高一数学上学期期末考试试题理含解析1

卜人入州八九几市潮王学校HY 二零二零—二零二壹高一数学上学期期末考试试题理
〔含解析〕
第一卷〔选择题一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的． 1.cos120︒
=〔〕
A.
12 B.12
-
C. 【答案】B 【解析】 【分析】
运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可．
【详解】0000
1
cos120cos(18060)cos602
=-=-=-
，故此题选B ． 【点睛】此题考察了诱导公式，特殊角的三角函数，属于根底题.
R ，集合{}3M x x =<，{}1N x x =<，那么R M
C N =()
A.∅
B.{}13x x <<
C.
{}
13x x ≤<
D.
{}13x x ≤≤
【答案】C 【解析】
分析：先求出R C N ，再根据集合的交集运算，即可求解结果. 详解：由题意，集合{}1N x x =<，
所以{}1R C N
x x =≤，又由集合{}3M x x =<，
所以R M
C N ={}13x x ≤<，应选C.
点睛：此题主要考察了集合的混合运算，纯熟掌握集合的交集、并集、补集的运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.
3.以下四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A.
1y x =-
B.
tan y x =
C.
3y x =
D.
2y x
=-
【答案】C 【解析】
易知
1y x =-为非奇非偶函数，故排除选项
A ，因为π5πtan
tan =134>，111222
-=>--，故排除选项B 、D ，而
3y x =在定义域R 上既是奇函数又是单调递增函数.应选C.
4.如图，在菱形ABCD 中，以下式子成立的是〔〕 A.
AB CD = B.AB BC = C.AD CB = D.AD BC =
【答案】D 【解析】
解：利用菱形的性质可知，第一问中方向不同，错误；选项B 中显然不一共线，因此错误．AD BC =,因
此C 不对；只有D 正确． 5.sin()0,cos()0π
θπθ+<-<，那么角θ所在的象限是〔〕
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意，由于sin()0-sin 0,cos()0-cos 0πθθπθθ+<⇔<-<⇔<，那么说明
正弦值和余弦值都是正数，因此可知角θ所在的象限是第一象限，应选A. 考点：三角函数的定义
点评：主要是考察了三角函数的定义的运用，属于根底题．
2
，log2的大小顺序是〔〕 2
＜log2＜22
＜2＜log2
C.log 0.32＜22
D.log 2
＜2
【答案】D 【解析】
试题分析：由得：0.3
21>，200.31<<，0.3log 20<，所以20.3
0.3log 20.32
＜＜.应选D.
考点：指数函数和对数函数的图像和性质.
sin 2cos2y x x =+
的图象，可以将函数2y x =的图象〔〕
A.向右平移4π
个单位 B.向左平移
4π
个单位 C.向右平移8
π
个单位
D.向左平移8
π
个单位
【答案】D 【解析】
试题分析：因为
sin 2cos 2)4
y x x x π
=+=+
，所以将函数2y x =的图象向左平移
428
π
π=个单位，选D. 考点：三角函数图像变换
【易错点睛】对y ＝Asin 〔ωx＋φ〕进展图象变换时应注意以下两点：
〔1〕平移变换时，x 变为x±a〔a ＞0〕，变换后的函数解析式为y ＝Asin[ω〔x±a〕＋φ]； 〔2〕伸缩变换时，x 变为
x k 〔横坐标变为原来的k 倍〕，变换后的函数解析式为y ＝Asin 〔k
ωx ＋φ〕．
()ln 21f x x x =+-的零点所在的区域为〔〕
A.104⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
B.1142⎛⎫
⎪⎝⎭
， C.1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
()12，
【解析】 【分析】
根据函数的解析式求得()1()102
f f <，根据函数的零点的断定定理求得函数()21f x lnx x =+-的零点所在区间． 【详解】解：
函数()21f x lnx x =+-，定义域为
()0,∞+，且为连续函数，
11()022f ln ∴=<，()110f =>，()1
()102
f f ∴<，
故函数()21f x lnx x =+-的零点所在区间为1
(,1)2
， 应选：C ．
【点睛】此题主要考察函数的零点的断定定理的应用，属于根底题．
38
sin cos α⋅α=
，且42ππα<<
，那么cos sin αα-的值是
A.1
2-
B.
12
C.
14
D.14
-
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：由4
2
π
π
α<<
，那么sin cos α
α>，
那么1
cos sin 2
α
α-===-
.故此题答案应选A. 考点：同角间根本关系式．
10.tan 34πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
,那么
2sin cos 3cos 25cos 23sin 2ααααα+-=〔〕
A.
