2022届河南省名校联盟高三下学期4月适应性联考理科数学试题(PDF版含答案)

河南省名校联盟高三年级下学期4月份适应性联考
理科数学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B]，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B 的所有元素之和为
A.16
B.18
C.14
D.8
2.复数z＝
5
2i
(其中i为虚数单位)，则z·z＝
A.1
B.3
C.5
D.6
3.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。

如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率
A.1
4
B.
1
3
C.
1
5
D.
1
2
4.已知a＝
1
5
2，b＝log52，c＝
1
2
1
log
5
，则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
5.已知下列四个命题，其中真命题的个数为
①空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面；
②若直线m⊥平面α，直线n//平面α，则m⊥n；
③平面α∩平面β＝直线m，直线a//平面α，直线a//平面β，则a//m；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行。

A.1 B.2 C.3 D.4
6.双曲线C ：22
221x y a b
-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2
⊥x 轴，tan ∠PF 1F 2＝
3
4
，则双曲线的渐近线方程为
A.x ±2y ＝0
B.2x ±y ＝±y ＝0 D.x ＝0
7.如图所示，流程图所给的程序运行结果为S ＝840，那么判断框中所填入的关于k 的条件是
A.k<5？
B.k<4？
C.k<3？
D.k<2？
8.已知f(x)是定义域为R 的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝e x －1，则2≤x ≤3时f(x)的解析式为
A.f(x)＝1－e x －2
B.f(x)＝e x －2－1
C.f(x)＝1－e x －1
D.f(x)＝e x －1－1 9.若函数f(x)＝sin (ωx ＋
3π)(0<ω<3)的图象向右平移56π个长度单位后关于点(2
π
，0)对称，则
f(x)在[－
2
π
，π]上的最小值为
A.－1
B.－
12
C.10.已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为坐标原点，
OA OB OB +=-u u u r u u u r u u r u u u r
，则实数a 的值为
A.±2
B.
C.
11.已知A 、B 是球O 的球面上两点，AB ＝2，过AB 作互相垂直的两个平面截球得到圆O 1和圆O 2，若∠AOB ＝90°，∠AO2B ＝60°，则球的表面积为 A.5π B.10π C.15π D.20π
12.已知函数f(x)＝e x －
3，g(x)＝
12＋ln 2
x
，若f(m)＝g(n)成立，则n －m 的最小值为 A.1＋ln2 B.ln2 C.2ln2 D.ln2－1
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．
.） 13．已知向量(1,2)a =r ，(0,2)b =-r ，(1,)c λ=-r ，若(2)//a b c -r r r
，则实数λ＝______．
14．已知实数,x y ，满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，则3z x y =-的最大值为_______．
15．数列{}n a 满足11
(1)
n n a a n n --=
+(2n ≥，且*n ∈N )，12a =，对于任意*n ∈N 有
n a λ>恒成立，则λ的取值范围是___________.
16．在三棱锥A BCD -中，6,9,AB AC BC BD CD AD ======则三棱锥A BCD -外接球О的表面积为______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．设数列
{}n a 满足()1322n n a a n -=+≥，且12a =，()3log 1n n b a =+.
（1）证明：数列
{}1n a +为等比数列；
（2）设12
2n n n n n c b b ++=
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
18．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，
1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底
面ABCD .
（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π
，求二面角
E B
F A --的余弦值.
19．某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元． （1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．
（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．
20．已知圆1F 的方程为
2249(1)8x y ++=
，圆2F 的方程为22
1(1)8x y -+=
，若动圆M 与圆1F 内
切与圆
2F 外切．
()1求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
()2过直线2x =上的点Q 作圆22:2O x y +=的两条切线，设切点分别是,M N ，若直线
MN 与轨迹C 交于,E F 两点，求EF 的最小值．
21．设函数
()()22ln f x x a x a x
=---．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计
分．
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t
=+=+⎧⎪⎪⎨
⎪⎪
⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
228
2cos ρθ=
-，点P 的极坐
标为4π⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为Q ，求PQ
.
23．已知函数
()13
f x x x =+--.
（1）求不等式()1f x ≥的解集；
（2）当x ∈R ，0<y<1时，证明：1()1y y
f x y y ++≥-.
理科答案
ACACC CBACD DD
13.﹣3 14.10. 15．
5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 16. 84π 17．【详解】（1）因为132(2)n n a a n -=+≥，所以()1131n n a a -+=+，
所以数列{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）因为{}1n a +是首项为113a +=，公比为3的等比数列.所以1
133
3n n n a -+=⋅=，
所以3log 3n
n b n ==，所以112211
22(1)2(1)2n n n n n
n n n n c b b n n n n -+++=
==-+⋅+⋅，
所以
022311
11111111222223232422(1)2n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ， 所以1
1(1)2n n
S n =-
+.
18．【详解】（Ⅰ）//BC DF Q ∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.
