不等式整章复习课件

综合法 分析法
不 等
其他证明方法
式
一元一次和一元
不等式的解法 二次不等式
作商比较法 反证法 换元法 放缩法
分式不等式 指数和对数不等式
不等式的应用
求最值 解实际应用题
2020年8月14日星期五 14:07:17
实数的运算性质：a-b>0 a>b
a-b<0
a<b
a-b=0
a=b
不等式的基本性质： ①对称性： a>b ②传递性： a>b,b>c ③可加性： a>b ④加法法则： a>b,c>d ⑤可乘性： a>b,c>0
作商比较法的原理及步骤： a, b R a b a 1 b a b a 1 b a b a 1 b
步骤：作商——变形（化简）——判断 （差值与实数1的大小关系）——得出结论
2020年8月14日星期五 14:07:17
不等式的性质
不等式的基本性质
绝对值og2 x log2 x 2 2
5
注意:各项必须为正数 一不正,常用a b 2 ab(a 0,b 0)
正解: 0 x 当且仅当log2
x
1log2 x 0 5 ,即x
log2 x
①a,b∈R,a2 +b2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
②a,b是正数, a b ab (当且仅当a=b时取”=“号) 2
2.上面两个重要不等式有如下变形及推广:
(1)ab a2 b2 (a R,b R) (2)ab ( a b)2 (a 0,b 0)
2
2
(3) b a 2(a,b同号) (4)a b 2 ab(a 0,b 0)
(4) a b a2 b2 ( ×) (9) a b,c d ac bd ( ×)
(5) a b a b ( √ )
c2 c2
(10)
a
b
0, c
d
0
a c
b d
( ×)
3、已知 2 a b 3,2 c 0, 求 c(a b) 的取值范
围.
复习二：
1. 基本不等式,均值不等式:
-a<x<a. (a>0); x>a或x<-a. (a>0)
(3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
a （4）绝对值的定义 | a | 0
a
(当a 0时) (当a 0时) (当a 0时)
（5）实数乘法与除法绝对值的性质
|ab|=|a|·|b|，
a | a | (b 0) b |b|
ab
(5)a b 2 ab(a 0,b 0)
推广 : a b c 3 abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
3
当a1,a2, … ,an是正数时
a1 a2 n
an n a1a2
an
(当且仅当a1=a2= =an时取" "号)
利用均值不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
3x
2
12 3x 12 x
二定
当且仅当 12 3x即x 2 时取等号,
即当x=2时x函数的最小值为12.
三相等
利用均值不等式求函数最值的步骤:
典型错解举例：
一正,二定,三相等
5 例1、求函数 f (x) 2 log2 x log2 x (0 x 1)
的范围.
错解!
5 f (x) 2 log2 x log2 x 2 2
一正,二定,三相等
利用均值不等式求函数最值的步骤: 一正,二定,三相等
练习1)若x>0,f(x)= 12 3x的最小值为___1_2___;此时x=__2_____
x
若x<0,f(x)= 12 3x的最大值为__-_1_2___;此时x=__-_2____.
一正 x
解:因为x>0,
f (x)
12 x
a>b,c<0
b<a; a>c;
a+c>b+c; a+c>b+d; ac>bc; ac<bc;
2020年8月14日星期五 14:07:17
⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ⑦倒数法则：a>b,ab>0 ⑧乘方法则：a>b>0 ⑨开方法则：a>b>0
ac>bd;
1
a
1 b
;
an>bn;
n an b ;
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。
基本性质练习
1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假
①c－b＞c－a，那么b＞a
（× ）
②a＞b＞0，则 1 1 ab
（× ）
③a＞b，则ac＞bc ④ac2＞bc2，则a＞b
（× ） （ √）
⑤a＞b， 1 1 ab
则a＞0，b＜0 （ √）
不 等 式 复 习(一）
2020年8月14日星期五 14:07:17
《不等式》知识结构
均值不等式
不
实 数与
不
的大
等
不 等
等
运小
式
不等式证明
式
式
算顺 性序 质
性 质
应 用
不等式解法
两实数比较大小
2020年8月14日星期五 14:07:17
作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——判断 （差值 与0的大小）——得出结论
例1，已知c>a>b>0，求证：
a ca
b cb
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手， 以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
a>b>0
-a<-b<0
0<c-a<c-b
1 ca
1 cb
0
ab0
a ca
b cb
2020年8月14日星期五 14:07:17
⑩绝对值不等式的性质：
(1)|x|<a (2)|x|>a
2020年8月14日星期五 14:07:17
重点内容
不等式的主要性质有： ①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、 a b,c R ，a+c＞b+c ③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
a＞b， c 0 ，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a＞b＞0 那么 n a n b（条件n N, n 2） ⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
⑥a＜b＜0，则|a|＞|b|
（ √）
2、判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c ( × ) (6) a2 b2 a b (× )
(2) a b c a c b (√ ) (3) a b a2 b2 (√ )
(7) a b a2 b2 (× ) (8) a b ac2 bc2 ( ×)