安徽省合肥市庐阳区第六中学2020-2021学年高二上学期期中数学(理)试题

安徽省合肥市庐阳区第六中学2020-2021学年高二上学期期
中数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于平面yoz 对称的点的坐标为（ ） A ．(1,2,3)-- B ．(1,2,3)--- C ．(1,2,3) D ．(1,2,3)- 2．下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）
A ．三棱柱的底面为三角形
B ．一个棱柱至少有五个面
C ．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D ．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
3．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度为（ ）
A B C D 4．若圆22240+-++=x y x y m 截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为（ ）
A ．-31
B ．-4
C ．-2
D ．-1
5．如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中2O A ''=，1O C ''=，30A O C '''∠=︒.则下列叙述正确的是（ ）
A ．原图形是正方形
B ．原图形是非正方形的菱形
C ．原图形的面积是
D ．原图形的面积是6．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ①若//,m n n α⊂则//m α;②若,//m n αα⊥则m n ⊥;
③若//,//m n αα,则//m n ;④若,m m αβ⊥⊥则//αβ
A ．①②④
B ．②③
C ．①④
D ．②④
7．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．
交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．()
(),15,-∞-+∞ B ．(][),15,-∞-⋃+∞ C ．()
1,5- D ．[]1,5- 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面ABCD 为矩形，棱//EF AB .若此几何体中，4AB =，2EF =，
ADE ∆和BCF ∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．8+
C ．
D ．8+9．在三棱柱111ABC A B C -中，1132AB AC AA ===，23
BAC π∠=，1AA ⊥平面ABC ，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．36π B ．48π
C ．72π
D ．108π
10．已知a ，b 是异面直线，给出下列结论：
①一定存在平面α，使直线b ⊥平面α，直线//a 平面α；
②一定存在平面α，使直线//b 平面α，直线//a 平面α；
③一定存在无数个平面α，使直线b 与平面α交于一个定点，且直线//a 平面α. 则所有正确结论的序号为（ ）
A ．②③
B ．①③
C ．①②
D ．①②③
11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx -y +4=0与直线l 2：x +ky -3=0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线4x -3y +10=0的距离的最大值为（ ）
A ．2
B ．92
C ．112
D ．74
12．已知矩形ABCD ，2AB =，BC x =，将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）．
A ．当1x =时，存在某个位置，使得A
B CD ⊥
B
．当x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥
C ．当4x =时，存在某个位置，使得AB C
D ⊥
D ．0x ∀>时，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥
二、填空题
13．命题“2x ∀>，都有3x >成立”的否定是______
14．过点()1,3P 且与圆22230x y x ++-=相切的直线方程为______
15．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是______.
16．在平面直角坐标系xOy 中，过点()5,P a -作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线，切点分别为()11,M x y 、()22,N x y ，且
21122112
20y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是______.
三、解答题
17．（1）求证：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=
的距离为：d =；
（2）在x 轴上求一点P ，使以点()1,2A ，()3,4B 和P 为顶点的三角形的面积为10. 18．己知直线2x ﹣y ﹣1=0与直线x ﹣2y +1=0交于点P ．
（Ⅰ）求过点P 且平行于直线3x +4y ﹣15=0的直线1l 的方程；（结果写成直线方程的一般式）
（Ⅱ）求过点P 并且在两坐标轴上截距相等的直线2l 方程（结果写成直线方程的一般式）
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，底面为正三角形，
1AB AA =，D 是BC 的中点，P 是1CC 的中点.求证：
（1）1//A B 平面1AC D ；
（2）1B P ⊥平面1AC D .
20．已知直线l ：()()()211740m x m y m m R +++--=∈，圆C ：
2224200x y x y +---=.
（1）求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交于两点；
（2）当直线l 被圆C 截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时m 的值.
21．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，//BE FC ，
90EBC FEC ∠=∠=︒，AD =，2EF =.
（1）求证：//AE 平面DCF ；
（2）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60°
. 22．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲
线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
纵竖坐标不变，横坐标变为相反数．
【详解】
点(1,2,3)P -关于平面yoz 对称的点的坐标为(1,2,3)．
故选C ．
【点睛】
本题考查空间直角坐标系，属于基础题．
2．D
【分析】
根据棱柱的概念逐一判断选择.
【详解】
三棱柱的底面为三角形，所以A 正确；
因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B 正确；
五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C 正确；
若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D 错误；
故选：D
【点睛】
本题考查棱柱的概念，考查基本分析判断能力，属基础题.
3．C
【分析】
先还原几何体，再确定最长的侧棱长.
【详解】
还原几何体为：其中1,2,1,1PA AB AD CD ====,因此PD PC PB =
==，
故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及四棱锥棱长，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．B
【分析】
先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果.
