参数方程-一本通之备战2019高考数学(理)选做题 Word版含解析
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题67参数方程(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝32t (t 为参数)。
以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ。
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标。
2．已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝－4＋2sin θ(θ为参数)。
(1)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值。
解析：(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝－4＋2sin θ(θ为参数)。
所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4。
∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0。
(2)点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋9。
所以△ABM 面积的最大值为9＋22。
3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α≠k π，k ∈Z )经过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点F 。
(1)求m 的值；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |×|FB |的最小值。
解析：(1)∵椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ的普通方程为x 24＋y 23＝1，∴F (－1,0)。
直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α的普通方程为y ＝tan α(x －m )，∵α≠k π，k ∈Z ，tan α≠0。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题67参数方程(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义。
2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程。
一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋2或m ＝1－ 2. 高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.解(1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.1. （2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）的方程为．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．2. （2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．4. （2018年江苏卷） [选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A （4，0），倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．1.【2017江苏，21】在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】52. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2019年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案word精品文档8页
绝密*启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ） 【解】选D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z =22:2p z i =3:p z的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-【解】选C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）【解】选C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）【解】选D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 【解】选B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（ ） 【解】选C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
第22题 坐标系与参数方程--2019年高考数学23题试题分析与考题集训含答案
第22题 坐标系与参数方程【考法】本主题考题形式为解答题，主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识，难度为基础题，分值为10分.【考前回扣】1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4.直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).t 的几何意义是0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)..5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)【易错点提醒】1. 将参数方程化为普通方程时忽视参数对变量x 、y 范围的限定致错.2.应用直线参数方程时，忽视不是直线参数方程的标准形式而用其参数t 的几何意义致错.【考向】曲线的极坐标方程【解决法宝】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.例【2019届湖南省六校(长沙一中、常德一中等)联考】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于，两点，求的面积.【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数t 能求出l 的直角坐标方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）求得圆心到直线l 的距离，又分析可得弦长MN 即为直径，由此能求出△MON 的面积． 【解析】（1）由消去参数得，直线的普通方程为.由得，，即，曲线的直角坐标方程是圆：.（2）原点到直线的距离.直线过圆的圆心，，所以的面积.【集训】1.【2019届陕西省汉中市二检】已知直线的参数方程为（为参数，），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）若直线被圆截得的弦长为时，求的值.（2）直线的参数方程为（为参数），若，垂足为，求点的极坐标.【解析】（1）由得（，为参数）得.∵，，∴由得，，即圆心为，，∴到直线距离为，又弦长为，故，解得.（2）由的方程可得，又得：，解，，，.2.【四川省雅安中学2018届下学期第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为．以平面直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin ρθ=．(1) 求曲线1C 的极坐标方程；(2) 设1C 和2C 交点的交点为A ， B ，求AOB ∆的面积.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为，消去参数的1C 的直角坐标方程为：∴1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）解方程组，有得sin2θ=或当时， ρ=时， 2ρ=∴ 1C 和2C 交点的极坐标∴故AOB ∆3.【2019届广东省佛山市一中期中】已知倾斜角为α且经过点的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点 （1）若，写出直线l 与椭圆C 的参数方程； （2）若，求直线l 的方程．【解析】（1）直线l 的参数方程为，（t 为参数）椭圆C 的参数方程为，（θ为参数）（2）将直线l 的参数方程代入中，得∴，，∴∵，得，∴，则tanα=±∴直线l 的方程为4.【辽宁省辽阳市2018学届一模】在直角坐标系xOy 中，圆1C ：，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 2C ： 3πθ=（R ρ∈）.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为6πθ=（R ρ∈），设2C 与1C 的交点为O 、M ， 3C 与1C 的交点为O ，N 求OMN 的面积.【解析】（1）因为圆1C 的普通方程为，把cos x ρθ=， sin y ρθ=代入方程得.所以1C 的极坐标方程为，2C 的平面直角坐标系方程为y =.（2）分别将3πθ=， 6πθ=代入，得，.则OMN 的面积为.5.【2019届贵州省凯里一中模拟(三)】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆的极坐标方程； （Ⅱ）射线：与圆的交点为、，与曲线：的交点为，求线段的长.【解析】（Ⅰ）圆的普通方程为，又，，∴圆的极坐标方程为.（Ⅱ）设，则由解得.：化为极坐标方程，设，由解得.∴.6.【2018届广东省揭阳市一模】在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C 的参数方程为为参数,)α;现以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的方程为,(1)求曲线1C 的极坐标方程;(2)设1C 和2C 的交点为M N 、,求MON ∠的值．【解析】(1)由曲线1C 的参数方程知, 1C 是以原点O 为圆心,,其极坐标方程为.