2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一(普通班)上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一(普通班)上
学期期末数学试题
一、单选题
1．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( ) A ．(－2,0)∪(0,2) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2,0)∪(2，＋∞)
【答案】A
【解析】因为f(x)为奇函数，且f(－2)＝0，所以f(2)＝0. 作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：
当－2<x<0时，f(x)>0，所以xf(x)<0； 当0<x<2时，f(x)<0，所以xf(x)<0.
故不等式xf(x)<0的解集为(－2,0)∪(0,2)，故选A.
2．已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且不等式
1212
()()
0f x f x x x ->-对任
意两个不相等的正实数1x ，2x 都成立，在下列不等式中，正确的是( ) A ．()()53f f -> B ．()()53f f -<
C ．(3)(5)f f ->-
D ．(3)(5)f f -<-
【答案】C
【解析】根据不等式
1212
()()
0f x f x x x ->-对任意两个不相等的正实数1x ，2x 都成立，得到()f x 在区间(,0)-∞、(0,)+∞单调递增，从而求出答案． 【详解】
解；Q 对任意正实数1x 、212()x x x ≠，
恒有不等式
1212
()()
0f x f x x x ->-， ()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
()f x ∴在区间(,0)-∞、(0,)+∞单调递增，
(3)(5)f f ∴->-，
故选：C ． 【点睛】
考查函数的单调性的定义及应用定义比较函数值的大小，属于基础题．
3．已知函数f (x )＝21,2
(3),2x x f x x ⎧+≥⎨+<⎩
则f (1)－f (3)等于( )
A ．－7
B ．－2
C ．7
D ．27
【答案】C
【解析】根据函数解析式，分别求得()1f 、()3f 的函数值，再作差就可以. 【详解】
依题意()()2
144117f f ==+=，()2
33110f =+=，所以()()137f f -=，选C.
【点睛】
本小题考查分段函数求值问题.对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求.属于基础题.
4．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()A B C ⊆U ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}|21m m -≤≤
B ．1|12m m ⎧⎫
-≤≤⎨
⎬⎩⎭
C ．1|12m m ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．11|24m m ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
【答案】B
【解析】求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论． 【详解】
由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，
①m ＜0，x 1m -
＜，∴1
m -≥2，∴m 12≥-，∴12-≤m ＜0； ②m ＝0时，C ＝R,成立； ③m ＞0，x 1m -＞，∴1
m
-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1， 综上所述，1
2
-≤m ≤1， 故选：B ． 【点睛】
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
5． 奇函数)(x f y =在区间［3,7］上是增函数，且最小值为-5，那么)(x f 在区间［-7，-3］
（A ）是增函数且最小值为5 （B ）是增函数且最大值为5 （C ）是减函数且最小值为5 （D ）是减函数且最大值为5 【答案】B
【解析】本题考查奇函数的性质,函数的单调性和最值.
函数()y f x =是奇函数，在[,]a b 上是增函数，则在[,]b a --上也是增函数； 因为奇函数()y f x =在区间［3,7］上是增函数，且最小值为-5，即(3)5;f =-所以函数()y f x =在区间[7,3]--上也是增函数，则[7,3]x ∈--时，
()(3)(3)5;f x f f ≤-=-=即函数()y f x =在区间[7,3]--上的最大值是5.故选B
6．已知函数())
()1ln
31,.lg2lg 2f x x f f ⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
则
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】D
【解析】试题分析：设
lg2a =，则
1
lg
ln22
a =-=-，
()())
ln
31f a f a a +-=++
()
22
ln 31ln 1992ln122a a a ⎫+=+-+=+=⎪⎭
，所以
()1lg2lg 22f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，所以答案为D.
【考点】1.对数函数的运算律；2.换元法.
7．已知函数，且，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】试题分析：
或
【考点】函数求值
8．若函数f (x )在定义域{x |x ∈R 且x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )
A ．一个
B ．两个
C ．至少两个
D ．无法判断 【答案】B
【解析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数零点的个数即可. 【详解】
f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f (x )是偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2. 因此函数f (x )有两个零点－2与2. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．函数()()
2
ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】【详解】
由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A. 【考点定位】
对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.
