课件：哈密顿原理应用1 (1)

4
在(t1 t2) x 0
x
4F 4M 3m
取为广义坐标
L T V 3 m(R r)22 mg(R r) cos
4
t2
s Ldt 0
t2
[
3
m(R
t1
r)22
mg
(R
r)
cos
]dt
0
4
t
2
[
t1
3 m( 2
R
r
)
2
m g(R r)sin]dt
t1
( d )
d
dt
dt
d dt
t1
s t2 [ 1 m(r2 r 22 ) mk 2 ]dt 0
2
r
t1
mrr
mr
dr dt
mr
d (r )
dt
m
d (rr )
dt
mrr
m r2r m r2 mr2r mr2 d( )
dt
m r2r
m r2
d (
dt
)
mr2r
d
(mr 2
dt
)
2mrr mr 2
[1 m r22 ]
p
p
d dt
( )
t2
2
{[
t1 3m(R
p r)2
]p
[ p
mg (R
r)sin ]
}dt
0
[
2 3m(R
p r
)2
]p
[
p
m g(R
r)sin ]
0
,p在(t1 t2 ) 0
2 p
3m(R
r)2
Байду номын сангаас
0
p mg(R r)sin 0
3(
2g R
r)
例 2
质量均为m,半径均为a的两匀质圆柱体在粗 糙的水平面上作纯滚动,上面放一质量为M的
2
(
1 2
mr2
)
m
d
(rr)
dt
mrr
(
mrk)
mk r2
r
s t2 [ 1 m(r2 r 22 ) mk 2 ]dt 0
2
r
t1
m
d
(rr)
dt
mrr
mr2r d (r 2 )
dt
2rr r 2
(
mrk)
mk r2
r
木板.设所有接触处均无滑动,今以一水平恒力
F拉板,试用哈密蹲原理求板的加速度.
分析
坐标数
5
约束数
4
x
m
M
xc m
xc
F
自由度
1
取如图所示x为广义坐标
xc a
x 2a demonstration
根据柯尼西定理
T Tc T '
T T (柱) T (板)
2[
1 2
mxc2
1 2
I2
1 Mx2 3 mx2
o
x
o1 A'
o1
B
A
y
demonstration
自 由
1
度
取为广义坐标
L T V 3 m(R r)22 mg(R r) cos
4
t2
s Ldt 0
t2
t1
[3
m(R
r)22
mg
(R
r)
cos
]dt
0
4
t
2
t1
[
3 2
m(
R
r
)
2
m
g(
R
r
)
sin
]d
t
t1
( d )
d
dt
dt
哈密顿原理的应用
解题步骤
分析约束,确定自由度 选好广义坐标
写出系统的T, V, L，H
t2
代入 s Ldt 0 位形空间
t1
t2
s (H q p )dt 0
相空间
t1
Attention
在位形空间中 q 不能独立变化
d dt
(q
)
相空间中 δqα和δpα均可独立变化
在位形空间中
s
t2
2
8
]
1 2
1 2
Mx 2
m a2
圆柱体绕 质心转动
惯量
V Fx
L T V 1 Mx2 3 x2 Fx
2
8
在位形空间中
t2
s Ldt
t2
s Ldt 0
t1
t2t1
{4M 3m x2 Fx}dt 0 8 t1
t2 4M 3m xx Fx}dt 0 4 t1
t2
2
2g 3(R
r
)
sin
在相空间中
t2
s (H q p )dt 0
t1
H
p2 3m(R
r)2
mg ( R
r) cos
s
t2
[
t1
p2 3m(R r)2
mg ( R
r) cos
p
]dt
0
2 p m g(R r)sin p p
3m(R r)2
p
d dt
(
p )
p
2g 3(R
r
)
sin
例
用哈密顿原理求一质点在平方反比有
2
心引力作用下的运动微分方程
解: 取平面极坐标 (r, ) 为广义坐标
T 1 m(r2 r22)
2
V mk2 r
(F
mk r2
2
)
L T V
1 2
m(r2
r 22
)
m k2 r
t2
s Ldt 0
t1
t2
s Ldt 0
Ldt
0
t1
H H (q, p,t)
相空间中
t2
s (H q p )dt 0
t1
例
一1半径为r,质量为m的实心圆
柱体在一半径为R的大圆柱体
内表面作纯滚动,试用哈密顿正
原理求其在平衡位置附近作微
振动的周期.
分析
AB A'B
R r( )
坐标数 约束数
Rr
r
3 Rr
2
r
oo1 R r
[
3 2
(R
r)2
]
[
3 2
(R
r)2
]
s t2 [ 3m(R r)2 mg (R r) sin ]dt 0 2 t1
欲使上式成立,必有被积函数为0
[3 m(R r)2 mg(R r)sin ] 0
2 在开区间(t1 t2) 0
3 m(R r)2 mg(R r)sin 0
2
d dt
[
3 2
(R
r)2
]
[
3 2
(R
r)2
]
s t2 [ 3m(R r)2 mg (R r) sin ]dt 0 2 t1
欲使上式成立,必有被积函数为0
[3 m(R r)2 mg(R r)sin ] 0
2 在开区间(t1 t2) 0
3 m(R r)2 mg(R r)sin 0
s Ldt
t1
t2 4M 3m xx Fx}dt 0 4
t1
d (x)
t2
{
d
(4M
3m
dt
xx) 4M
3m
xx
Fx}dt
0
dt 4
4
t1
t2 4M 3m xx Fx}dt 0 4 t1
s t2 4M 3m xx Fx}dt 0 4 t1
(4M 3m x F)x 0