(2)联立方程ρ= =,得,于是tan2θ=,解得π24θ=或5π24θ=, 即N M θθ和的值为π5π88和,所以MON ∠=．7.【2019届山东师范大学附中五模】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程： (为参数)，曲线的极坐标方程：，且直线交曲线于两点.（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）巳知点，求当直线倾斜角变化时，的值.【解析】（Ⅰ），∴（Ⅱ）（为参数）代入，8.【山东省枣庄市2018届二模】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）.（Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离.【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =.由.解得{x y ==或，直线l 被曲线C 截得的线段的长度为.（Ⅱ） 11a =时，直线l 的普通方程为.由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线l ：的距离为，其中0θ满足，.由三角函数性质知，当00θθ+=时， d取最小值此时，，.因此，当点M 位于时，点M 到l的距离取最小值9.【2019届四川广元第二次高考适应考】在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为：，为参数点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．Ⅰ试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标系下的坐标；Ⅱ设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求的值．【解析】Ⅰ把，代入，可得曲线C 的直角坐标方程为，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．Ⅱ点P 的直角坐标为，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中，设点A ，B ，M 对应的参数为，，，由题意可知．把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得．因为，所以．10.【山西省2018年高考考前适应性测试】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为： {x cos y sin θθ==（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：'{'x x y ==得到曲线2C .（1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线l ： {x tcos y tsin αα==（t 为参数）与1C ， 2C 相交于A ， B 两点，且，求α的值.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，由1{ ρθα==得1A ρ=，由得.而，∴1cos 2α=±. 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 11.【2019届安徽省毛坦厂中学4月联考】已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于，两点，求的值.【解析】（1）直线的参数方程为（为参数），消去，得，即直线的普通方程为.又曲线，即，，曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）得，直线的标准参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程得，，，，.12.【湖南省郴州市2018届二质监】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）, （Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换2{x xy y='='得到曲线C'，曲线C'任一点为(),M x y，求点M直线l的距离的最大值.【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程为，∵∴∴221 4xy+=故曲线C的直角坐标方程为221 4xy+=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得2214xy+=，经过伸缩变换2{x xx y='='得到曲线C'的方程为，所以曲线C'的方程22116xy+=，可以令(α是参数)，根据点到直线的距离公式可得,故点M 到直线l . 13.【2019届四川省成都市外国语学校一诊】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．【解析】（1）∵曲线的极坐标方程为，∴，∴曲线的直角坐标方程，即.∴曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，，∴，，，∴的最小值为.14.【湖南省三湘名校教育联盟2018届三联考】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为（ 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点,A B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为()2,2，求AP BP+的最小值.【解析】（1）∵，∴，即，∴直线l的直角坐标方程为；∵，∴曲线1C的普通方程为.15.【2019届安徽省马鞍山二质量监测】在直角坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求以为直径的圆的方程.【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得．所以．因直线过抛物线的焦点所以．由题设知，又，故因此的方程为．的中点坐标为（3，2），因此所求圆的方程为．16.【山西省2018届一模】在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为：{x cosy sinθθ==（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：{x x y ''==得到曲线2C .（1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且，求α的值.【解析】（1）1C 的普通方程为，把代入上述方程得，，∴2C 的方程为，令，所以2C 的极坐标方程为； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，由1{ρθα==，得1A ρ=， 由，得，而，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 17.【2019届南昌外国语学校适应性测试】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为45°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】（Ⅰ）由∴的普通方程为，由，可得， ∴， ∴，即，此即的直角坐标方程．（Ⅱ）在曲线上任意取一点则到的距离为 ，则，即当时，|P A|取最大值为12；当时，|PA|取最小值为4.18.【河南安阳2018届二模】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程； （2）射线OP ： 6πθ=与圆C 的交点为O ， A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.【解析】（1）在中，令cos x ρθ=， sin y ρθ=.得，化简得.即为直线l 的极坐标方程. 由4sin ρθ=得，即.，即为圆C 的直角坐标方程.（2）所以.19.【2019届河南省天一大联考阶段性测试（五)】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若，求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）当时，直线的参数方程为.所以其普通方程为. 对于曲线，由，得，所以其直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意得，直线过定点，为其倾斜角，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的圆.当时，直线为，此时直线与圆不相交.当时，设表示直线的斜率，则：.设圆心到直线的距离为.当直线与圆相切时，令，解得或. 则当直线与圆有两个不同的交点时，. 因为，由，可得，即的取值范围为.20.【宁夏石嘴山市第三中学2018届一模】已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221164y x +=，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为椭圆C 上任意一点，求的最大值．（2）根据题意，M （x ，y ）为椭圆一点，则设M （2cosθ，4sinθ），|2x+y ﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin （θ+）﹣1|，分析可得，当sin （θ+）=﹣1时，|2x+y ﹣1|取得最大值9．。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科含解析版)精品文档A4版
