河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题含答案

2023～2024学年度高二9月大联考
数学试题（答案在最后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知空间向量()
4,1,1a =-
，
()
,,2b x y =
，且//a b
，则x y +=（
）
A.6
B.10
C.8
D.4
【答案】A 【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标运算即可求得答案.【详解】因为//a b
，所以2411
x y ==-，解得8,2x y ==-，则6x y +=.故选：A .
2.如图，设,,OA a OB b OC c ===
，若,3AN NB BM MC == ，则MN =
（
）
A.113244a b c +-
B.113244a b c
--+
C.111244
a b c -- D.111244
a b c
-++ 【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的加法及减法的三角形法则，结合向量的数乘运算及共线向量定理即可求解.
【详解】由AN NB = ，得12BN BA = ,由3BM MC =
，得34
MB CB = ,
所以()()
31311134242244
MN MB BN CB BA b c a b a b c =+=+=
-+-=+-
，故选：A.
3.若直线l 的方向向量为(2,3,1)e =- ，平面α的法向量为31
(1,,)22
n =--
，则直线l 和平面α的位置关系是（）
A.l α⊥
B.//l α
C.//l α或l ⊂α
D.l ⊂α
【答案】A 【解析】
【分析】利用空间向量夹角的坐标表示求得|cos ,|1e n <>=
，即//e n
，进而可知直线l 和平面α的位置关系.
【详解】由912722e n ⋅=--
-=-
，||e = 14||2
n = ，所以|cos ,|||1||||
e n e n e n ⋅<>==
，即//e n
，
所以l α⊥.故选：A
4.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，
1145A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =
（
）
A.
B.
2
+ C.
D.
1
+【答案】D 【解析】
【分析】分析得出11AC AB AD AA =++
，利用空间向量数量积可求得
1AC
的值.
【详解】由已知可得1111cos 452
AB AA AD AA ⋅=⋅=⨯⨯︒=
u u u r u u u r u u u r u u u r
，0AB AD ⋅=uu u r uuu r
，又1
1AC AB AD AA =++ ，
所以222211112223AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以11AC =u u u u r
．
故选：D ．
5.已知经过点(1,2,3)A 的平面α的法向量为(1,1,1)n =-
，则点(2,3,1)-P 到平面α的距离为（
）
A.
B.2
C.
D.【答案】D 【解析】
【分析】求出AP
的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.
【详解】依题意，(3,1,2)AP =--
，所以点P 到平面α
的距离为||||AP n d n ⋅==
.
故选：D
6.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，
1160A AD A AB ∠=∠=︒，则异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值为（
）
A.
7
B.
14
C.
14
D.
14
【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量求出异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A
AD A AB ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，11DC AB AA =+ ，1111||||cos 424co 6s 0AD AA AB AA AB AA A AB ⋅∠︒⨯==⋅==
，
则1||DC == ，而AC AB AD =+
，且||AC =
于是21111()44412)(A DC AB AA AB AB AA A C AB AD AB AD D A A =++⋅⋅+=+⋅+⋅=+⋅+=
，
因此111cos ,14||||AC DC AC DC AC DC ⋅〈〉===
，
所以异面直线AC 与1DC
所成角的余弦值为14
.故选：C
7.已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（）
A.
16
B.
23
C.
21
D.
42121
【答案】B 【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，
所以2
BN DM == ，
因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，
所以有12
BN BA AN AB AD =+=-+
，
1111(),
2222
DM DB BM DA AB BC AD AB AC AB AD AB AC =+=++=-++-=-++ 2222111()()
222
1111122244111111111
11111111112222242421,
2
BN DM
AB AD AD AB AC AB AD AB AB AC AD AB AD AC AD
⋅=-+-++=⋅--⋅-+⋅+⋅=⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=-
122
cos ,3
22
BN DM BN DM BN DM
-
⋅〈〉==
-
⋅
，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23
，故选：B
8.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界）
，且3
4
FE FD ⋅=- ，当三棱锥F AED -的体积最大时，EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（
）
A.
23
B.
3
C.
5
D.
【答案】A 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设出()0,,F m n ，利用向量的数量积及体积最大值求得10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，从而得到EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值.