又CD AD ⊥Q ，BF AD ∴⊥.又Q 面PAD ⊥面ABCD ，面PAD I 面ABCD AD =，
BF ⊂面ABCD ,BF ∴⊥面PAD ,且BF ⊂面BEF ∴平面BEF ⊥平面PAD .
（Ⅱ）连结PF ，PA PD =Q ，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥
又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，
PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA u u u r ，FB u u u r ，FP u u u
r 分别为x ，y ，z 轴的正方向建
立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =u r
，
()1,1,PC t =--u u u r ，()0,1,0B ，11sin 3n PC n PC π⋅∴=⋅u r u u u r u r u u u r
2=
t ∴=
(P ∴
，11,,222E ⎛- ⎝⎭
,设平面EBF 的法向
量()2,,n x y z =u u r
，
22
110220n FE x y n FB y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⎪⋅==⎩u u v u u u v u u v u u u v
，令1z =
，x ∴=
)
2n =u u r
.
设二面角E BF A --的平面角为
θ12
12
cos n n n n θ⋅∴==⋅u r u u r u r u u r
又θ
为钝角，cos θ∴=，即二面角E BF A --
的余弦值为. 19．【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()23261
5
C P A C ==．
∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为
()()2
2118[1]215525
P C P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．
（2）若小勇选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为360，480，600．
则()232613605C P X C ===，()11
332
634805C C P X C ===，()23261
6005
C P X C ===． 故X 的分布列为
∴()3604806004805
5
5
E X =⨯+⨯+⨯
=（元）． 若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则600100Z Y =-． 由已知，可得12,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1
212
E Y =⨯
=， ∴
()()()600100600100600100500E Z E Y
E Y =-=-=-=（元）． 由上知：()()E X
E Z <，故小勇选择方案一更划算．
20．【详解】（Ⅰ）设动圆M 的半径为r ，∵动圆M 与圆1F 内切，与圆2F 外切，
∴1MF
r =
，且2MF r =+.于是，12122MF MF F F +=>=， 所以动圆圆心M 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为.从而，1a c ==，
所以1b =.故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2
212
x y +=．
（Ⅱ）设直线2x =上任意一点Q 的坐标是()2,t ，切点,M N 坐标分别是()33,x y ，
()44,x y ；则经过M 点的切线斜率33
x
k y =-，方程是332x x y y +=，
经过N 点的切线方程是442x x y y +=，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q ()2,t .
则有334
422
22x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以经过,M N 两点的直线l 的方程是22x ty +=，
①当0t =时，有()1,1M ，()1,1N -
，E ⎛ ⎝⎭
，1,F ⎛ ⎝⎭
，则EF =
②当0t ≠时，联立22
22
12
x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222
816820t x x t +-+-=； 设,E F 坐标分别为()55,x y ，()66,x y ，则5622562168
828x x t t x x t ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
，
所以
)22248
8
t EF t t +==
=>++ 综上所述，当
时，EF
21．【详解】（1）(0,)x ∈+∞．
22(2)(2)(1)
()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x
----+'=---==．
当0a …时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即()f x 的单调递增区间为
(0,)+∞．
当0a >时，由()0f x '>得2a x >
；由()0f x '<，解得02a x <<． 所以函数()f x 的单调递增区间为(,)2
a +∞，单调递减区间为(0,)2
a ．
（2）由（1）可得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值()02
a f <，即
244ln
02a a a a -+-<．0a >Q ，∴4ln 402a a +->．令()4ln 402
a
h a a =+->，可知()h a 在(0,)+∞上为增函数，且h （2）2=-，h （3）
381
4ln 1ln 1ln 10216
e =-=->-=，
所以存在零点0()0h a =，0(2,3)a ∈，
当0a a >时，h （a ）0>；当00a a <<时，h （a ）0<． 所以满足条件的最小正整数3a =．
又当3a =时，f （3）()32ln30=->，f （1）0=，3a ∴=时，()f x 由两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．
22．【详解】（1）C ：2
22222
2
82cos 802802cos x y ρρρθθ
=
⇒--=⇒+-=-，
所以，曲线C 的直角坐标方程是2
2
280x y +-=.点P 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，化为直角坐
标得(2,2)P
（2）将直线l 的参数方程32,542,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入22280x y +-=中， 整理得2412201000t t ++=，22204411000∆=-⨯⨯>，此方程有不等实数根. 直线l 经过定点(2,2)P .设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-.已知Q 是线段MN 的中点，PQ 对应于参数取值1202t t t +=， 所以12110241
t t PQ +==. 23．【详解】（1）当1x <-时，131x x --+-≥，不合题意； 当13x -≤≤时，131x x ++-≥，解得
332
x ≤≤；当3x >时，1341x x +-+=≥恒成立， 24．∴3x >． 则不等式的解集为3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（2）max ()13134()4f x x x x x f x =+--≤+-+==，，
max 11224()11y y y y f x y y y y +-+=++≥==-- 1()1y y f x y y
+∴+≥-。