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12 B．16 C．20 D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考专题15 坐标系与参数方程-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读15 坐标系与参数方程选考内容（一）坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.考向一 参数方程与普通方程的互化样题1（2018新课标III 卷理）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ点且倾斜角为的直线与交于两点．(0，αl O ⊙A B ，（1）求的取值范围；α（2）求中点的轨迹的参数方程．AB P 【答案】（1）；（2）为参数，．(,)44π3π(α44απ3π<<)（2）的参数方程为为参数，．l 44απ3π<<)设，，对应的参数分别为，，，A B P A t B t P t 则，且，满足．2A BP t t t +=A tB t 于是，．又点的坐标满足P (,)x y所以点的轨迹的参数方程是为参数，．学-科网P (α44απ3π<<)考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化样题2（2018新课标I 卷理）在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，xOy 1C ||2y k x =+轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.x 2C （1）求的直角坐标方程；2C （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.1C 2C 1C 【答案】（1）；（2）．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．1l2C A 1l 243k =-0k =经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公0k =1l 2C 43k =-1l 2C 2l 2C 共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，故或．2l2C A 2l 22=0k =43k =经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．0k =1l 2C 43k =2l 2C综上，所求的方程为．1C 考向三 极坐标方程与参数方程的综合应用样题3 已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为l t O x 极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．C （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；l C （2）设直线与曲线交于两点，求．l C ,A B OA OB样题4 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为为参数),直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.【解析】(1)由,得,所以曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,得,设两点对应的参数分别为，则有,因为,所以,即,所以,解之得或(舍去),所以的值为1.。
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】联立消可得,故填.【考点】参数方程2.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确.【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式.3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。
【答案】【解析】由参数方程知: 曲线C1与C2的普通方程分别为,,所以解方程组可得交点坐标为.【考点】本题考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化,以及它们交点坐标的求解.4.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程5.如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 .【答案】(为参数)【解析】x2+y2-x=0圆的半径为，圆心为C（，0）.连接CP，则∠PCx=2所以P点的坐标为:(为参数)6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式.7.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入中，得到曲线的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出，由于点A在曲线上，所以将得到的代入到曲线中，得到的关系，即为中点的轨迹方程.试题解析：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为． 5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为． 10分【考点】参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.8.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.9.将参数方程化为普通方程，并说明它表示的图形．【答案】y＝1－2x2，抛物线的一部分．【解析】由可得即＋x2＝1，化简得y＝1－2x2.又－1≤x2＝sin2θ≤1，则－1≤x≤1，则普通方程为y＝1－2x2，在时此函数图象为抛物线的一部分．10.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）－＋1≤2x＋y≤＋1.（2）a≥－1【解析】(1)设圆的参数方程为2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，∴－＋1≤2x＋y≤＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin－1，∴a≥－1.11.在椭圆＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．【答案】(2，－3)【解析】设椭圆的参数方程为，d＝，当cos＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)12.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.13.已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为．【答案】【解析】不妨设点(),则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则,故填【考点】参数方程倾斜角14.在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的倍．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2＋2y2＝2（2）存在点P为(0，±1)【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)．由题意知＝|2－x|，化简，得x2＋2y2＝2，所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝2.(2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y1＝－3y2，①由得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8>0y 1＋y2＝－②，y1·y2＝－③，由①②③得t＝－1，y1＝1，y2＝－或t＝1，y1＝－1，y2＝，所以存在点P为(0，±1)．15.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.16.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.17.已知直线l过点P(2,0)，斜率为直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.【答案】（1）；（2）【解析】（1）写出过点P（2,0）的直线方程的参数方程，联立抛物线的方程得到一个含参数t 二次方程.通过韦达定理即定点到中点的距离可得故填.（2）弦长公式|AB|＝|t2－t1|再根据韦达定理可得故填.本题主要知识点是定点到弦所在线段中点的距离.弦长公式.这两个知识点都是参数方程中的长测知识点.特别是到中点的距离的计算要理解清楚.试题解析：(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为设直线的倾斜角为α,tanα=sinα=cosα=∴直线l的参数方程为 (t为参数)(*) 1分∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50>0,设这个一元二次方程的两个根为t1、t2,由根与系数的关系，得t1＋t2＝t1t2＝ 3分由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 4分(2)|AB|＝|t2－t1|＝ 7分【考点】1.直线的参数方程的表示.2.定点到中的距离公式.3.弦长公式.18.在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为【答案】【解析】由，即，所以右焦点坐标为（4,0）.又斜率为，故易得所求直线方程为.即.【考点】参数方程、直线的点斜式方程19.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．20.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 .【答案】.【解析】化圆的方程为直角坐标方程为，化为标准方程为，圆心坐标为，直线的直角坐标方程为，它的一般方程为，故圆的圆心到直线的距离是.【考点】1.极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.点到直线的距离21.（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为，则圆的圆心的极坐标是.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为的圆的极坐标方程为.因为，所以此圆的圆心坐标为.【考点】圆的极坐标方程22.在平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线截椭圆所得弦长为．