高二数学下学期期中试题理

河北省石家庄市第一中学２017—20１8学年高二数学下学期期中试题
理
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:本题共1２小题,每小题５分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合,,则
A、 B、 C。

A D、B
２、若复数的值为
A。

B、0 Ｃ、1 D、—1
3、设等差数列的前项和为、是方程的两个根,则
A、 B、Ｃ。

D、
4。

已知,,,则在方向上的投影为
A、B。

C。

Ｄ、
5、已知函数,且,则
A、Ｂ。

ﻩＣ、ﻩＤ。

6、某单位有名职工, 现采纳系统抽样方法抽取人做问卷调查, 将人按随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为
A、１7 ﻩﻩＢ、18 ﻩC、19 Ｄ。

20
7、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A、 B、
C、 D。

８、程序框图如下:
假如上述程序运行的结果的值比20１8小,若使输出的最大,那么判断框中应填入
A、ﻩ
B、ﻩＣ、ﻩ D、
９、已知正方体的棱长为1,为的中点,则点到平面的距离为
A。

Ｂ、C、ﻩＤ、
10、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究、设
为整数,若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为、若,,则的值能够是A。

201５Ｂ。

２01６D。

2018
11、已知,函数在上单调减,则的取值范围是
A、B、C、Ｄ、
12。

已知函数,曲线上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直,则实数的取值范围是
Ａ、 B。

Ｃ。

D、
第II卷(非选择题,共9０分)
二、选择题: 本题共4小题,每小题５分,共2０分、
13、已知数列的前项和为,,, 、
14。

已知实数满足,则最小值是、
15、设△的内角 , ,所对的边长分别为,,,若,则的值为、
１6、已知, 是椭圆和双曲线的公共焦点, 是它们的一个公共点,且为直角,椭圆的离心率为,双曲线的离心率,则的值为＿__ _＿__、
三、解答题:本题共6小题,共7０分、解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分1２分)
已知向量,,,且, ,分别为△的三边所对的角。

(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,,成等比数列,且, 求边c的值、
18、(本小题满分12分)
如图,正方形所在的平面与平面垂直,是和的交点,,且、
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小。

19。

(本小题满分１2分)
某地区年至年农村居民家庭纯收入(单位:千元)的数据如下表:
(Ⅰ)求关于的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入、
注:,
20、(本题满分12分)
已知椭圆经过点,且离心率为、
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ) 过椭圆的右顶点做相互垂直的两条直线,,分别交椭圆于、(、异于点 ),问直线是否通过定点?若过定点,求出定点坐标;若只是定点,请说明理由。

21、(本小题满分１２分)
已知函数在处的切线与轴平行、
(Ⅰ)试讨论在上的单调性;
(Ⅱ)(ⅰ)设,求的最小值;
(ⅱ)证明: 、
请考生在第２2、２3题中任选一题作答。

假如多做,则按所做的第一题计分、
2２、(本小题满分１0分)选修4－4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),再以原点为极点,以正半轴为极坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单位,在该极坐标系中圆的方程为。

(Ⅰ)求圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的值。

23、(本小题满分l０分)选修4—５:不等式选讲
已知函数、
(Ⅰ)当时,求函数的定义域;
(Ⅱ)当函数的定义域为时,求实数的取值范围。

答案
一、选择题:
1、C ２、C 3、Ｄ4、C 5。

B 6。

C
７、A ８。

Ｃ９。

Ａ 10。

Ｃ１1。

D 1２、D
二、选择题:
13。

14、 1５、4 16、
三、解答题:
17。

解: (Ⅰ) ∵,,,
∴ｓinＡｃｏs B+ｃoｓA sinＢ=sin２Ｃ
即 ,
又因为,因此sin C＝sｉn2C
∴ｃoｓC=
又C为三角形的内角, ∴、
(Ⅱ) ∵siｎA,sin C,sin B成等比数列,
∴sｉn２C=ｓinＡsin B
由正弦定理可得c2=aｂ
又,即
∴ａbcｏsC=１８
∴ab=36 故c2=3６∴c=6、
１８、解:∵四边形是正方形 ,
,∵平面平面,
平面,
∴能够以点为原点,以过点平行于的直线为轴,分别以直线和为轴和轴,建立如图所示的空间直角坐标系、
设,则,
∵是正方形的对角线的交点,、
(Ⅰ),,,
,
平面、
(Ⅱ)设平面的法向量为,
则且,
且、
即
取,则, 则、
又∵为平面的一个法向量,且,
,
设二面角的平面角为,则,。

∴二面角等于。

1９、解:(Ⅰ)由已知可知,故
,因此所求的线性回归方程为。

(Ⅱ)有(Ⅰ)可知,故２01１年至２017年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加,平均每年增加千元;当时,,
因此预测该地区２0１8年农村居民家庭人均纯收入为千元、
2０、解:(Ⅰ)由题意,得,解得,、
因此椭圆的方程是、
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当直线的斜率不存在时,直线的方程设为、
由得,,解得或(舍去)、
当直线的斜率存在时,设直线的方程设为,设,
联立消去得
则有,
又
由得,
即或
若则直线的方程设为,过点,不在椭圆内,与题意不符、
若,代入到判别式中,判别式恒大于0,则满足有两个交点、
则直线的方程设为,过点得。

综上,直线通过定点、
2１。

解:解析:(Ⅰ)
当时,时时,
在上单调递减,在上单调递增、
当时,时时,
在上单调递增,在上单调递减、
(Ⅱ)(ⅰ)∵
∴当时,,当时,
∴在单调递减,在单调递增∴、
(ⅱ)由(Ⅰ)知
∴由,可得
即,
即
设
,在单调递减,在单调递增。

又∵在时,
∴成立、
即成立、
请考生在第22、23题中任选一题作答。

假如多做,则按所做的第一题计分。

２2、(本小题满分10分)选修４－4:极坐标系与参数方程
(Ⅰ)由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为、
(Ⅱ)直线的普通方程为,点在直线上,
过点的直线的参数方程为(为参数),
代入圆方程得: 、设对应的参数方程分别为,则, 、因此。

２３、(本小题满分l0分)选修4—5:不等式选讲解:(Ⅰ)当时,要使函数有意义,
有不等式①成立,
当时,不等式①等价于,即,;
当时,不等式①等价于,无解;
当时,不等式①等价于,即,;
综上,函数的定义域为、
(Ⅱ)∵函数的定义域为,∴不等式恒成立,
∴只要即可,
又∵(当且仅当时取等号)
即。

的取值范围是、。