甘肃省高台县2018届高三数学10月月考试题 文

甘肃省高台县2018届高三数学10月月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1、已知全集2{|230}A x x x =--≤，{|0}B x x =≥，则A
B =（ ）
A.[0,1]
B.[1,2]
C.[0,3]
D.[1,3]- 2、设复数z 满足(12)2z i i -=+（其中i 为虚数单位）则z 的模为（ ）
3、已知3cos(2)4πα-=
，(,0)2
π
α∈-，则sin 2α的值为（ ） A ．
38 B ．38- C
．8 D
．8-
4、设函数6,8()(3),8x x f x f x x ->⎧=⎨+≤⎩
，则(2)f =（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5、若变量,x y 满足条件30
101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最小值（ ）
A. 1
B. 0
C. -3
D. -6
6、程序框图如图的算法思路是源于世界数学名题“31x +问题”.执行程序框图，若输入的3N =,则输出i =（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7、直线20(0,0)mx ny m n ++=>>截圆
22(3)(1)1x y +++=所得弦长为2，则
13
m n
+的最小值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 12
D. 16
8、如图，网格纸上小正方形的边长为1
，粗线画出的是某几何体
的三视图，则该几何体的最长棱长是（ ）
A. 4
B. 2
9、一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A. 20π
B.
C. 16π
D.
10、已知x 为区间[0,]π上随机的一个数，则事件“1
sin 2
x ≤”发生的概率为（ ） A. 34 B. 23 C. 1
2
D. 13
11、已知2()cos sin f x x x x =-，把的图象向右平移12
π
个单位，再向上平
移12个单位，得到的()g x 图象，则()4
g π
=（ ）
A.
2
B. 1
C. 2-
D. 1-
12、已知函数()1ln a
f x x x
=-+，存在00x >，使得0()0f x ≤有解，则实数a 的 取值范围是（ ）
A. 2a >
B. 3a <
C. 1a ≤
D. 3a ≥ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上. 13、在等比数列{}n a 中，记n S 是其前n 项和.已知11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项，,则
n S = .
14、在ABC ∆中，12AN NC =
，P 是直线BN 上的一点，且2
3
AP mAB AC =+，则实数m 的值为 .
15、已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且
(2)(s i n s i n )()b A B c b C +-=-，则
ABC ∆周长的取值范围为 .
16、已知双曲线过点，且渐近线方程为1
2
y x =±，则该双曲线的标准方程为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(12分) 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
2
n a n b n -=+，求
12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
18、(12分) 2016年全国两会分别于3月
3日和3月5日在北京开幕。

为了解哪些人
更关注两会，某机构随抽取了年龄在
1575岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间
为：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[55,65)，[65,75]．把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为9:11．
（1）求图中a 、b 的值；
（2）若“青少年人”中有15人关注两会，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？ 附：参考公式和临界值表：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b a c b d c d -=
++++，其中n a b c d =+++
19、(12分) 在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA=2AB=2． （1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积V ；
（2）若F 为PC 的中点，求证PC⊥平面AEF ；
b
0.005
0.0100.
（3）证CE∥平面PAB ．
20、(12分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过，离心率为2
.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）直线:l y x m =+与E 相交于,A B 两点，在y 轴上是否存在点C ，使ABC ∆为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由..
21、(12分)已知函数2
()ln (21)f x a x x a x =+-+.
（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y ++=，求a 的值； （2）若1a >，求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值()g a ；
（3）对任意的120x x <<，都有1122()()f x x f x x +<+，求正实数a 的取值范围. 四、选考题（本题满分10分）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22、选修4-4：坐标系与参数方程
将圆2
2
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C ． （1）写出Ｃ的参数方程；
（2）设直线:l 220x y +-=与Ｃ的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
23、选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-.
（1）若不等式1
()21(0)2
f x m m +
≥+>的解集为(,2][2,)-∞-+∞，求实数m 的值；
（2） 若不等式()2|23|2y
y
a
f x x ≤+
++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值. 参考答案
C A
D D C C B B A D B C
21n
- 1-
(2+ 2
214
x y -=
18：（1）依频率分布直方图可知：
4510(0.03)100
5510(0.0100.0050.005)100b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=
⎪⎩
，解得0.0350.015a b =⎧⎨=⎩． （2）依题意可知，“青少年人”共有100(0.0150.030)45+=人， “中老年人”共有1004555-=人， 完成完的22⨯列联表如下：
结合数据得
2
2
()()()()()
n ad bc K a b a c b d c d -=
++++2100(30352015)9.0915*******⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵2
( 6.635)0.01P K ≥=，9.091 6.635>，
∴有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会．
19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA=2AB=2．
（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积V ；
（2）若F 为PC 的中点，求证PC⊥平面AEF ； （3）求证CE∥平面PAB ．
【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）利用直角三角形中的边角关系求出BC、AC、CD，由求得底面的面积，
代入体积公式进行运算．
（2）证明AF⊥PC，再由CD⊥平面PAC 证明CD⊥PC，由EF∥CD，可得PC⊥EF，从而得到PC⊥平面AEF．
（3）延长DC，AB，设它们交于点N，证明EC是三角形DPN的中位线，可得EC∥PN，从而证明EC∥平面PAB．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠ACD=60°，∴．
∴=．
则．
（2）证明：∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EF⊥PC，∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（3）证明：延长DC，AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，
∴EC∥平面PAB
20
21
22.选修4-4：坐标系与参数方程将圆
221x y +=每一点的，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C ．
（Ⅰ）写出Ｃ的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与Ｃ的交点为12,p p ，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段的中点且与l 垂直的直线的极坐标方
程．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.
（1）若不等式()12102f x m m ⎛⎫+≤+> ⎪⎝
⎭
的解集为(]
[),22,-∞-+∞，求实数m 的值 ;
（2） 若不等式()2232
y y a f x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值.
23.【答案】（1）3
2
m =
（2）4 【解析】试题分析：（1）先化简不等式()2210x m m ≤+>，再根据绝对值定义得
1122m x m --
≤≤+，最后根据解集关系得122m +=，3
2
m =（2）先化简不等式212322
y y a
x x --+≤+，再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值
()max 212322y y a x x --+≤+，根据绝对值三角不等式得()()212321234x x x x --+≤-+=，因此再利用变量分离将不等式转化为对应函数最值：
()max
242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦
，根据二次函数最值可得4a ≥，即实数a 的最小值为4.。