【答案】【解析】椭圆的普通方程为，则右焦点为（1,0）；直线的普通方程为，过（1,0）与直线平行的直线为，由得，所以所求的弦长为.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式和弦长公式.23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．25.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程【答案】（Ⅰ）、；（Ⅱ）或【解析】(Ⅰ) 利用参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程来求；(Ⅱ)利用点到直线的距离来求试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为：； 2分由得，∴曲线的直角坐标方程为： 4分(或：曲线的直角坐标方程为： )（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，又直线的参数方程为：，∴，得，即直线的参数方程为：得直线的普通方程为：， 6分设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： 7分∵曲线是圆心为，半径为的圆，得，解得或 9分故所求切线方程为：或 10分【考点】参数方程化普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，考查学生分析问题、解决问题的能力26.已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．(1)将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆,是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由．【答案】（1），；（2）相交，两圆的相交弦长为.【解析】本题考查坐标系与参数方程、极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用互化公式将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程；第二问，通过数形结合，利用几何性质求相交弦长.试题解析：（1）由（为参数），得，由，得，即，整理得，. 5分（2）由于圆表示圆心为原点，半径为2的圆，圆表示圆心为，半径为2的圆，又圆的圆心在圆上，由几何性质易知，两圆的相交弦长为. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.相交弦问题.27.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.【答案】或【解析】曲线的标准方程为，令，得到极坐标方程为，也可转化为.【考点】圆的参数方程和极坐标方程.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.【答案】.【解析】因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入得到直线的普通方程为.同理得曲线的普通方程为.联立方程组，解得公共点的坐标为，.【考点】本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.30.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t为参数）。
[配套k12学习]专题02 参数方程-一本通之备战2019高考数学(理)选做题
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专题02 参数方程知识通关1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．常见曲线的参数方程普通方程 参数方程过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线y －y 0＝tan α(x －x 0)00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆22221x y a b+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数).（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a ty y b t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数).基础通关1．了解参数方程，了解参数的意义.2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一 参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为(θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|45a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二 参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．（2）对于形如00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【例2】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 故|PA |的最大值与最小值分别为2255，255. 能力通关1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.2．圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．利用参数的几何意义解决问题【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=. （I ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；（II ）若(0,1)P -，且直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求222||+||(||||)PM PN PM PN ⋅的值.【解析】（I ）依题意，曲线C ：()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=， 故曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=； 因为直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=，即3cos sin 10ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为310x y --=.坐标系与参数方程的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()324ρθπ-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(cos ,3sin )αα， 因为曲线2C 是直线，所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值， 易得点P 到直线60x y +-=的距离为|cos 3sin 6|2|sin()3|62d ααα+-π==+-，当且仅当2()3k k απ=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ 取得最小值，最小值为22，此时点P 的直角坐标为13(,)22．【例3】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线2C 上两点，且π6AOB ∠=，求3OA OB -的取值范围.【解析】（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：()22214x y -+=， 由2x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2x x y y =⎧⎨=''⎩，代入上式可知：曲线2C 的方程为()2211x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()1,A ρθ，2π,6B ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭（ππ,23θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭）， ∴12π332cos 23cos 6OA OB ρρθθ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭π2sin 6θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为π2ππ,636θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3OA OB -的取值范围是[)2,1-. 高考通关1．在平面直角坐标系xOy 中，直线21:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）试判断直线l 与曲线C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由. 【解析】（1）由211x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得230x y --=，所以直线l 的普通方程为230x y --=. 由4cos ρθ=两边同乘以ρ得24cos ρρθ=， 因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，所以224x y x +=，配方得22(2)4x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.（2）法一：由（1）知，曲线:C 22(2)4x y -+=的圆心为)0,2(，半径为2， 由圆心到直线的距离公式得)0,2(到直线230x y --=的距离|203|5255d --==<， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点为A 、B ， 所以=||AB 5952)55(2222=-.