【详解】
2222240(1)(2)5x y x y m x y m +-++=∴-++=-
因为圆22240+-++=x y x y m 截直线30x y --=所得弦长为6，
所以2265()42m m -=+∴=- 故选：B
【点睛】
本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
【分析】
先还原平面图形，再根据图形数量确定形状以及面积.
【详解】
还原平面图形为平行四边形OABC ，2OA CB ==,,OA CB
之间距离为1sin 62sin(π)4ππ⨯⨯=-
3120,O A O C C OC OA ''=∴>>''∠=︒=',所以平面图形为
非菱形的平行四边形，因此原图形的面积是
故选：D
【点睛】
本题考查直观图及其相关计算，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．D
【分析】
根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.
【详解】
①当,m n 都在平面α内时，显然不成立，故错误；②因为//n α，则过n 的平面与平面α的交线必然与n 平行；又因为m α⊥，所以m 垂直于平面α内的所有直线，所以m ⊥交线，又因为//n 交线，则m n ⊥，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确； 故选：D.
【点睛】
本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明.
7．A
【分析】
根据图象以及斜率公式确定直线l 的斜率k 的取值范围.
【详解】
如图，要使直线l 以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．
交点，则PA k k >或PB k k <,因为23255,11214
PA PB k k +-====--+-+，所以直线l 的斜率k 的取值范围是()(),15,-∞-+∞；
故选：A
【点睛】
本题考查斜率公式以及直线交点，考查基本分析判断求解能力，属基础题.
8．B
【分析】
利用勾股定理求出梯形ABFE 的高，再计算出各个面的面积，相加可得出该几何体的表面积.
【详解】
过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，
过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ .
ADE ∆和BCF ∆都是边长为2的等边三角形，
()1
12OP AB EF ∴=-=，PF =112
OQ BC ==.
OF ∴=FQ ==，
()1
242ABFE CDEF S S ∴==⨯+=梯形梯形
又4BCF ADE S S ∆∆==
=428ABCD S =⨯=矩形，
∴几何体的表面积2288S ++=+= B.
【点睛】
本题考查多面体表面积计算，解题的关键就是要分析各面的形状，并计算出各个面的面积，考查计算能力，属于中等题. 9．C 【分析】
由题意可知此三棱柱为直三棱柱，直三棱柱求解外接圆可将直三棱柱还原成对应的圆柱，再采用圆柱的外接球半径公式，结合几何关系进行求解即可 【详解】
由题意可知，底面ABC 外接圆的半径3r =，三棱柱的高6h =，外接球的半径
R ===(2
472ππ=.
答案选C 【点睛】
求解直三棱柱的外接球半径一般的方法是：先将直三棱柱还原成对应的圆柱，找出底面圆的半径，再找出高的一半，通过构造直角三角形，求解外接球的半径即可 10．A 【分析】
根据异面直线位置关系作出满足条件图形就可证明②③正确，再举例说明①不正确.
【详解】
因为如果直线b ⊥平面α，直线//a 平面α，则必有b a ⊥，而a ，b 不一定垂直，所以①不正确；
设AB 为a ，b 公垂线段,取AB 中点O ,过作//,//OC a OD b ，因为a ，b 是异面直线，所以,OC OD 为相交直线，则,OC OD 确定平面α，且直线//b 平面α，直线//a 平面α；所以②正确；
设AB 为a ，b 公垂线段, ,A a b B ∈∈，过B 作l a //，过l 作平面α，使直线b 与平面α交于一个定点B ，则直线//a 平面α.此时存在无数个平面α，所以③正确； 故选：A 【点睛】
本题考查异面直线及其相关概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 11．B 【分析】
求得直线l 1，直线l 2，恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P 的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值． 【详解】
解：∵直线l 1：kx -y +4=0与直线l 2：x +ky -3=0的斜率之积：11k k ⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
， ∴直线l 1：kx -y +4=0与直线l 2：x +ky -3=0垂直，
∵直线l 1：kx -y +4=0与直线l 2：x +ky -3=0分别过点M （0，4），N （3，0）， ∴直线l 1：kx -y +4=0与直线l 2：x +ky -3=0的交点P 在以MN 为直径的圆上， 即以C （
32，2）为圆心，半径为5
2
的圆上， 圆心C 到直线4x -3y +10=0的距离为d =
6610
5
-+=2，
则点P 到直线4x -3y +10=0的距离的最大值为d +r =5
2+2=92
． 故选B ． 【点睛】
本题考查直线恒过定点的求法和两直线垂直的条件，以及点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题． 12．C 【解析】
∵BC CD ⊥，∴若存在某个位置，使得直线AB CD ⊥，则CD ⊥平面ABC ，则CD AC ⊥，在Rt ACD △中，2CD =，AD x =，则由直角边小于斜边可知，AD CD >，即2x >，结合选项可知只有选项C 中4x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查翻折问题、线面垂直与线线垂直转换的应用以及空间想象能力，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，本题中，先根据线线垂直得到线面垂直，在根据线面垂直得到线线垂直，从而得到2x >，进而得到结果.