【详解】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0E ，()0,2,0D ，设()0,,F m n ，[][]0,2,0,2m n ∈∈，
则()()22
31,,0,2,24
FE FD m n m n m m n ⋅=--⋅--=-+=- ，
由于ADE S 为定值，要想三棱锥F AED -的体积最大，则F 到底面ADE 的距离最大，其中()222
312144
n m m m =--+=--+，
所以当1m =时，2n 取得最大值1
4
，因为[]0,2n ∈，所以n 的最大值为1
2，
所以10,1,2F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，11,1,2EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，
平面11ABB A 的法向量()10,1,0n =
，
所以EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为111
12cos ,3
1
114
EF n EF n EF n ⋅===
⋅++
故选：A
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.）
9.已知()1,0,1a =r
，()1,2,3b =-- ，()2,4,6c =- ，则下列结论正确的是（
）
A.a b
⊥ B.b c
∥
C.
,a c
为钝角
D.c 在a
方向上的投影向量为()
4,0,4【答案】BD 【解析】
【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A ，B ，根据向量夹角公式判断C ，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】因为()()
11021340⨯-+⨯+⨯-=-≠，所以a ，b
不垂直，A 错，因为2c b =- ，所以b c ∥
，B 对，
因为()1204168a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=
，所以cos ,0a c > ，所以,a c 不是钝角，C 错，
因为c 在a
方向上的投影向量()()28cos ,1,0,14,0,42a a c c a c a a a
⋅⋅⋅===
，D 对，
故选：BD .
10.已知a
，b
，c
是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（
）
A.若//a b ，//b c ，则//a c
B.若a
，b
，c 两两共面，则a
，b
，c
共面
C.对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc
=++ D.若{}
a b c ，，是空间的一组基底，则{}
a b b c c a +++
，，也是空间的一组基底
【答案】AD 【解析】
【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.
【解答】解：a ，b ，c
是空间的三个单位向量，
由//a b ，//b c ，则//a c ，故A 正确；
a ，
b ，
c 两两共面，但是a ，b ，c 不一定共面，a ，b ，c
可能两两垂直，故B 错误；
由空间向量基本定理，可知只有当a ，b ，c 不共面，才能作为基底，才能得到p xa yb zc =++
，故C
错误；
若{}a b c ，，是空间的一组基底，则a ，b ，c
不共面，可知{}
a b b c c a +++ ，，也不共面，所以
{
}
a b b c c a +++
，，也是空间的一组基底，故D 正确．
故选：AD .
11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为线段111,B D BC 上的动点，则下列结论错误的是（）
A.1DB ⊥平面1
ACD B.直线AE 与平面11BB D D 所成角的正弦值为定值1
3
C.平面11A C B ∥平面1ACD
D.点F 到平面1ACD 的距离为定值
【答案】B 【解析】
【分析】设正方体的棱长为1，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的性，利用空间向量逐个计算判断即可
【详解】设正方体的棱长为1，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则
1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A B C D A B C D ，
设(,,1)E x y ，111B E B D λ=uuu r uuuu r
，即(1,,0)(,,0)x y λλ-=-，所以(1,,1)E λλ-，
设(1,,)F a b ，1BF BC μ=uu u r uuu r
，即(0,,)(0,,)a b μμ=，所以(1,,)F μμ，
对于A ，因为11(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)DB AC AD =-==
，
所以11100
DB AC DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，所以1DB AC ⊥，11DB AD ⊥，因为1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，所以1DB ⊥平面1ACD ，所以A 正确，对于B ，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，
因为AC BD ⊥，1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，
所以(1,1,0)AC = 为平面11BB D D 的一个法向量，(1,,1)AE λλ=-
，
设直线AE 与平面11BB D D 所成角为θ
，则
sin AC AE
AC AE
θ⋅==
不是定值，所以B 错误，
对于C ，由选项A 可知1DB ⊥平面1ACD ，所以1(1,1,1)DB =-uuu r
为平面1ACD 的一个法向量，
因为111(1,1,0),(1,0,1)AC A B ==- ，所以111110
A C D
B DB A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，所以11111,DB A C DB A B ⊥⊥，
因为1111A C A B A = ，111,AC A B ⊂平面11A C B ，所以1DB ⊥平面11A C B ，所以平面11A C B ∥平面1ACD ，所以C 正确，
对于D ，因为(1,,)AF μμ=
，所以点F 到平面1ACD
的距离为
1
1
AF DB d DB ⋅==uuu r uuu r uuu r D 正确，
故选：B
12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点P 为正方形1111D C B A 上的动点，则（
）
A.满足MP ∥平面1BDA 的点P 2
B.满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为
2
3
C.存在唯一的点P 满足2
APM π∠=D.存在点P 满足4
PA PM +=【答案】AC 【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点P 的轨迹，进而判断A ；建立空间直角坐标系，得到(2,0,0)A ，
(0,2,1)M ，P 为正方形1111D C B A 上的点，可设(,,2)P x y ，且02x ≤≤，02y ≤≤，进而对BCD
各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.