所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 法二：由（1）知，:l 230x y --=，:C 22(2)4x y -+=，联立方程，得⎩⎨⎧=+-=--4)2(03222y x y x ，消去y 得092252=+-x x ， 因为0304954222>=⨯⨯-， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，由根与系数的关系知52221=+x x ，5921=x x ， 所以5952594)522()21(1||22=⨯-⋅+=AB ， 所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 2．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为π2cos 6ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若射线()π=03θρ>与直线l 交于点P ,与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合),求OQ OP 的值．【解析】（1）由232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为40x y +-=, 把cos ,sin x y ρθρθ==,代入40x y +-=得直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ+=.（2）由题意可得,48ππ13cos sin33OP ==++,ππ2cos 336OQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 所以OQ OP =1333388++⨯=. 3．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为)3,1(，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+.（1）求点P 的极坐标1(,)ρα(02π)α≤<及曲线C 的参数方程； （2）过点P 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若||MN =3，求直线l 的直角坐标方程.【解析】（1） 在平面直角坐标系xOy 中，点P )3,1(是第一象限内的点，∴12ρ=，tan 3α=且π02α<<， π3α∴=， ∴点P 的极坐标为π(2,)3.曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+，θρθρρsin 2cos 442+=+∴，由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得y x y x 24422+=++，∴曲线C 的直角坐标方程为042422=+--+y x y x ，即1)1()2(22=-+-y x ，∴曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）.（2）显然直线l 的斜率存在， ∴可设直线l 的方程为)1(3-=-x k y ，即03=-+-k y kx ，||MN =3，圆C 的半径为1， ∴圆C 的圆心(2,1)到直线l 的距离为21，∴2|13|121k k -+=+，化简得03815)13(832=-+-+k k ，解得3-=k 或3358-=k ， ∴直线l 的直角坐标方程为0323=-+y x 或(853)38380x y --+-=.4．已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=． （1）求直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）相交于A ，B 两点，求点()1,1P 到A ，B 两点的距离之积． 【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=，化为直角坐标方程即31(1)3y x -=-，显然直线l 过点(1,1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为123x ty t⎧=⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为(1sin )2ρθ+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与曲线D 交于,M N 两点，求||MN .【解析】（Ⅰ）消掉参数t ，得曲线C 的普通方程为32y x =-，即230x y +-=. 曲线D 的方程可化为：sin 2ρρθ+=，显然0ρ>， 所以化为直角坐标方程为222x y y ++=， 化简得244x y =-.方法二：将曲线C 的参数方程化为552535x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），并代入曲线D 的直角坐标方程，得2525()44(3)55m m -=-+，整理得2+85400m m +=. 由求根公式解得21,285(85)4404521021m -±-⨯==-±⨯， 故12||||410MN m m =-=.。
2019年高考理科数学分类汇编：坐标系与参数方程(解析版)
解问题．
3．【 2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 在极坐标系中， O 为极点， 点 M ( 0 , 0)( 0 0) 在曲线 C : 4sin 上，
直线 l 过点 A(4,0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（ 1）当 0= 时，求 0 及 l 的极坐标方程； 3
（ 2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
3
4
|4 0 2| 6
所以点（ 1， 0）到直线 l 的距离 d
4 2 32
，故选 D ．
5
，即 4 x 3 y2 0 ，
【名师点睛】 本题考查直线参数方程与普通方程的转化， 基本运算能力的考查．
点到直线的距离， 属于容易题， 注重基础知识、
2．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系
xOy 中，曲线 C 的参数方程为
42
2
【答案】（ 1） 0 2 3 ， l 的极坐标方程为 cos
2； 3
（ 2） 4cos ,
,． 42
【解析】（ 1）因为 M 0, 0 在 C上，当 0 由已知得 |OP | | OA | cos 2 ．
3
时， 0
3
4sin 3
2 3．
设 Q( , ) 为 l 上除 P的任意一点．在 Rt△OPQ 中， cos
x
1 t2 ， 1 t 2 （ t 为参数）．以
4t
y 1 t2
坐 标原点 O 为 极点 ，x 轴 的正 半轴 为极轴 建立 极坐标系 ，直 线 l 的极 坐标 方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（ 2）求 C 上的点到 l 距离 y 1(x 4
2019年全国卷Ⅰ理科数学高考真题及答案解析(word精编)
D． 6
13．曲线 y 3(x2 x)ex 在点 (0，0) 处的切线方程为____________．
14．记
Sn 为等比数列{an}的前
n
项和．若 a1
1 3
，a42
a6
，则
S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________．
A． 5 16
B． 11 32
C． 21 32
D． 11 16
7．已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
A． π 6
B． π 3
C． 2π 3
8．如图是求
2
1 1
2 1
的程序框图，图中空白框中应填入
2
D． 5π 6
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试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
2019年高考真题理科数学(全国卷Ⅲ) Word版含解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{ 答案： A 解答：}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A .2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 答案： D解答：i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.0 答案： C解答：7.0100608090=+-4.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）A.12B.16C.20D.24 答案： A 解答：由题意可知含3x 的项为33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，所以系数为12.5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C解答：设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=，即可解得11a =，则2314a a q ==.6. 已知曲线x x ae y xln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ） A.e a =,1-=b B.e a =,1=b C.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 答案： D解析：令x x ae x f x ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，21)1(=+='ae f ，得11-==e ea .b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.7.函数3222x xxy-=+在[6,6]-的图像大致为（）A.B.C.D.