102sin x ≥0成立的x 的取值集合是( )
A ．3|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨
⎬⎩⎭
B ．7|22,4
4x k x k k Z π
πππ⎧
⎫+
≤≤+
∈⎨⎬⎩
⎭
C ．5|22,44x k x k k Z ππππ⎧
⎫-
≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭ D ．57|22,44x k x k k Z ππππ⎧
⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
【答案】C
【解析】首先对三角不等式进行恒等变换，变换成sin x 2
≤，进一步利用单位圆求解．
【详解】
2sin x ≥0
解得：sin x 2
≤
进一步利用单位圆解得：52244
k x k ππ
ππ-≤≤+（k ∈Z ） 故选C ． 【点睛】
本题考查的知识要点：利用单位元解三角不等式，特殊角的三角函数值． 11．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D
【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；
∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝
0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上不单调，
故D 错误． 故选D.
12．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,2
A π
ϕ><
）的图象如图所示，为了得到
()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 图象（ ）
A ．向右平移
4
π
个单位长度 B ．向左平移
4
π
个单位长度 C ．向右平移12
π
个单位长度 D ．向左平移12
π
个单位长度
【答案】C
【解析】根据函数()f x 的图象求得1,3,4
A π
ωϕ===，再根据左加右减平移变换，
要得到()g x 的解析式，观察出如何进行平移变换. 【详解】
由题意得：1A =，
5223412463T T πππππωω
=-=⇒==⇒=， 所以()()sin 3f x x ϕ=+， 所以5553sin 312,121242f k k Z ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⇒+=+∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，
所以()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象向右平移12π
个单位长度可得： ()sin 3()sin 3()124f x x x g x ππ⎛
⎫=-+== ⎪⎝
⎭.
故选：C. 【点睛】
本题考查从三角函数图象提取信息求,,A ωϕ的值，考查“左加右减”平移变换，求解过程中注意是由函数()f x 平移变换到函数()g x ，考查数形结合思想的运用.
二、填空题
13． 函数sin()y x =+π在[,2
π
-π]上的递增区间为 . 【答案】[,2
ππ]
【解析】解：因为sin()sin =+π=-y x x ，结合图像可知在给定范围内的增区间为
[,2
ππ] 14．设函数f (x )＝log 32
x x
+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．
【答案】()3log 2,1
【解析】根据函数()f x 在区间(1,2)内是减函数，且在区间(1,2)内有零点，可得
()()120f f <，解此不等式组求得实数a 的取值范围．
【详解】
解：Q 函数3322
()log log (1)x f x a a x x
+=-=+- 在区间(1,2)内是减函数， 函数3
2
()log x f x a x
+=-在区间(1,2)内有零点， ()()120f f ∴<，即3(1)(log 2)0a a --<， 3log 21a ∴<<，即()3log 2,1a ∈
故答案为：()3log 2,1 【点睛】
本题考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
15．设U R =，集合2
{|320}A x x x =++=， ()2
{|10}B x x m x m =+++=，若
()U A B ⋂=∅n ，则m =__________．
【答案】1或2
【解析】{|21}A x x x ==-=-或，
解方程()2
10x m x m +++=可得1x x m =-=-或
因为()U A B ∅⋂=n ，所以ÍB A ， 当1m -=-即m =1时，满足题意；
当2m -=-，即m =2时，满足题意，故m =1或2.
16．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________． 【答案】15- 【解析】【详解】
∵函数f （x ）在[3，7]上是增函数，
在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1， ∴函数f （x ）在[﹣6，﹣3]上也是增函数，
区间[﹣6，﹣3]上的最大值为f （﹣3）＝1，最小值为f （﹣6）＝﹣8， ∴2f （﹣6）+f （﹣3）＝-15, 故答案为﹣15.
三、解答题
17．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －x 2，求y ＝f (x )的解析式．
【答案】f (x )＝22
2,0,
2,0.x x x x x x ⎧+≤⎨->⎩
. 【解析】直接根据奇函数的性质()()f x f x -=-，求出0x <时对应的解析式以及
(0)0f =即可求出函数()y f x =的解析式．
【详解】
解：()y f x =是定义在R 上的奇函数
()()f x f x ∴-=-，
(0)0f ∴=．
设0x <时，则0x ->，
因为当0x >时，2
()2f x x x =-
所以：22()2()()2()f x x x x x f x -=---=--=- 即0x <时2
()2f x x x =+，
当0x =时，2
()2f x x x =+也成立，
∴22
2,0.
()2,0.
x x x f x x x x ⎧->=⎨+⎩… 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题．
18．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－
【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.
(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.