5
2 B.
133
C.2
D.4
【答案】B 【解析】
根据两角和的正切公式求出tan α，再根据二倍角公式以及同角三角函数的根本关系将弦化切，代入求值即可.
【详解】解：
tan 34πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
解得1tan 2
α=
应选：B
【点睛】此题考察三角恒等变换以及同角三角函数的根本关系，属于中档题.
()f x 在(,)-∞+∞上图像关于y 轴对称，假设对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)
x ∈时，
2()log (1)=+f x x ，那么(2020)(2019)f f -+的值是〔〕
A.2-
B.1-
C.1
D.2
【答案】C 【解析】 【分析】
据条件即可知()f x 为偶函数，并且()f x 在[0，)+∞上是周期为2的周期函数，又[0x ∈，2)时，
2()log (1)=+f x x ，从而可得出(2020)(2020)(0)0f f f -===，()(2019)11f f ==，从而找出
正确选项．
【详解】解：函数()f x 在(,)-∞+∞上图象关于
y 轴对称；
()f x ∴是偶函数；
又0x
时，(2)()f x f x +=；
()f x ∴在[0，)+∞上为周期为2的周期函数；
又[0x ∈，2)时，
2()log (1)=+f x x ；
(2020)(2020)(021010)(0)0f f f f ∴-==+⨯==，()(2019)(121009)11f f f =+⨯==；
(2020)(2019)1f f ∴-+=．
应选：C ．
【点睛】考察偶函数图象的对称性，偶函数的定义，周期函数的定义，以及函数求值，属于中档题．
()2
2122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩
,假设关于x 的方程()f x a =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且
1234x x x x <<<，那么2
12344
x x x x x ++
的取值范围是〔〕
A.
()3,-+∞
B.
(),3-∞
C.
[)3,3-
D.
(]3,3-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出．
【详解】
()2
2122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩
可画函数图象如下所示 假设关于x 的方程
()f x a =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，
当2|log |2x =时解得1
4
x =
或者4x = 1x ，2x 关于直线2x =-对称，那么124x x +=-，
令函数
()4
f x x x
=+
-(]1,4x ∈，那么函数在(]1,4上单调递增， 故当4x =时()()max
34
4
44f x f -+=== 故当1x =时()1131
4
f =+=--
所以
()(]3,3f x ∈-
即(]2
12
34
4
3,3x x x x x ++
∈- 应选：D
【点睛】此题考察函数方程思想，对数函数的性质，数形结合是解答此题的关键，属于难题.
第二卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
()f x =211{21x x x x
+≤>，那么((3))f f =
【答案】
139
【解析】
由题意得
2(3)3f =
， ∴22213
((3))()()1339
f f f ==+=．
答案：139
．
(1,1),(1,5)A B -，假设1
2
AC AB =，那么点C 的坐标为_________.
【答案】〔0,3〕 【解析】 【分析】
设点C 的坐标，利用1
2
AC AB =
，求解即可． 【详解】解：点(1,1)A ，(1,5)B -，(2,4)AB =-，
设(,)C a b ，
(1)1,AC a b =--
，1
2
AC AB =
， (1a ∴-，1
1)(2,4)2
b -=-，解得0a =，3b =．
点C 的坐标为(0,3)， 故答案为：(0,3)．
【点睛】此题考察向量的坐标运算，向量相等的应用，属于根底题．
()cos22sin x x f x =+的最小值为______.
【答案】3- 【解析】 【分析】
先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
()2cos22sin 12sin 2sin x x x f x x =+=-+
所以令sin t x =，那么()2213
2212(),[1,1]22
y t t t t f x ==-++=--+∈-
因此当1t
=-时，()f x 取最小值3-，
故答案为：3-
【点睛】此题考察二倍角余弦公式以及二次函数最值，考察根本分析求解才能，属根底题.
