山西省忻州市曹张乡办中学2018-2019学年高三数学文月考试题含解析

山西省忻州市曹张乡办中学2018-2019学年高三数学文
月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 集合A＝|＝，其中＋＝5，且、∈N所有真子集个数（）A．3 B．7 C．15
D．31
参考答案：
C
2. 在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线的顶点坐标是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
本题主要考查抛物线方程、直线的斜率、直线与抛物线、直线与圆的相切问题，同时考查分析和解决问题的逻辑思维能力、运算能力，难度中等．
设平行于割线的直线与抛物线切于点，斜率为k，则切线方程为
，又，所以①，因为切线与过点
、
的割线平行，所以有，即②，代入抛物线方程得
③。

切线与圆相切，所以④，由①②③④可得a=4,所以顶点为（-2，-9），选择A。

3. 下列函数中在区间上单调递增的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
根据函数的单调性可知对数函数在上单调递增，选C.
4. 关于x的方程有负根而无正根，则k的取值范围为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
5. 若，则的解集为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
6. 已知椭圆，则下列结论正确的是（）
A.长轴长为
B.焦距为
C.短轴长为
D.离心率为
参考答案：
D
由椭圆方程化为标准方程可得
所以
长轴为，焦距，短轴，离心率
所以选D
7. 在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；
②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.
其中真命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
参考答案：
D
【考点】立体几何综合
【试题解析】
①②都对，平面为：正方体三个相邻平面的面对角线构成的平面；
③④都对，直线为：正方体的体对角线。

8. 若函数在内有极小值，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 已知是三角形的最大内角，且，则曲线的离心率为A． B． C．
D．
参考答案：
D
10. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 四名学生按任意次序站成一排，则或在边上的概率为.
参考答案：
12. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由向量垂直的条件得到（﹣λ）?=0，求出向量AB，AC的坐标和模，再由数量积的坐标公式，即可求出实数λ的值．
【解答】解：∵向量=﹣λ，⊥，
∴=0，即（﹣λ）?=0，
∴=λ
∵，，
∴=6，||=2，
∴λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示、向量垂直的条件、向量的模，考查基本的运算能力，是一道基础题．
13. 已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为．
参考答案：
﹣5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，
直线y=的截距最小，此时z最小，
由，得，即B（﹣1，﹣2）
此时z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．
故答案为：﹣5．
14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
参考答案：
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体的直观图是四面体，求出每个面的面积，即可得出结论．【解答】解：几何体的直观图是四面体，每个面的面积分别为
+2×2++
=，
故答案为．
15. 已知函数在区间上的最大值是2，则的取值范围
是．
参考答案：
16. 设满足约束条件若目标函数的最大值为1,
则的最小值为_________.ks5u
参考答案：
4
17. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A=．
参考答案：
{1，3，5，7}
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．，
（1）求B；
（2）若b=2，求ac的最大值．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）在△ABC中，∵a=bcosC+csinB，得sinA=sin（B+C）
=sinBcosC+sinCsinB，化为：cosBsinC=sinCsinB，s可得：tanB=，即可求得B．
（2）由正弦定理得
y=ac=2RsinA?2RsinC==．由
0，0＜﹣A，．即＜2A﹣＜，sin（2A﹣），可得ac的最大值
【解答】解：（1）在△ABC中，∵a=bcosC+csinB，
∴sinA=sinBcosC+sinCsinB，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB，
化为：cosBsinC=sinCsinB，sinC≠0，
可得：tanB=，B∈（0，π），∴B=．
（2）由正弦定理得，
∴y=ac=2RsinA?2RsinC==．
∵0，0＜﹣A，∴．
故＜2A﹣＜，∴sin（2A﹣），
∴∴．∴ac的最大值为为4．
19. 某学校举行元旦晚会，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高
个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率.
参考答案：
(1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，
所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人.
“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种.
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝.
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm，182 cm，184 cm，187 cm，191 cm；有2名女志愿者身高为180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm，181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181，180)，(181，181)，(182，180)，(182，181)，(184，180)，(184，181)，(187，180)，(187，181)，(191，180)，(191，181)，共10种情况，
身高相差5 cm以上的有(187，180)，(187，181)，(191，180)，(191，181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为＝.
20. 已知函数.
（I）求函数的单调区间和极值；
（II）证明：当时，.
参考答案：
（I）————————————1分
在上是增的；在上是减的——————3分
当时，有极大值————————————————4分
当时，有极小值————————————————5分
（II）设
，——————————————————6分
，
当时，，在上增，——8分
所以，在上增————10分
，所以————————12分
略
21. （本小题满分13分）
现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．
记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．
参考答案：
（Ⅰ）解：，………… 2分
；………………4分
（Ⅱ）解：，．……………………………… 6分因为，
所以．………………………………8分
（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明．…………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分所以．…………………………13分法二：对任何，
当时，
；………………………………………10分当时，
综上，．………………………………………13分
22. 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D、E分别为BC、CC1中点，
BC1⊥B1D．
求证：(1) DE∥平面ABC1；(2) 平面AB1D⊥平面ABC1．
参考答案：
证明：(1) ∵ D、E分别为BC、CC1中点，∴ DE∥BC1.(2分)
∵ DE平面ABC1，BC1平面ABC1，∴ DE∥平面ABC1.(6分)
(2) 直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵ AD平面ABC，∴ CC1⊥AD.(8分) ∵ AB＝AC，D为BC中点，∴ AD⊥BC.∵ CC1∩BC＝C，CC1，BC平面BCC1B1，∴ AD⊥平面BCC1B1.∵ BC1平面BCC1B1，∴ AD⊥BC1.(11分)
∵ BC1⊥B1D，B1D∩AD＝D，B1D，AD平面AB1D，∴ BC1⊥平面AB1D.
∵ BC1平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1.(14分)。