(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，
由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．
19．将函数2()log (1)=+f x x 的图象向左平移1个单位，再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象．
（1）求函数()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()y F x f x g x ==--的最大值． 【答案】(1) 函数g (x )＝2log 2(x ＋2)，且x >－2；(2)－3.
【解析】（1）根据函数的图象的平移变换和伸缩变换规律求得函数()g x 的解析式． （2）根据函数2
2()(2)x y F x log x ==+，()0,x ∈+∞，令
2
()(2)x
u x x =+，()0,x ∈+∞，则利用基本不等式求得u 的最大值为1
8
，再由2()log F x u = 在(0,)+∞上是增函数，求得函数()y F x =的最大值． 【详解】
解：（1）将函数2()log (1)=+f x x 的图象向左平移1个单位，可得函数2log (2)y x =+的图象，
再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数22log (2)y x =+的图象，
故函数2()2log (2)g x x =+，且2x >-．
（2）函数222
2
()(1)()log ()2log (2)(2)x
y F x f x g x x x log x ==--=-+=+，
()0,x ∈+∞．令2
()(2)x u x x =+，()0,x ∈+∞，则211
44484x u x x x x
==++++…
，当且
仅当2x =时取等号．
故2()log F x u =，由于2()log F x u = 在(0,)+∞上是增函数， 故当2x =时，即18u =时，函数2()log y F x u ==取得最大值为21
38
log =-． 【点睛】
本题主要考查函数的图象的平移变换和伸缩变换，基本不等式的应用，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题． 20．已知
（1）求
的值；
（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；
（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.
试题解析：（1）∵∴2分 解之得4分 （2）∵是第三象限的角 ∴=6分 =
==10分
由第（1）问可知：原式＝＝12分 【考点】三角函数同角关系式.
21．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<
2π)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为2
π，且图象关于点M (－8π，0)对称． (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )的单调区间；
(3)求不等式－1≤f (x 3
【答案】（1）()tan 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，无单调递减区间．（3）,42242k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈ 【解析】（1）根据函数图象与x 轴相邻两个交点的距离为
2π，得到2T π=，即可求出ω，再根据函数的对称中心求出ϕ，即可得到函数解析式.
（2）根据正切函数的单调性解答.
（3）由（1）中函数解析式，函数的单调性及特殊值的函数值解答.
【详解】
解：（1）由题意知，函数()f x 的最小正周期为2T π=
， 即2
T ππω==.
因为0>ω，所以2ω=，
从而()()tan 2f x x ϕ=+．
因为函数()y f x =的图象关于点,08M π⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称， 所以282k ππϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭
，k Z ∈， 即24
k ππϕ=+，k Z ∈. 因为02π
ϕ<<，所以4π
ϕ=，
故()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． （2）令2242k x k πππππ-
+<+<+，k Z ∈ 解得3244
k x k ππππ-+<<+，k Z ∈ 即38282
k k x ππππ-+<<+，k Z ∈ 所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，无单调递减区间． （3）由（1）知，()tan 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
．
由1tan 24x π⎛⎫-≤+
≤ ⎪⎝⎭得2443
k x k πππππ-+≤+≤
+，k Z ∈ 即42242k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈
所以不等式()1f x -≤≤的解集为,42242k k ππππ⎡⎤-
++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】
本题考查正切函数的周期性，单调性，对称性，属于基础题.
22．如下图，()()sin 2f x A x ωϕ=+（0>ω，0A >02π
ϕ-<<）.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)求函数()f x 在,2ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域.
【答案】(1) f (x )＝2sin(2x －6
π)；(2) [－1,2]. 【解析】（1）利用最高点可求A ，利用周期求出ω，()0,1-代入，
求出ϕ，可得函数()f x 的解析式；
（2）根据x 的取值范围，求出26x π-
的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】
解：（1）由题知2A =，423312T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由周期公式得22T ππω==， 1ω∴=，
()()2sin 2f x x ϕ∴=+
又∵()f x 的图象过()0,1-，
∴2sin 1ϕ∴=-，
又∵02
π
ϕ-<<， 6π
ϕ∴=-
. ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝
⎭ （2）,2x ππ⎡
⎤∈--⎢⎥⎣⎦Q ，
1372,666x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦ []2sin 21,26x π⎛⎫∴-∈- ⎪⎝
⎭，
∴函数()f x 在,2ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦上的值域为[]1,2-. 【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。