16.①函数y =sin 2x 的单调增区间是[35,44
k k ππ
ππ++]，〔k ∈Z 〕；②函数y =tanx 在它的定义域内是增函数；③函数y =|cos 2x |的周期是π；④函数y =sin 〔52
x π
+〕是偶函数；其中正确的选项是
____________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】 ①由2222
2
k x
k π
π
ππ-++，解得()4
4
k x
k k Z π
π
ππ-
++∈．可得函数sin 2y x =的单调增区
间； ②函数tan y x =在定义域内不具有单调性；
③由
()()2
f x f x π
+=，即可得出函数|cos 2|y x =的最小正周期；
④利用诱导公式可得函数5sin(
)cos 2
y x x π
=+=，即可得出奇偶性．
【详解】解：①由2222
2
k x
k π
π
ππ-
++，解得()4
4
k x
k k Z π
π
ππ-
++∈．可知：函数
sin 2y x =的单调增区间是3[
4k ππ+，5]4
k ππ+，(
)k ∈Z ，故①正确； ②函数tan y x =在定义域内不具有单调性，故②不正确；
③
()|cos(2)||cos2|2f x x x π
π+=+=，因此函数|cos 2|y x =的最小正周期是2π
，故③不正确；
④函数5sin()cos 2
y x x π
=+=是偶函数，故④正确． 其中正确的选项是①④． 故答案为：①④．
【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
α
的终边与单位圆交于点43(
,)55
P ． 〔1〕写出sin α、cos α、tan α值；
〔2〕求sin()2sin()2
2cos()
π
πααπα++--的值． 【答案】〔1〕sin α=
35；cos α=4
5
；tan α=
34
〔2〕5
8-
【解析】
试题分析：〔1〕根据角α的终边与单位圆交于点
43,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，结合三角函数的定义即可得到sin α、cos α、tan α的值；〔2〕根据三角函数的诱导公式化简即可，
()()sin 2sin sin 2cos 22cos 2cos ππαααα
παα
⎛⎫
++- ⎪
-+⎝⎭=--，最后利用第〔1〕小问的结论得出答案.
试题解析：〔1〕角α的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
343
sin ;cos ;tan 554
ααα===.
〔2〕
()()π38sin π2sin sin 2cos 525582cos π2cos 85
αααααα⎛⎫++--+
⎪-+⎝⎭===----. 点睛：此题考察任意角的三角函数的定义，即当角α的终边与单位圆的交点为
(),μν时，那么
sin αν
=，cos αμ=，tan ναμ
=
，运用诱导公式化简求值，在化简过程中必须注意函数名是否改变
以及符号是否改变等．此题是根底题，解答的关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识.
18.3cos()(,)4
1024
x x π
ππ-
=
∈. 〔1〕求sin x 的值； 〔2〕求sin(2)3
x π
+的值. 【答案】(1)
45
；
(2)2450
+-
. 【解析】
【详解】试题分析：〔1〕先判断
4
x π
-
的取值范围，然后应用同角三角函数的根本关系式求出
sin()4x π-，将所求进展变形sin sin[()]44
x x ππ
=-+，最后由两角和的正弦公式进展计算即可；〔2〕
结合〔1〕的结果与
x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、
cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进展展开计算即可.
试题解析：〔1〕因为3(
,
)24x ππ
∈，所以(,)442
x π
ππ
-
∈
，于是
sin()410
x π-==
〔2〕因为3(
,
)24x ππ
∈
，故3
cos 5
x ===-
所以中sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x π
π
π
+=+= 考点：1.同角三角函数的根本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 〔1〕求()3f π
的值； 〔2〕求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】〔1〕2；〔2〕最小正周期为π，单调递增区间为,63k k π
πππ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．
【解析】
【分析】
〔1〕直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． 〔2〕直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】解：〔1〕22()sin cos cos f x x x x x =-+，
cos22x x =-，
2sin(2)6
x π=-， 即()2sin(2)6
f x x π=- 那么2()2sin(
)2336f π
ππ=-=， 〔2〕由〔1〕知()2sin(2)6
f x x π=- ()f x ∴的最小正周期为22T ππ=
=， 令：222262k x k π
π
π
ππ-+-+，()k ∈Z ， 得：63
k x k π
π
ππ-+，()k ∈Z ， 所以函数的递增区间为：,63k k π
πππ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．
【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，周期性的应用，属于中档题．
f 〔x 〕＝Asin 〔ωx +φ〕〔A ＞0，ω＞0，0＜φ＜
2π〕的图象如下列图． 〔1〕求函数f 〔x 〕的解析式及其对称轴方程
〔2〕求函数f 〔x 〕在区间[﹣2
π，﹣12π]上的最大值和最小值，并指出获得最值时的x 的值． 【答案】〔1〕()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；对称轴()62k x k Z ππ=+∈ 〔2〕当12x
π=-时，()max 0f x =；当3x π=-时，()min 2f x =-
【解析】
【分析】 〔1〕由图知，2A =，由T π=，可求得ω，由2sin(2)26
ϕπ⨯+=可求得ϕ； 〔2〕根据x 的范围求出26x π
+的取值范围，再根据正弦函数的性质求解.