【详解】对于A ，取11B C 的中点Q ，11D C 的中点N ，又点M 为1CC 的中点，由正方体的性质知1//MQ A D ，//NQ BD ，MQ NQ Q = ，1A D BD D ⋂=，所以平面//MQN 平面1BDA ，又MP ⊂平面MQN ，MP ∴∥平面1BDA ，
故点P 的轨迹为线段MQ ==
A 正确；
以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,2,1)M ，设(,,2)P x y ，且02x ≤≤，
02y ≤≤，
(2,,2)AP x y =- ，(,2,1)
MP x y =- ，(2,2,1)AM =-
对于B ，()22212230AM MP x y x y ⋅=-+-+=-+-= ，即3
2
y x =+，
又02x ≤≤，
02y ≤≤，则点P 的轨迹为线段EF ，30,,22
E ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
,1
,2,22F ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
且2
EF =
=
，故B 错误；对于C ，()()()()
22
2222222211AP MP x x y y x x y y x y ⋅=-+-+=-+-+=-+- 显然，只有1,1x y ==时，0AP MP ⋅=
，即AP MP ⊥
，故存在唯一的点P 满足2
APM π
∠=，故C 正确；对于D ，点M 关于平面1111D C B A 的对称点的为(0,2,3)M '，三点共线时线段和最短，
故4PA PM AM =='≥>+，故不存在点P 满足4PA PM +=，故D 错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.试写出一个点C 的坐标：__________，使之与点()11
0A -，，，()101B -，，三点共线．【答案】11122⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，，（答案不唯一）
【解析】
【分析】设出点C 的坐标，利用空间向量共线得到()()0,1,11,1,x y z λ-=+-，求出11x y z =-+=，，写出一个符合要求的即可.
【详解】根据题意可得，设()C x y z ，，，则设AB AC λ=
，即()()0,1,11,1,x y z λ-=+-故11x y z =-+=，，不妨令12y =，则12
z =，故11122C ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，，．
故答案为：11122⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，，14.已知a ､b 是空间相互垂直的单位向量，且5c = ，2c a c b ⋅=⋅=
，则c ma nb -- 的最小值是
___________.【答案】3【解析】
【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到((
2
2
2
229c ma nb
m n --=-+-+
，求出
2c ma nb --
最小值，进而求出答案.【详解】因为,a b 互相垂直，所以0a b ⋅= ，
222222
222a ma nb c m a n b ma c nb c mna b
--=++-⋅-⋅+⋅
((
2
2
2225229
m n m n =++--=-+-+，
当且仅当m n ==时，2c ma nb --
取得最小值，最小值为9，
则c ma nb --
的最小值为3.
故答案为：3
15.已知梯形ABCD 和矩形CDEF ．在平面图形中，1
12
AB AD DE CD ====，CD AE ⊥．现将矩形CDEF 沿CD 进行如图所示的翻折，满足面ABCD 垂直于面CDEF ．设2EN NC = ，EP PB μ=
，若AP ∥
面DBN ，则实数μ的值为______．
【答案】3【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出面DBN 的法向量，表示出AP
，由0AP n ⋅=
求出μ的值即可.
【详解】
易得,CD DE CD DA ⊥⊥，又面ABCD ⊥面CDEF ，面ABCD 面CDEF EF =，又AD ⊂面ABCD ，则AD ⊥面CDEF ，
又DE ⊂面CDEF ，则AD DE ⊥，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
()()()()()0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,10,2,0D B A E C ，
又()
2212410,,333333DN DE EN DE EC DE DC DE DE DC ⎛⎫
=+=+=+
-=+= ⎪⎝⎭
，同理可得11,,111111DP DE EP DE EB DE DB μμμμμμμμμμ⎛⎫
=+=+=+= ⎪++++++⎝⎭
，设面DBN 的法向量为(),,n x y z =
，
则0410
33n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，则()1,1,4n =-- ，又11,,111AP AD DP μμμμ⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭ ，
又AP ∥面DBN ，则
14
0111
AP n μμμμ⋅=+-=+++ ，解得3μ=.故答案为：3.
16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，M 是11A C 的中点，7AB =，N ，G 分别在棱1BB ，AC 上，且113BN BB =
，13
=AG AC ，平面MNG 与AB 交于点H ，则AH BH =___________，HM AB ⋅=
___________.
【答案】①.6
②.-42
【解析】
【分析】延长MG 与1A A 延长线交于点K ，连接KN 确定点H ，再利用堑堵111ABC A B C -的结构特征列式计算即得；利用空间向量加法及数量积计算作答.