答案：B解析：∵32()22x xxy f x-==+，∴332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，∴()f x为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f-⨯⨯=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线C：22142x y-=的右焦点为F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若||||PO PF=则PFO∆的面积为（）A:C:D:答案: A解析：由双曲线的方程2242x y-=可得一条渐近线方程为2y x=；在PFO∆中||||PO PF=过点P做PH垂直OF因为t a n P O F=2∠得到2PO=;所以1224S P F O∆=⨯=;故选A;11.若()f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A.233231(log)(2)(2) 4f f f-->>B. 233231(log )(2)(2)4f f f -->>C. 233231(2)(2)(log )4f f f -->> D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案： C 解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221l o g 4--<<<<；所以233231(2)(2)(l o g )4f ff-->>；故选C.12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. 二.填空题13.已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若25c a b =-，则cos ,a c = . 答案：23解析：∵()22222545459c a ba b a b =-=+-⋅=，∴3c =，∵()225252a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=，∴22cos ,133a c a c a c⋅===⨯⋅. 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = . 答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d ++⨯====++.15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(. 16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型。
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为__________．【答案】（2，2）【解析】由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）．【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交点．2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确.【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式.4.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )5.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.【答案】【解析】首先将曲线的极坐标方程、直线的参数方程转化为直角坐标方程，可知，曲线是以为圆心，1为半径的圆，由直线的直角坐标方程得，令，可求出点的坐标，则点与圆心的距离可以求，从而可得曲线上的动点与定点的最大值为.试题解析：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为(0,1)，半径直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).从而,所以.即的最大值为。
2019年高考试题及答案——数学理(全国卷)共6页word资料
2019年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 A ．21B ．23C ．1D ．32．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππYB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππY5．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M I6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-8．正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是 A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒309．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b10．函数111--=x y 的图象是 11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2019年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2019年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2019年－2019年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 A ．115000亿元 B ．120000亿元 C ．127000亿元 D ．135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． 13．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ 14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值18．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小19．设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围 20．某城市2019年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，ADE并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？21．设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值22．设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ，Λ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a Λ 参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得 ∴01sin 2=-α，即21sin =α （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形由已知a BN CM ==，1===BE AB CB （II ）由（I ） 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55(Y -（20）解：设2019年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 对于1>n ，有所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+Λ当006.030≥-x，即8.1≤x 时 当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ， 此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么 也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有 于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k。
专题02 参数方程-一本通之备战2019高考数学(理)选做题
专题02 参数方程知识通关1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．常见曲线的参数方程普通方程 参数方程过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线y －y 0＝tan α(x －x 0)00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆22221x y a b+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θθ=+⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。
2019年高考真题+高考模拟题专项汇编：文数——专题13坐标系与参数方程(解析版)
