高一数学典型例题分析充分条件与必要条件

生命是永恒不断的创造,由于在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来.
--- 泰戈尔
充分条件与必要条件•典型例题
水平素质
例1 p: x1, x2是方程x2+5x—6= 0的两根,q: x1 + x2=—5,那么p是
q的
[]
A .充分但不必要条件
B .必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析利用韦达定理转换.
解 .「x1, x2是方程x2+5x—6 = 0的两根,
x1, x2的值分别为1, — 6,
. . x1 + x2 =1 — 6 = — 5.
说明p= q.
但q导p,事实上只要取旃21叼=-3作为反例即可说明这一点.
因此选A.
说明：判断命题为假命题可以通过举反例.
例2 p是q的充要条件的是
[]
A. p： 3x+2>5, q： -2x-3>-5
B. p： a>2, bv2, q： a>b
C. p：四边形的两条对角线互相垂直平分, q：四边形是正方形
D. p： aw0, q：关于x的方程ax=1有惟一解
分析逐个验证命题是否等价.
解对A . p: x>1, q ： x< 1,所以,p是q的既不充分也不必要条件；
对B. p=q但q= p, p是q的充分非必要条件；
对C. p\>q且q= p, p是q的必要非充分条件；
XtD. p q且q p,即p q, p是q的充要条件.选D .
说明：当a= 0时,ax= 0有无数个解.
例3假设A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,那么D是A成立的
[]
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析通过B、C作为桥梁联系A、D.
解 ..力是B的充分条件,... A = B①
D是C成立的必要条件,,c n D②
.•.C是B成立的充要条件,C B③
由①③得A=C④
由②④得A=D.
,D是A成立的必要条件.选 B.
说明：要注意利用推出符号的传递性.
例4 设命题甲为：0VXV5,命题乙为|x—2|<3,那么甲是乙的
[]
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析先解不等式再判定.
解解不等式|x—2|<3得一1 vxv 5.
「0 v x v 5= — 1 vxv 5,但一1vxv510V x<5
,甲是乙的充分不必要条件,选 A.
说明：一般情况下,如果条件甲为xCA,条件乙为xCB.
当且仅当A B时,甲为乙的充分条件；
当且仅当A B时,甲为乙的必要条件；
当且仅当A = B时,甲为乙的充要条件.
例5 设A、B、C三个集合,为使A^=(B U C),条件A§^B是
[]
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.
解V 而B 匚0 U C),
••.A^(B U C).
但是,当 B = N, C=R, A=Z 时,
显然A频(BU C),但A聂B不成立,
综上所述：“A^B〞 = “A^(B U C)〞,而
“A 或BUC)〞节“A^B〞.
即“A^B〞是“A呈(B U C)〞的充分条件(不必'要).选A.
说明：画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.
例6给出以下各组条件：
(1)p : ab= 0, q： a2+b2=0;
(2)p： xy>0, q： |x|十|y|=|x+y|;
A. 0V a< 1
B. a<1
(3)p : m>0, q ：方程 x2—x —m = 0 有实根； (4)p ： |x- 1|>2, q ： xv — 1. 其中p 是q 的充要条件的有
[
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
分析使用方程理论和不等式性质. 解(1)p 是q 的必要条件 (2)p 是q 充要条件 (3)p 是q 的充分条件
(4)p 是q 的必要条件.选 A .
说明：ab=0指其中至少有一个为零,而
a 2+
b 2=0指两个都为零.
x 1 3 x 1 x 2
6 例7
1
是12 的 条件.
x 2
> 3 x 1x 2
> 9
----------------
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.
解 x 1>3M x 2>3 x 1 + x 2>6且x 1x 2>9,但当取 x 1 = 10, x 2
= 2时,
x1 x 2>6 , _ x1 >3 , , 一一 ~ 一〃、八
1 2 成立,而 1 不成立(x 2 = 2与x 2>3矛盾),所以填 充分不 x 1x 2
>9 x 2
>3
必要〞.
(x 「3)+仅2 —3)>0 (x 1一 3)(x 2 —3)>0 x 1 + x 2 > 6
x 1x 2
— 3(x 1 + x 2
) + 9> 0
点击思维
例 8 真命题 " a>b=c>d 〞 和“ av b=>e<f",那么 “ gd 〞 是 “ ewf 〞 的 条件. 分析 .「a>b = c>d (原命题), cw d =>av b(逆否命题). 而 a< b — e< f,
cw d = ew f 即c< d 是ew f 的充分条件. 答填写“充分〞.
