AB的中点，
过A作 的平行线，交 于E点，则 平面ABC，
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 为平面 的一个法向量，
设 为平面 的法向量，则
即 ，令 ，得 ；
所以 ，
所以二面角 的正弦值为
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
试卷第15页总21设平面的法向量为所以平面的一个法向量为设平面的法向量为所以平面的一个法向量为因为所求二面角为钝角所以二面角的余弦值为点睛求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
1．如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， ， ， .
2．如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， 为棱 的中点， ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求斜三棱柱 的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据底面为正三角形，易得 ；由各边长度，结合余弦定理，可求得 的值，再根据勾股定理逆定理可得 ，可证 平面 。
（Ⅱ）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解。
3．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC= ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。
【答案】(1)见解析;(2)600
【解析】
【分析】
（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由平面A1ACC1⊥平面ABC可得A1D⊥平面ABC，故∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角，解三角形可得∠A1AD=450即为所求．（Ⅱ）方法一：用几何法，作出两平面所成的二面角，解直角三角形可得所求角的大小．方法二：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，借助两法向量夹角求出二面角的大小．
【详解】
（Ⅰ）如图，连接 ，
因为底面 是边长为 的正三角形，
所以 ，且 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 平面 .
（Ⅱ）设斜三棱柱 的体积为 ，则
所以斜三棱柱 的体积为
【点睛】
本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题。
（2）用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角．
4．如图，在三棱柱 中， ， .
(I)求证： ;
(II)在棱 上取一点M, ,若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（I）由菱形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而根据面面垂直的判定定理可得结果；(II)取 的中点为 ,根据面面垂直的性质，结合等腰三角形的性质可证明， 两两垂直，以，
得 ,
又平面 ,
平面 ,
所以 ，
又 ,所以 ，
以 为原点， 的正方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
则
,设 ，则由 ,
得 所以 ，
由（1）知平面 的一个法向量为
所以 ,
解得 或-1(负值舍去)，
所以
【点睛】
本题主要考查证明面面垂直、利用空间向量求线面面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
面的法向量．
6．在三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形， ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若底面是以 为直角顶点的直角三角形，且 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)由菱形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，从而可得 平面 ，进而可得结果；（2）由（1）可知 ， ， ，则 ，又 ，则 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系，求出平面 的法向量与平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
因为底面 是边长为 的正三角形，
所以 ，且 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（Ⅱ）如图所示，
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，其中 ，则 ，
所以 ， ， ，
设 为平面 的法向量，则
即 ，令 ，得 ；
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】分析：（1）以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，写出相应点的坐标，即可通过线面垂直的判定方法证得 平面 ；
（2）写出相应点的坐标，求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，即可求得答案.
详解：(1)证明方法一:连接 ，因为底面 是等腰梯形且
所以， ，又因为 是 的中点，
因此 ，且 ，
所以 且 ，
所以， 平面 .
(2)底面 是等腰梯形， , ,
所以， ，
因此 ，
以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 , , , ，
所以， , ，
设平面 的一个法向量 ，
由 得 ，
由 是平面 的法向量，
因此 ，
平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值是 .
点睛：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等相关知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.
（2）过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的余弦值.
【详解】
解:(1)如图，
连接 交 于点 ，连接 .
因为 平面 平面 ，平面
平面 ，所以 .
又四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 为 的中点.
则 ， ， ，，
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可得 ，故可取 .
设平面 的法向量为 ，同理可取 ，
∴ ，
∴二面角 的正弦值为 .
【点睛】
本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
则 .
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
∴ ．
又平面ABC的法向量为 ，
∴ ，
由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角，
∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．
【点睛】
（1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值）．
9．如图，三棱柱 中，已知四边形 是菱形， 与 交于点 ，且 ， ， ， .
（1）连接 ，证明：直线 平面 .
（2）求平面 和平面 所成的角（锐角）的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
7．如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱 中， ，四边形 为矩形，过 作与直线 平行的平面 交 于点 .
(1)证明: ；
(2)若直线 与底面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，推导出 ，由四边形 为平行四边形，得 为 的中位线，从而 为 的中点，由此能证明 ；
又 为等边三角形，所以 .
(2)过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，设 ，
则 .
因为直线 与底面 所成的角为 ，所以 .
在 中，因为 ，
所以 ， .
为 平面 平面 ，
所以 ，
四边形 为矩形，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 平面 平面 ，所以
平面 .
因为 平面 ，所以 .
又 为等边三角形，所以 为 的中点.