专题13 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷文数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2． 【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π3,6⎫⎪⎭或π3,3⎫⎪⎭或2π3,3⎫⎪⎭或5π3,6⎫⎪⎭． 【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知 若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB= （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2）【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2）2． 【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设Nα，sin α），α∈[0，2π）． 点M的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭． 所以点P 到直线l的距离2d ==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为4,23x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（），即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为22 12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则121287t t t t +==， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 532x t x t y t y t ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-+⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y --=，圆心M 到l的距离为4d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x m y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2）【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程2x y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===．（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x -++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，则12211sin t t α⋅=-+，所以12211sin PA PB t t α⋅==+， 因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，， 所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t tPM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，． 因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+==，解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x yxy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2）35．【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =--=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==，【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=．（2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e ee et t t tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan 3θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10．【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x ty t=⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==-所以MN ===10==．【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程2333x ty t=--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点233P -（，），直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32， 则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得2213(2)(33)22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）．12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===．【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题13坐标系与参数方程文(含解析)
专题13 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷文数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB= （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=， 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题． 7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2）2． 【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设Nα，sin α），α∈[0，2π）． 点M的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭． 所以点P 到直线l的距离2d ==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 532x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-+⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d +==>， ∴直线l 与圆C 相离．【点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2）【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0），又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程2x y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,16π11sin 162x t x y t y t⎧⎧=-+=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x -++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>， 所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2）35． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程为216y x =， （2）直线的参数方程改写为1535x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+， 12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==， 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et t t t x y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=．所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭． （2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-．因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =， 所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线．（2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=，所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12 【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32， 则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
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专题02 参数方程知识通关1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．常见曲线的参数方程普通方程 参数方程过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线y －y 0＝tan α(x －x 0)00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中心在原点的椭圆22221x y a b+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R yy R θθ=+⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。
(θ为参数).（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a ty y b t =+⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。
