有理数知识点过关

1、有理数的概念和分类 姓名：__________ 概念：整数和分数统称为有理数 ★分类：
①按定义分类 ②按性质分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零
正分数正整数正有理数有理数
★正数的字母表示:a ＞0 负数的字母表示方法：a ＜0 ★非负数的字母表示：a ≥0 非正数的字母表示：a ≤0
2、数轴
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。

3、相反数
★几何意义：数轴上在原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的两个数，它们互为相反数。

★求一个相反数的方法：一般的，求一个数的相反数，只要在这个数前面加上一个“－”号，就表示这个数的相反数。

例如：m 的相反数就是－m 。

m 为正数，－m 就为负数；m 为负数，－m 就为正数。

【正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0】 ★相反数的一些重要性质：
互为相反数的两个数和为0，反之，如果两个数的和为0，那么这两个数一定互为相反数。

除0外，互为相反数的两个数商为－1
互为相反数的两个数同时乘或除以同一个不为0的数，仍互为相反数
③对于三个有理数a,b,c ，若a ＞b, b ＞c,则a ＞c 4利用数轴比较有理数的大小： ★法则：
①数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。

②由正数、负数在数轴上的位置可知：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

5、绝对值的几何意义：
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“|a|” 6、绝对值的代数意义：
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
7、绝对值的求法：
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)
0a (a )0a (0)
0a (a a 或 ⎩⎨
⎧<-≥=)0a (a )0a (a
a 8、去绝对值时常用的几个特殊形式 a+
b 的相反数是－(a+b ）或－a －b a －b 的相反数是b －a
9、利用绝对值比较有理数的大小
① 如果是两个正数，容易得到大小关系 ② 如果是一正一负，则正数大于负数 ③ 如果是两个负数，则绝对值大的反而小 ④如果是正数和0，则正数大于0 ⑤如果是负数和0，则负数小于0
10、绝对值性质的推广：
①对于任意有理数a,都有|a |≥0 ②若|a |=0，则a=0
③若|a |=|b |,则a=b, 或a=—b ④若|a |=b ，则a =±b ⑤若|a |+|b |=0，则a=0且b=0 ⑥对任意有理数a ，都有|a |=|－a | ⑦|a 2|=|a|2= a 2 ⑧|ab |=|a |·|b |,|a b
|=|
|||a b ( b ≠0)
有理数的运算 有理数的加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

即：若a ＞0，b ＞0,则a+b=＋(|a|+|b|）
若a ＜0，b ＜0,则a+b=－(|a|+|b|） ②异号两数相加
异号两数相加，绝对值相等时，和为0. 绝对值不等时，取绝对值大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加，仍得这个数。

有理数相加的一般步骤：
① 确定符号 ② 选择绝对值是加还是减 加法运算律
加法结合律：a+b=b+a 加法交换律：(a+b)+c=a+(b+c) 多个有理数相加的技巧
① 凑整凑零 ② 同号集中 ③ 同分母结合 ④ 带分数拆开 有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数减法运算的步骤： ①变减号：把减号变加号
②变减数：把减数的相反数变成加数 ③用加法：利用加法法则进行计算 注意事项：
①利用有理数减法法则进行计算时，应注意减数是什么。

例：式子5—7=－2中，减数是7；在－5－(－7）中，减数是－7
②在多个有理数的减法中要分清哪些是性质符号，哪些是
运算符号
一个数减去0，仍得这个数；而0减去一个数，则得这个数的相反数. 加减混合运算 代数和的读法：
★读法一：按照运算意义读：如﹣10﹣6﹣5﹢1读作“负10减6减5加1”
★读法二：按照代数和的意义读：如如﹣10﹣6﹣5﹢1读作“负10，负6 ，负5， 正1的和” ★加减混合运算中的两个关键点:
① 在交换加数的位置时，要连前面的符号一起交换。

② 计算时，先把正数负数分别相加。

★加减混合运算分组的原则： ① 互为相反数的两个数先结合 ② 能凑成整数的数先结合 ③ 同号各数先结合
④ 同分母或易通分的数先结合 第六讲：水位的变化
★警戒水位：指江河湖水普遍漫滩或水位上涨造成重要堤防很有可能出现险情的水位，到了这个水位就要加强警戒。

★最高水位：指在江河、湖泊的某一地点，经过长期对水位的观测后，得出的最高水位值。

★最低水位：指江河、湖泊的某一地点，经过长期对水位的观测后，得出的最低水位值。

★平均水位:指每年水位的平均值。

注意:在观测水位时，通常选取一个水位为0点，超出这个水位记为正，低于这个水位记为负。

有理数乘除法
1、有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 （2）任何数字同0相乘，都得0. 例;0×1=0 （3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个数时，积为正。

并把其绝对值相乘。

例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)的积为正数，而（-4）×（-7）×(-25）的积为负数
（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0. 例：3×（-2）×0=0 有理数乘法运算步骤：
①一看：先看因数中有没有0，其次看各因数的符号； ②二判：确定积的符号；③三求：求出积的绝对值 2、有理数除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：0没有倒数）
（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做除数。

3、倒数：
乘积为1的两个数互为倒数，即ab=1,则a 、b 互为倒数(1)倒数是两个数之间的关系 (2)0没有倒数
求倒数的方法：若a ≠0，则a 的倒数是a 1；一个非0数
的倒数与这个数的符号相同。

乘方性质：
正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂都是负的，偶次幂都是正数 0的任何正整数次幂都等于0
任何数的偶次幂都是非负数【绝对值也具有非负性】 任何非零数的零次方都等于1 注意要点：
注意运算顺利，分清底数
如：4)2(-与42-是不同的。

前者是(-2)的四次幂，而后者是2的四次幂的相反数。

7、绝对值等于它本身的是:_________ 相反数等于它本身的是:_________ 倒 数等于它本身的是:_________ 平 方等于它本身的是:_________ 立 方等于它本身的是:_________
偶数：2n 奇数：2n+1或2n-1 （n 为正整数）
1)1(n 2=- 1)1(1n 2-=-+ 1)1(1n 2-=--
4、乘方的符号法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。

5、底数为-1，0，1的幂的特征 ①-1偶次幂是1，奇次幂是-1
②n
0=1（n 为正整数），即：
③0 的任何正整数次幂都是0.
④n
1=1，即：1的任何次幂仍然是都是1
6、底数为10 的幂（
n
10）的特征
当指数是正整数n 时，其幂的值等于在1后面加上n 个零，是一个n+1位数，如：1
10=10，2
10=100，3
10=1000，……
有理数混合运算的运算顺序
① 先算乘方，再算乘除，最后算加减。

② 同级运算，按从左到右的顺序进行
③ 如果有括号，则先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的
⎩⎨
⎧-=-为奇数）
为偶数）
n n (1(1)1(n。