13．02x ∃>，使得3x ≤成立 【分析】
根据全称命题的否定直接写结果. 【详解】
因为,x p ∀的否定为,x p ∃⌝，
所以命题“2x ∀>，都有3x >成立”的否定是：02x ∃>，使得3x ≤成立 故答案为：02x ∃>，使得3x ≤成立 【点睛】
本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．1x =或512310x y -+= 【分析】
先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，利用圆心到直线距离等于半径求解. 【详解】
2222230(1)4x y x x y ++-=∴++=
因为直线1x =到圆心(1,0)-的距离等于2，即半径，所以直线1x =与圆
22230x y x ++-=相切；
当所求切线斜率存在时，设3(1)30y k x kx y k -=-∴-+-=，
由圆心(1,0)-到直线30kx y k -+-=
5212
k =∴=
， 即方程为5
3(1)51231012
y x x y -=
-∴-+= 故答案为：1x =或512310x y -+= 【点睛】
本题考查求圆的切线，考查基本分析求解判断能力，属基础题. 15．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
根据截面作法确定线段BM 的取值范围 【详解】
当1(,1)2
BM ∈时,截面为五边形，如图，
当1(0,)2
BM ∈时, 截面为四边形，如图，
故答案为：1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查正方体中截面问题，考查基本分析判断能力，属基础题. 16．ￚ2或3 【分析】
取MN 中点Q ，设()1,0,(,1)A C a -，则利用斜率公式转化条件得1MN AQ k k ⋅=-，再结合圆的切线性质得1MN PC k k ⋅=-，即得AQ PC k k =,最后根据三点共线求结果. 【详解】
222222210()(1)2x y ax y x a y a +-+-=∴-++=+,
取MN 中点Q ，设()1,0,(,1)A C a -，由题意得1MN PC k k ⋅=-，
211221*********
000Q MN Q QA
x y y x x y y k x x y x x x y k --+--+=∴+=∴+=∴-+-1MN AQ k k ⋅=-
因此AQ PC k k =，从而,,P A C 三点关系，即21
60,
2511
a a a a a -=∴--=∴=----或3， 故答案为：ￚ2或3 【点睛】
本题考查圆的切线性质以及斜率公式，考查综合分析判断求解能力，属较难题. 17．（1）证明见解析（2）()9,0P 或()11,0P - 【分析】
（1）根据点到直线距离公式进行证明；
（2
）先根据两点间距离公式求AB =，再根据两点式求AB 方程，利用点到直线距离公式得高，最后根据面积公式列式求结果. 【详解】
（1）法一：当0A ≠时，在直线10Ax By C ++=上取一点1,0C A ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
由点到直线的距离公式得：
d =
=
； 当0A =时，式子也成立；
法二：在直线10Ax By C ++=上任取一点()00,P x y ，则0010Ax By C ++=.
由点到直线的距离公式得：d =
=
=
.
（2）设(),0P a ，AB
的直线AB =方程为10x y -+=， 点P 到直线AB
的距离为d =
由三角形的面积为
1
102⨯=得9a =或11a =- 综上：()9,0P 或()11,0P -. 【点睛】
本题考查点到直线距离公式的应用，考查基本分析判断求解能力，属中档题. 18．(Ⅰ)3x +4y ﹣7=0；(Ⅱ)x +y ﹣2=0或x ﹣y =0． 【解析】 试题分析：
（1）联立方程组，求得点(1,1)P ，根据题意设直线1l 的方程为340x y m ++=，代入点P ，求得m 的值，即可得到直线1l 的方程； （2）①当直线2l 过原点时，可得方程为y x =；
②当直线2l 不过原点时，设2l 的方程为y x a +=，代入点P ，求得2a =，即可得到直线2l 的方程. 试题解析： 联立
，解得
，∴P （1，1）．
（Ⅰ）设平行于直线3x +4y ﹣15=0的直线l 1的方程为3x +4y +m =0，把P （1，1）代入可得：3+4+m =0，解得m =-7．
∴过点P 且平行于直线3x +4y ﹣15=0的直线l 1的方程为3x +4y ﹣7=0． （Ⅱ）当直线l 2经过原点时，可得方程为：y =x ．
当直线l 2不过原点时，可设方程为：y +x =a ，把P （1，1）代入可得1+1=a ，可得a =2． ∴直线l 2的方程为x +y ﹣2=0．
综上可得：直线l 2的方程为x +y ﹣2=0或x ﹣y =0． 19．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】
（1）连接1A C 交1AC 于点O ，根据三角形中位线性质得1//OD A B ，再根据线面平行判定定理得结论；
（2）先根据平几知识得11B P C D ⊥，再根据面面垂直判定定理与性质定理得
11AD BCC B ⊥平面，即得1AD B P ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论.