的正方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，求出 ，由（1）知平面 的一个法向量为 ，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
【详解】
（I）证明：由题意知四边形 是菱形，
则 ，如图，设 ，
连接 ,易求得 ，又 为 的中点，
所以 ,
又 ，
所以 ，
所以
(II)解：如图所示，取 的中点为 ,
则由 ,
则 0， ， 2， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，取 ，得 ，
，
故二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
利用向量法求二面角的注意事项：
(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；
(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的
方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平
【详解】
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC ，
∴A1D⊥平面ABC，
∴∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角．
∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴ ∠A1AD=450，
∴侧棱A1A与底面ABC所成角为450．
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则有A1D⊥平面ABC，
【详解】
（1）证明：连接 ，∵四边形 是菱形，且 ，
∴ 为等边三角形.
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， 、 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ .
（2）由（1）及题意可知 ， ， ，则 ，又 ，则 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系 ，
以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， .
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
， ，
.
设平面 的法向量为 .
由 ，得 ，
令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
所以 ，
因为所求二面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）要证平面 平面 ，即证 平面 ，易证 ；（Ⅱ）以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】
（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ，
由三垂线定理得A1E⊥AB，
∴ ∠A1ED是平面A1ABB1与平面ABC所成二面角的平面角.
由已知得AB⊥BC，所以ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC= ，
∴ DE=1，AD=A1D= ，
在
∴∠A1ED=600，
∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．
（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）可知 ⊥平面ABC，于是以 为原点，过点平行于BC、AB的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
【点睛】
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
8．如图,四棱柱 中,底面 是等腰梯形, , , 是线段 的中点, 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ,求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值.
因此， 且 ，
所以， 且 ，
又因为 且 ，
所以 ，
因为， 平面 ，
所以 平面 ，
所以，平面 平面 ，
在平行四边形 中，因为 ,
所以平行四边形 是菱形，
因此 ，
所以 平面 .
解法二：底面 是等腰梯形， , ,
所以， ，
因此 ，
以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 , ，
由 得 ，
所以 , , , ，
5．如图，斜三棱柱 中，侧面 为菱形，底面 是等腰直角三角形， ， C．
（1）求证：直线 直线 ；
（2）若直线 与底面ABC成的角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证 平面 ，再证 平面 ，可证直线 直线
（2）由 作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，过A作 的平行线，交 于E点，则 平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求得二面角。
证明：连接 ，
侧面 为菱形，
，
又 C， ，
平面 ，
，又 ， ，
平面 ，
平面 ， 直线 直线 ；
解：由 知，平面 平面 ，由 作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，
，得D为AB的中点，
过A作 的平行线，交 于E点，则 平面ABC，
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 为平面 的一个法向量，
设 为平面 的法向量，则
即 ，令 ，得 ；
所以 ，
所以二面角 的正弦值为
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
试卷第15页总21设平面的法向量为所以平面的一个法向量为设平面的法向量为所以平面的一个法向量为因为所求二面角为钝角所以二面角的余弦值为点睛求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
1．如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， ， ， .
2．如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， 为棱 的中点， ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求斜三棱柱 的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据底面为正三角形，易得 ；由各边长度，结合余弦定理，可求得 的值，再根据勾股定理逆定理可得 ，可证 平面 。
（Ⅱ）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解。
3．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC= ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。
【答案】(1)见解析;(2)600
【解析】
【分析】
（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由平面A1ACC1⊥平面ABC可得A1D⊥平面ABC，故∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角，解三角形可得∠A1AD=450即为所求．（Ⅱ）方法一：用几何法，作出两平面所成的二面角，解直角三角形可得所求角的大小．方法二：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，借助两法向量夹角求出二面角的大小．
【详解】
（Ⅰ）如图，连接 ，
因为底面 是边长为 的正三角形，
所以 ，且 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 平面 .
（Ⅱ）设斜三棱柱 的体积为 ，则
所以斜三棱柱 的体积为
【点睛】
本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题。
（2）用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角．
4．如图，在三棱柱 中， ， .
(I)求证： ;
(II)在棱 上取一点M, ,若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（I）由菱形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而根据面面垂直的判定定理可得结果；(II)取 的中点为 ,根据面面垂直的性质，结合等腰三角形的性质可证明， 两两垂直，以，
得 ,
又平面 ,
平面 ,
所以 ，
又 ,所以 ，
以 为原点， 的正方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
则
,设 ，则由 ,
得 所以 ，
由（1）知平面 的一个法向量为
所以 ,
解得 或-1(负值舍去)，
所以
【点睛】
本题主要考查证明面面垂直、利用空间向量求线面面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
面的法向量．
6．在三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形， ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若底面是以 为直角顶点的直角三角形，且 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)由菱形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，从而可得 平面 ，进而可得结果；（2）由（1）可知 ， ， ，则 ，又 ，则 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系，求出平面 的法向量与平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
因为底面 是边长为 的正三角形，
所以 ，且 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（Ⅱ）如图所示，
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，其中 ，则 ，
所以 ， ， ，
设 为平面 的法向量，则
即 ，令 ，得 ；
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】分析：（1）以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，写出相应点的坐标，即可通过线面垂直的判定方法证得 平面 ；
（2）写出相应点的坐标，求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，即可求得答案.