【详解】如图，延长MG ，交1A A 的延长线于K ，连接KN ，显然KN ⊂平面MNG ，KN ⊂平面11ABB A ，因此，平面MNG 与AB 的交点H ，即为KN 与AB
交点，
在堑堵111ABC A B C -中，1//AG A M ，则
111
2
313
2
KA AG KA A M ===，即12KA AA =，又111133BN BB AA =
=，则6KA BN =，而//KA BN ，于是得6AH KA BH NB ==，所以667
AH AB ==，因1AA AB ⊥，1A M AB ⊥，所以()
116742HM AB HA AA A M AB HA AB ⋅=++⋅=⋅=-⨯=-
.
故答案为：6；-42
【点睛】结论点睛：首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分.
17.如图所示，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，1OA =，2OB =，3OC =，E ，F ，
P 分别为AC ，BC ，EF 的中点，以OA ，OB ，OC
方向上的单位向量为基底，求OP
．
【答案】4
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，用基底表示出OP ，计算向量OP
的模，即可求得答案.
【详解】令OA ，OB ，OC 方向上的单位向量分别为m ，j
，k ，则{,,}i j k 是单位正交基底．
因为111)4
1(()222OP OE EP OA OC EF O A A B
OC =+=++==++
11()()24
OA OC OB OA =++-
11111123442442OA OB OC i j k =++=+⨯+⨯
113422i j k =++ ，
所以||4
OP = ，
所以OP 的长度为
4
．18.如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别为PAB ，PBC ，PCD ，PDA 的重心．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．
【答案】证明见解析【解析】
【分析】利用重心的性质并利用平面向量的加减法则将向量EG 可表示成EF EH +
，根据空间向量的共面定理即可得出证明.
【详解】如图，分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长交AB ，BC ，CD ，AD 于点M ，N ，Q ，R ，连接EG ，MQ ，EF ，EH ．
由于E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，
所以M ，N ，Q ，R 分别为所在边的中点，即//MN AC ，//QR AC ，且1
2
QR AC MN ==；所以顺次连接M ，N ，Q ，R 所得的四边形MNQR 为平行四边形，
且有23PE PM = ，23PF PN = ，23PG PQ = ，23
PH PR = ．
由于四边形MNQR 为平行四边形，
可得222333
EG PG PE PQ PM MQ =-=-==
()()()
222233233333322322MN MR PN PM PR PM PF PE PH PE EF EH ⎛⎫⎛⎫+=-+-=⨯-+⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．由于三个向量有公共点E ，根据空间向量的共面定理可得向量,,EG EF EH
共面；所以,,,E F G H 四点共面
.
19.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E 、F 分别是PC 、AD
中点．
（1）求直线DE 和PF 夹角的余弦值；（2）求点E 到平面PBF 的距离．【答案】（1
）
5
；（2
）
3
.【解析】
【分析】（1）根据给定条件，以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.（2）由（1）求出平面PBF 的法向量，利用空间向量即可求出点E 到平面PBF 的距离.【小问1详解】
因PD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，则PD 、DA 、DC 三线两两互相垂直，
如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，
则()()()()()0,0,0,000,1,1,1,0,0,2,2,2,0E F B D P ,
,，则直线DE 的方向向量()0,1,1DE = ，直线PF 的方向向量()1,0,2PF =-
，10
cos ,5||||
25
DE PF
DE PF DE PF ⋅〈〉==-⋅
，
所以直线DE 和PF 夹角的余弦值为105
.【小问2详解】
由（1）知，()2,2,2PB =-
，()1,2,0FB = ，()0,1,1EP =- ，
设平面PBF 的法向量(),,n x y z = ，则2220
20PB n x y z FB n x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，令1y =-，得()2,1,1n =- ，所以点E 到平面PBF 的距离为||263||6
EP n d n ⋅===
.