【详解】
（1）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ，
在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，∴侧面11AAC C 是正方形， ∴点O 是1AC 的中点，又点D 是BC 的中点，故OD 是1A CB ∆的中位线.
∴1//OD A B ，又11A B AC D ⊄平面，1OD AC D ⊂平面，∴11//A B AC D 平面 （2）由（1）知，侧面11BCC B 是正方形，又D 、P 分别为BC 、1CC 的中点， ∴111CC D C B P ∆∆≌，∴111=CDC C PB ∠∠，∴11B P C D ⊥，
在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，又11BCC B ABC ⊥侧面底面， 且11BCC B ABC BC =侧面底面，AD ABC ⊂底面，∴11AD BCC B ⊥平面，
又111B P
BCC B 平面，∴1AD B P ⊥，又1AD C D D =，∴11B P AC D ⊥平面.
【点睛】
本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理与性质定理，考查综合分析论证能力，属中档题.
20．（1）证明见解析（2）线段的最短长度为3
4
m =- 【分析】
（1）先求直线过定点()3,1P ，再证定点在圆内部，即得证结果；
（2）先确定直线l 被圆C 截得的线段最短时位置，再根据斜率公式以及垂径定理求结果. 【详解】
（1）直线l ：()4270x y m x y +-++-=，必过直线40x y +-=与直线270
x y +-=的交点，联立方程40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3
1
x y =⎧⎨=⎩，所以直线过定点()3,1P .
∵()()2
2
311225-+-<，即点P 在圆内， ∴直线与圆C 恒相交于两点.
（2）当直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 垂直CP . ∵121312CP k -=
=--，∴直线l 的斜率2k =，则2121
m m +-=+，解得34m =-，
此时，弦长===【点睛】
本题考查直线过定点、直线与圆位置关系以及弦长问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.
21．（1）证明见解析（2）9
2
AB = 【分析】
（1）先根据线面垂直判定定理得BC DCF ⊥平面以及BC ABE ⊥平面，即得
//ABE DCF 平面平面，从而可得//AE DCF 平面；
（2）过B 作BG EF ⊥交FE 的延长线于G ,根据线面垂直判定定理以及性质定理得
EF ABG ⊥平面，即得AGB ∠为所求二面角的平面角,最后根据平几知识解得结果.
【详解】
（1）∵DC BC ⊥，CF BC ⊥，DC
CF C =，∴BC DCF ⊥平面，
∵//BE CF ，∴BE BC ⊥，又AB BC ⊥，AB
BE B =，∴BC ABE ⊥平面，
∴//ABE DCF 平面平面，故//AE DCF 平面.（其他证法也可） （2）过B 作BG EF ⊥交FE 的延长线于G ，连AG ，
由AB BEFC ⊥平面得AB EF ⊥，又BG EF ⊥，故EF ABG ⊥平面，AGB ∠为所求二面角的平面角.
由90EBC FEC ∠=∠=︒，//BE CF ，梯形BEFC
为直角梯形，BC =，2EF =，由平面几何知识得3BE =
设AB a ，若60AGB ∠=︒
，则3
BG a =
，在RT BGE ∆中，60BEG ∠=︒
，33sin 60a BE ==︒
，得92
a =
当9
2
AB =
时，二面角A EF C --的大小为60°
. 【点睛】
本题考查根据二面角求参数、线面垂直判定定理与性质定理以及利用面面平行证线面平行，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 22．（1）()2
244x y -+=；（2）2 【分析】
（1）设点(),P x y ，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，求得M 到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求． 【详解】
（1）设点(),P x y ，
2PO PA
=,即2PO PA =，
()2
22243x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦
，即()2244x y -+=，
∴曲线C 的方程为()2
244x y -+=．
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+， 由（1）可知，点M 是圆()2
244x y -+=的圆心， 点M 到直线l
的距离为d =
2d <
2<，即24
021
k ≤<
，
又AB ==
所以
1•2ABM S AB d ∆===，
令21t k =+，所以25121t ≤<，
211
125t
<≤，
则
ABM
S
∆=
=
==
所以2ABM
S ∆==， 当1
2325t =，即2523t =，此时2242321
k =<，符合题意，
即k =±
时取等号，所以ABM ∆面积的最大值为2. 【点睛】
本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．。