(t 为参数).基础通关1．了解参数方程，了解参数的意义.2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一 参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为(θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|45a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二 参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．（2）对于形如00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【例2】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 故|PA |的最大值与最小值分别为2255，255. 能力通关1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.2．圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．利用参数的几何意义解决问题【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=. （I ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；（II ）若(0,1)P -，且直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求222||+||(||||)PM PN PM PN ⋅的值.【解析】（I ）依题意，曲线C ：()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=， 故曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=； 因为直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=，即3cos sin 10ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为310x y --=.坐标系与参数方程的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()324ρθπ-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(cos ,3sin )αα， 因为曲线2C 是直线，所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值， 易得点P 到直线60x y +-=的距离为|cos 3sin 6|2|sin()3|62d ααα+-π==+-，当且仅当2()3k k απ=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ 取得最小值，最小值为22，此时点P 的直角坐标为13(,)22．【例3】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线2C 上两点，且π6AOB ∠=，求3OA OB -的取值范围.【解析】（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：()22214x y -+=， 由2x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2x x y y =⎧⎨=''⎩，代入上式可知：曲线2C 的方程为()2211x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()1,A ρθ，2π,6B ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭（ππ,23θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭）， ∴12π332cos 23cos 6OA OB ρρθθ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭π2sin 6θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为π2ππ,636θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3OA OB -的取值范围是[)2,1-. 高考通关1．在平面直角坐标系xOy 中，直线21:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）试判断直线l 与曲线C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由. 【解析】（1）由211x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得230x y --=，所以直线l 的普通方程为230x y --=. 由4cos ρθ=两边同乘以ρ得24cos ρρθ=， 因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，所以224x y x +=，配方得22(2)4x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.（2）法一：由（1）知，曲线:C 22(2)4x y -+=的圆心为)0,2(，半径为2， 由圆心到直线的距离公式得)0,2(到直线230x y --=的距离|203|5255d --==<， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点为A 、B ， 所以=||AB 5952)55(2222=-.所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 法二：由（1）知，:l 230x y --=，:C 22(2)4x y -+=，联立方程，得⎩⎨⎧=+-=--4)2(03222y x y x ，消去y 得092252=+-x x ， 因为0304954222>=⨯⨯-， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，由根与系数的关系知52221=+x x ，5921=x x ， 所以5952594)522()21(1||22=⨯-⋅+=AB ， 所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 2．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为π2cos 6ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若射线()π=03θρ>与直线l 交于点P ,与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合),求OQ OP 的值．【解析】（1）由232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为40x y +-=, 把cos ,sin x y ρθρθ==,代入40x y +-=得直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ+=.（2）由题意可得,48ππ13cos sin33OP ==++,ππ2cos 336OQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 所以OQ OP =1333388++⨯=. 3．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为)3,1(，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+.（1）求点P 的极坐标1(,)ρα(02π)α≤<及曲线C 的参数方程； （2）过点P 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若||MN =3，求直线l 的直角坐标方程.【解析】（1） 在平面直角坐标系xOy 中，点P )3,1(是第一象限内的点，∴12ρ=，tan 3α=且π02α<<， π3α∴=， ∴点P 的极坐标为π(2,)3.曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+，θρθρρsin 2cos 442+=+∴，由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得y x y x 24422+=++，∴曲线C 的直角坐标方程为042422=+--+y x y x ，即1)1()2(22=-+-y x ，∴曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）.（2）显然直线l 的斜率存在， ∴可设直线l 的方程为)1(3-=-x k y ，即03=-+-k y kx ，||MN =3，圆C 的半径为1， ∴圆C 的圆心(2,1)到直线l 的距离为21，∴2|13|121k k -+=+，化简得03815)13(832=-+-+k k ，解得3-=k 或3358-=k ， ∴直线l 的直角坐标方程为0323=-+y x 或(853)38380x y --+-=.4．已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=． （1）求直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）相交于A ，B 两点，求点()1,1P 到A ，B 两点的距离之积． 【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=，化为直角坐标方程即31(1)3y x -=-，显然直线l 过点(1,1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为123x ty t⎧=⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为(1sin )2ρθ+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与曲线D 交于,M N 两点，求||MN .【解析】（Ⅰ）消掉参数t ，得曲线C 的普通方程为32y x =-，即230x y +-=. 曲线D 的方程可化为：sin 2ρρθ+=，显然0ρ>， 所以化为直角坐标方程为222x y y ++=， 化简得244x y =-.方法二：将曲线C 的参数方程化为552535x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），并代入曲线D 的直角坐标方程，得2525()44(3)55m m -=-+，整理得2+85400m m +=. 由求根公式解得21,285(85)4404521021m -±-⨯==-±⨯， 故12||||410MN m m =-=.。