20.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，点P 在底面的投影O 点恰好是菱形ABCD 对角线交点，点E 为侧棱PC 中点，若60BAD ∠=︒，2AB =，3PO =
．
（1）求证：平面PBC ⊥平面BDE ；
（2）点Q 在线段PA 上，且2PQ QA =，求二面角Q BD E --的平面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2
）
10
【解析】
【分析】（1）通过证明PB BC =可得PC BE ⊥，同理可得PC DE ⊥，即可证明PC ⊥平面BED ，得出答案；
（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面BDE 和平面QBD 的法向量，利用向量关系即可求出.【小问1详解】
由题，PO ⊥平面ABCD ，所以PO BD ⊥，
因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，所以2BD =，在Rt POB
中，PO =
，1OB =，∴2PB =，
因此2PB BC ==，E 是中点，可得：PC BE ⊥，
同理：PC DE ⊥，∵BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED ，又因为PC ⊂平面PCB ，所以平面PCB ⊥平面BED ．【小问2详解】
以OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴建系，
则)
A
，()
C ，()0,1,0B ，()0,1,0
D -
，22E ⎛- ⎝⎭
，,0,33Q ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为()1111,,x n y z =
，
则1100n DB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即11112002
2y x y z =⎧
⎪
⎨-
-+=⎪⎩，可取()1,0,1n = ，设平面QBD 的法向量为()2222,,n x y z =
，
则2200n DB n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222023303
3y x y z =⎧
⎪
⎨-+=⎪
⎩，可取()1,0,2n =- ，
所以12cos ,10n n ==
，
设二面角Q BD E --的平面角为θ，∴sin 10
θ=
．
21.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点．
（1）证明：CO ⊥平面11ABB A ；
（2）若直线1B C 与平面11ABB A 所成的角的正切值为5
，求平面11A BC 与平面1ABC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）57
．【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接1OB ，由（1）知CO ⊥平面11ABB A ，又直线1B C 与平面11ABB A 所成的角的正切值为
5
，可得12BB =，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【详解】（1）ABC 是正三角形，O 为AB 的中点，
CO AB ∴⊥．
又111ABC A B C - 是直三棱柱，
1AA ∴⊥平面ABC ，1AA CO ∴⊥．
又1AB AA A ⋂=，
CO ∴⊥平面11ABB A ．
（2）连接1OB ，由（1）知CO ⊥平面11ABB A ，∴直线1B C 与平面11ABB A 所成的角为1CB O ∠，
115tan 5
CB O ∴∠=
．ABC 是边长为2
的正三角形，则CO =
，
1OB ∴=．
在直角1B BO 中，1OB =
，1OB =，12BB ∴=．
建立如图所示坐标系，则()1,0,0B ，()1,0,0A -，()11,2,0A -，()11,2,0B
，(10,C ．
()12,2,0BA ∴=-
，(11,BC =- ，设平面11A BC 的法向量为(),,m x y z = ，则11·0·0
m BA m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即220
20
x y x y -+=⎧⎪⎨
-++=⎪⎩，解得平面11A BC
的法向量为)
1m =- ．
()2,0,0AB = ，()11,2,3AC = ，设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ，
则1·0·0n AB n AC ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
，即20230x x y z =⎧⎨++=⎩，解得平面1ABC
的法向量为()
0,2n =
．
设平面11A BC 与平面1ABC 夹角为θ，则
5
cos 7
m n m n θ⋅==⋅
．
平面11A BC 与平面1ABC 夹角的余弦值为57．
22.长方形ABCD 中，2AB AD =，M 是CD 中点（图1）
，将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）
，在图2中
（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；
（2）在线段BD 上是否存点E ，使得平面ADM 与AME 的夹角为
π4，请说明理由．【答案】（1）证明详见解析
（2）存在，理由详见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明BM ⊥平面ADM 来证得平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）建立空间直角坐标系，根据平面AMD 与AME 的夹角列方程，由此判断出E 点的位置.
【小问1详解】
设2=2AB AD =，所以222=AM BM AM BM AB ==+，
所以BM AM ⊥，由于AD BM ⊥，,,AM AD A AM AD ⋂=⊂平面ADM ，所以BM ⊥平面ADM ，
由于BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM .
【小问2详解】
由（1）得BM AM ⊥，平面ADM ⊥平面ABCM ，
以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知平面ADM 的法向量为()=0,1,0m
.
)(
)
,,,=,2222A B D BD ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭ ，设()=01BE BD λλ≤≤
，则===,22ME MB BE MB BD λ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ，设平面AEM 的法向量为(),,n x y z = ，
则
)
0=022n MA n ME x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=++⎪⎩ ，
故可设22n λ⎛=- ⎝ .由于平面ADM 与AME 的夹角为
π4，所以2π2cos ==4m n m n λ⋅⋅ ，
解得2=3λ或=2λ（舍去）.所以在线段BD 上存在E 点，使得平面ADM 与AME 的夹角为π4，此时E 是线段BD 上，靠近D 点的三等分点.。