说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.
例9 ax 2+2x+ 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是
说明:
x 1>3 x 2
> 3
x 1 -3>0 x 2-3>0
这一等价变形方法有时会用得上.
C. a<1
D. 0vaw 1 或a<0
分析此题假设采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除法解之.
当a= 1时,方程有负根x=-1,当a= 0时,x =
1
——.故排除A、B、D选C.
2
1
解常规方法：当a=0时,x=--.
2
当aw 0时
1. a>0,那么ax2+2x+1 = 0至少有一个负实根—2———4a < 0
2a
2j'1 —a <2 0<a< 1.
2. a<0,那么ax2+ 2x+1 = 0至少有一个负实根2 '4一4a < 0
2a
2>211—a> 2 1-a>1 a< 0.
综上所述a< 1.
即ax2+ 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是a< 1.
说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.
例10p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,
那么s, r, p分别是q的什么条件？
分析画出关系图1 — 21,观察求解.
图1-21
解s是q的充要条件；(s=r=,q, q=s)
r是q的充要条件；(r=q, q=s=r)
p是q的必要条件；(q = s= r=-p)
说明：图可以画的随意一些,关键要表达各个条件、命题之间的逻辑关系. 例11关于x的不等式
(a 1)2(a 1)2
|x -
2尸2与x — 3(a+1)x + 2(3a+1) 00的解集依次为A 与B,问“ A B〞是“ 1&a& 3或2= — 1〞的充要条件吗?
分析化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a.
解A={x|2a<x<a2+1}, B = {x|(x - 2)[x- (3a+ 1)] < 0}
, … 1 ,
当2032+1即2) 一时, 3
B = {x|2<x<3a+1}.
2aA 2
,
* 1 ,
当 2>3a+ 1 即a< —时,
3
B = {x|3a + 1WxW2}
2aA 3a+1 A B 2
a=T.
a +1 < 2
综上所述：A B a= - 1或1Wa03.
：“A B 〞是“ 102&3或2= — 1〞的充要条件.
说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要 理清思路,表达准确,推理无误.
学科渗透
一
一 1 1 ,,
例12 x >y, xy> 0是一 < 一的必要条件还是充分条件,还是充 x y
要条件？
分析将充要条件和不等式同解变形相联系.
解1,当1 <3时,可得 1 —」< 0即x < 0
x y x y xy
xy<0 xy>0,
日门 x<y — x>y
即 一或、八
xy< 0 xy>0,
一 1 1 故一< 一不能推得x> y 且xy>0〔有可能得到 x y
、…1 1 ,, 一一
>0并非-< 一的必要条件.
x y
x>y x>y
2.当x>y 且xy>0那么分成两种情况讨论：
x>0或x< 0 y>0 y< 0
1
1
不管哪一种情况均可化为一< 一.
x y
一 一 1 1 ,,
x>y 且xy>0是一 <一的充分条件.
a 2
+ 1 w 3a + 1
1<a< 3
y- x>0
或 y — x< 0 x< y ),
xy<0 即x>y 且xy
x y
说明：分类讨论要做到不重不漏.
例13 设“,3是方程x2—ax+b=0的两个实根,试分析a> 2且b>1是两根〞,3均大于1的什么条件？
分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系,解题时需
要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是p q还是q p还是
p q-
a>2
解据韦达止理得：a= a + B , b= a B ,判止的条件是p：
b>1
一、… a >1 ___ _ , , 一一、“一,、- 9
结论是q: B还要注息条件p中,a, b需要湎足大刖提A=a —4b
>0)
a > 1
⑴由0>[得2=0€ + B> 2, b= a B > 1,
• ・ q=p.
(2)为了证实P]q,可以举出反例,取口=4, p=；,它满足软二
Q +0= 4+J>2. = 2>1,但q 不成立.
U U
上述讨论可知：a>2, b>1是a> 1, 3 > 1的必要但不充分条件.
说明：此题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.
tWj考巡礼
例14设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件, 丙是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件,那么
[]
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
分析1：由丙二•乙二甲且乙%丙,即丙是甲的充分不必要条件.
分析2:画图观察之.
答：选A.
说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比拟方便。