详解：(1)证明方法一:连接 ，因为底面 是等腰梯形且
所以， ，又因为 是 的中点，
因此 ，且 ，
所以 且 ，
所以， 平面 .
(2)底面 是等腰梯形， , ,
所以， ，
因此 ，
以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 , , , ，
所以， , ，
设平面 的一个法向量 ，
由 得 ，
由 是平面 的法向量，
因此 ，
平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值是 .
点睛：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等相关知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.
（2）过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的余弦值.
【详解】
解:(1)如图，
连接 交 于点 ，连接 .
因为 平面 平面 ，平面
平面 ，所以 .
又四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 为 的中点.
则 ， ， ，，
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可得 ，故可取 .
设平面 的法向量为 ，同理可取 ，
∴ ，
∴二面角 的正弦值为 .
【点睛】
本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
则 .
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
∴ ．
又平面ABC的法向量为 ，
∴ ，
由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角，
∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．
【点睛】
（1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值）．
9．如图，三棱柱 中，已知四边形 是菱形， 与 交于点 ，且 ， ， ， .
（1）连接 ，证明：直线 平面 .
（2）求平面 和平面 所成的角（锐角）的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
7．如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱 中， ，四边形 为矩形，过 作与直线 平行的平面 交 于点 .
(1)证明: ；
(2)若直线 与底面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，推导出 ，由四边形 为平行四边形，得 为 的中位线，从而 为 的中点，由此能证明 ；
又 为等边三角形，所以 .
(2)过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，设 ，
则 .
因为直线 与底面 所成的角为 ，所以 .
在 中，因为 ，
所以 ， .
为 平面 平面 ，
所以 ，
四边形 为矩形，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 平面 平面 ，所以
平面 .
因为 平面 ，所以 .
又 为等边三角形，所以 为 的中点.
的正方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，求出 ，由（1）知平面 的一个法向量为 ，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
【详解】
（I）证明：由题意知四边形 是菱形，
则 ，如图，设 ，
连接 ,易求得 ，又 为 的中点，
所以 ,
又 ，
所以 ，
所以
(II)解：如图所示，取 的中点为 ,
则由 ,
则 0， ， 2， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，取 ，得 ，
，
故二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
利用向量法求二面角的注意事项：
(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；
(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的
方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平
【详解】
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC ，
∴A1D⊥平面ABC，
∴∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角．
∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴ ∠A1AD=450，
∴侧棱A1A与底面ABC所成角为450．
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则有A1D⊥平面ABC，
【详解】
（1）证明：连接 ，∵四边形 是菱形，且 ，
∴ 为等边三角形.
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， 、 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ .
（2）由（1）及题意可知 ， ， ，则 ，又 ，则 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系 ，
以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， .
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
， ，
.
设平面 的法向量为 .
由 ，得 ，
令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
所以 ，
因为所求二面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）要证平面 平面 ，即证 平面 ，易证 ；（Ⅱ）以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】
（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ，
由三垂线定理得A1E⊥AB，
∴ ∠A1ED是平面A1ABB1与平面ABC所成二面角的平面角.
由已知得AB⊥BC，所以ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC= ，
∴ DE=1，AD=A1D= ，
在
∴∠A1ED=600，
∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．
（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）可知 ⊥平面ABC，于是以 为原点，过点平行于BC、AB的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
【点睛】
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
8．如图,四棱柱 中,底面 是等腰梯形, , , 是线段 的中点, 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ,求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值.
因此， 且 ，
所以， 且 ，
又因为 且 ，
所以 ，
因为， 平面 ，
所以 平面 ，
所以，平面 平面 ，
在平行四边形 中，因为 ,
所以平行四边形 是菱形，
因此 ，
所以 平面 .
解法二：底面 是等腰梯形， , ,
所以， ，
因此 ，
以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 , ，
由 得 ，
所以 , , , ，
5．如图，斜三棱柱 中，侧面 为菱形，底面 是等腰直角三角形， ， C．
（1）求证：直线 直线 ；
（2）若直线 与底面ABC成的角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证 平面 ，再证 平面 ，可证直线 直线
（2）由 作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，过A作 的平行线，交 于E点，则 平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求得二面角。