2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换章末综合检测(三)新人教A版必修4

章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则tan 2α＝( ) A.24
7
B.83 C ．－83
D ．－247
解析：选A.因为tan α＝－4
3
，
所以tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪
⎫－432＝24
7. 2．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4
－θ
等于( )
A ．sin 2θ
B ．－sin 2θ
C ．cos 2θ
D ．－cos 2θ
解析：选A.原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2θ＝sin 2θ.故选A. 3．已知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝35
，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )
A.24
25
B.12
25
C ．－1225
D ．－2425
解析：选D.由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝4
5，所以sin 2α＝2sin
αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×4
5
＝－2425.
4．若α为第三象限角，则
1＋cos 2αcos α－1－cos 2α
sin α
等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
解析：选A.因为α为第三象限角，所以sin α，cos α<0，则
1＋cos 2αcos α－
1－cos 2α
sin α
＝1＋2cos 2α－1cos α－1－（1－2sin 2
α）sin α＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－cos αcos α－－sin αsin α＝0.
5．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝2
3，则sin A ＋cos A 等于( )
A.53 B ．－53
C.
153
D ．－
153
解析：选C.因为sin 2A ＝2sin A cos A ＝23，所以sin A cos A ＝1
3.因为A 为△ABC 的内角，
所以sin A >0，cos A >0，所以sin A ＋cos A ＝（sin A ＋cos A ）2
＝
1＋23＝53＝153
. 6．函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
解析：选A.因为y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.
7．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆x 2＋y 2
＝1交点的横坐标为14，则cos α2
等于( )
A.
10
4 B ．－104
C ．－64
D.
64
解析：选A.由题意，得cos α＝14，又α为锐角，则cos α
2＝
1＋cos α
2
＝ 1＋142
＝
10
4
. 8．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－211 D.2
11
解析：选B.由sin 2α＝35，且π
2
＜2α＜π，
可得cos 2α＝－4
5，
所以tan 2α＝－3
4
，
所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝
tan 2α－tan （α－β）
1＋tan 2αtan （α－β）
＝－34－12
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12
＝－2.
9．已知在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A 等于( )
A ．－
3
3
B.33 C ．－233
D.
23
3
解析：选A.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋
cos A ＝
32sin A ＋32cos A ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－33.
10.3cos 10°－1
sin 170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2
D ．－4
解析：选D.3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1
sin 10°
＝3sin 10°－cos 10°
sin 10°cos 10°
＝2sin （10°－30°）
sin 10°cos 10°
＝2sin （－20°）
sin 10°cos 10°
＝
－2sin 20°
1
2
sin 20°＝－4.
11．若1＋sin αcos α－cos 2
αcos 2α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－2α＝( )
A ．－717
B.
717
C.512
D ．－512
解析：选A.因为1＋sin αcos α－cos 2
α
cos 2α＝2，
所以sin 2
α＋sin αcos αcos 2α－sin 2
α＝2， 即
sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝2
3
，
所以tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×2
3
1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫232＝12
5， 所以tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－
1251＋
125
＝－717，故选A. 12．已知不等式f (x )＝32sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62－m ≤0对于任意的－5π6≤x ≤π6
恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥ 3
B ．m ≤ 3
C ．m ≤－ 3
D ．－3≤m ≤ 3
解析：选 A.f (x )＝32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4－62－m ＝322sin x 2＋62cos x 2
－m ＝6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6－m ≤0，
所以m ≥6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6， 因为－5π6≤x ≤π6，
所以－π4≤x 2＋π6≤π
4
，
所以－3≤6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6≤3， 所以m ≥ 3.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．
解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－3
2
，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ
＝
2tan θ
1－tan2θ
＝
2×
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
3
2
1－
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
3
2
2
＝
12
5
.
答案：
12
5
14.
1
1－tan 15°
－
1
1＋tan 15°
＝________．
解析：原式＝
2tan 15°
（1－tan 15°）（1＋tan 15°）
＝
2tan 15°
1－tan215°
＝tan 30°＝
3
3
.
答案：
3
3
15．已知tan θ＝－
2
2
，则
2cos2
θ
2
－sin θ－tan
5π
4
2sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
θ＋
π
4
＝________．
解析：因为tan θ＝－
2
2
，
所以
2cos2
θ
2
－sin θ－tan
5π
4
2sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
θ＋
π
4
＝
2cos2
θ
2
－sin θ－1
2sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
θ＋
π
4
＝
cos θ－sin θ
cos θ＋sin θ
＝
1－tan θ
1＋tan θ
＝
1＋
2
2
1－
2
2
＝3＋2 2.
答案：3＋2 2
16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，a＝(sin B＋cos B，cos C)，b＝(sin C，sin B
－cos B)．若a·b＝0，则A＝________．
解析：由已知a·b＝0，得(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B)＝0.化简，得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，即sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A
＝
3π4
. 答案：3π4
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)求下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π
12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12＋sin π12；
(2)(tan 10°－3)sin 40°.
解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π
12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12
＝cos
2
π12－sin 2π
12＝cos π6＝32
. (2)原式＝
sin 10°－3cos 10°cos 10°·sin 40°＝－2sin 50°cos 50°cos 10°＝－sin 100°
cos 10°
＝
－cos 10°
cos 10°
＝－1.
18．(本小题满分12分)已知π2＜α＜π，cos α＝－45
. (1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
解：(1)因为cos α＝－45，π
2＜α＜π，
所以sin α＝3
5
，
所以tan α＝sin αcos α＝－3
4.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－24
25.
cos 2α＝2cos 2
α－1＝725，
所以sin 2α＋cos 2α＝－
2425＋725＝－1725
. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中
θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝
1010，φ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos φ的值．
解：(1)因为a 与b 互相垂直， 所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2
θ＋cos 2
θ＝1， 又因为θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin θ＝255，cos θ＝55.
(2)因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以－π2<θ－φ<π2，又sin(θ－φ)＝10
10，
所以cos(θ－φ)＝1－sin 2
（θ－φ）＝31010
，
所以cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝5
5
×31010＋255×1010＝2
2
. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．
解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π
2
，k ∈Z ，
所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠π8＋k π
2，k ∈Z .
f (x )的最小正周期为π2
.
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2
α)，
整理得sin α＋cos α
cos α－sin α
＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，
因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2
＝12，所以sin 2α＝12
.
由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．
解：(1)f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋3
2sin 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，
所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π
3≤x ≤m ，
所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6
.
要使得f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.
所以2m －π6≥π2，即m ≥π
3.
所以m 的最小值为π
3
.
22．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝1
5.
(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．
解：(1)证明：因为sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝1
5，
所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝3
5sin A cos B －cos A sin B ＝1
5
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝
2
5cos A sin B ＝
1
5
⇒tan A
tan B ＝2.
所以tan A ＝2tan B .
(2)因为π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35
，
所以tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3
4.
将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得 2tan 2
B －4tan B －1＝0，
解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋6
2.
所以tan A ＝2tan B ＝2＋ 6. 设AB 边上的高为CD ，
则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD
2＋6
，
由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6. 所以AB 边上的高等于2＋ 6.。