【详解】解：由图可知2A =，4612T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，T π∴= 又图象过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 232k π
πϕπ∴+=
+，()k Z ∈ 解得26k π
ϕπ=+，()k Z ∈ 令262
x k π
ππ+=+，()k Z ∈ 解得62k x ππ=+，()k Z ∈ 故函数的对称轴为62k x π
π
=+，()k Z ∈
〔2〕,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
由正弦函数的性质可知，
当206x π+=即12x π
=-时()max 2sin 2012126f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当262x π
π
+=-即3x π
=-时()min 2sin 22336f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故当12x π
=-时，()max 0f x =；当3x π
=-时，()min 2f x =-
【点睛】此题考察：由sin()y A x ωϕ=+的局部图象确定其解析式，考察函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换及三角函数性质的综合应用，属于中档题．
21.,,A B C 为ABC ∆的三个内角，向量()22sin ,sin cos A A A =-+m 与向量
()sin cos ,1sin A A A =-+n 一共线，且角A 为锐角.
(1〕求角A 的大小；
〔2〕求函数22sin cos 22
B C B y -=+的值域. 【答案】(1)60；〔2〕1
22，
⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】
【分析】
〔1〕根据平行向量的坐标关系即可得到〔2﹣2sin A 〕〔1+sin A 〕﹣〔sin A +cos A 〕〔sin A ﹣cos A 〕＝0，这样即可解出tan 2A ，结合A 为锐角，即可求出A 3π
=；
〔2〕由B +C 120=︒便得C 120B =︒-，从而得到602
C B B -=︒-，利用二倍角的余弦公式及两角差的正余弦公式即可化简原函数y ＝1+sin 〔B 30-︒〕，由前面知0120B ＜＜︒，从而可得到B 30-︒的范围，结合正弦函数的图象即可得到()30sin B -︒的范围，即可得出原函数的值域．
【详解】〔1〕由m ∥n ，得〔2﹣2sin A 〕〔1+sin A 〕﹣〔sin A +cos A 〕〔sin A ﹣cos A 〕＝0，
得到2〔1-sin 2A 〕-sin 2A+cos 2A =0，
所以2cos 2A -sin 2A+cos 2A =0，即3cos 2A -sin 2A =0
得2tan 3A =，所以tan A =
且A 为锐角，那么60A =︒.
〔2〕由〔1〕知，120B C
+=︒，即120-C B =︒,
2
2sin cos 22B C B y -=+=()1cos cos 60B B -+︒-,
所以，11-cos 2y B B =+
=()1sin -30B =+︒， 且0120B ︒<<︒，那么303090B -︒<-︒<︒, 所以()1sin 3012B -<-︒<，那么122y <<，即函数的值域为122⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. 【点睛】此题考察平行向量的坐标的关系，同角根本关系及向量数量积的计算公式，考察了利用正弦函数的图象求最值及二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式等，属于综合题型．
212
1()log ()f x x =+，26()g x x ax =-+.
〔1〕假设关于x 的不等式()0<g x 的解集为{|23}x x <<，当1x >时，求()1
g x x -的最小值； 〔2〕假设对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，务实数a 的取值范围．
【答案】(1)3(2)11 2
a -≤≤【解析】
【分析】
〔1〕先求出a=5，再构造根本不等式，即可求出最小值；
〔2〕先根据复合函数的单调性，求出函数f 〔x 〕max =﹣1，那么可得x 2﹣ax+7≥0在[﹣2，4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a 的范围．
【详解】〔1〕由题意可知235a =+=， ∴()()256213111
g x x x x x x x -+==-+----，
又∵1x >，∴()21331
x x -+-≥-，
∴()31g x x ≥-，即()1g x x -的最小值为3，取“=〞时1x =.
〔2〕∵1x ≥时，
()()212log 11f x x =+≤-， ∴2
61x ax -+≥-在[]2,4x ∈-上恒成立. 记()27F x x ax =-+〔24x -≤≤〕，
①当4a ≤-时，()()min 2211F x F a =-=+， 由1121102a a +≥⇒≥-，∴1142a -≤≤-. ②当48a -<<时，()2
min 724a a F x F ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，
由2
704
a a -+≥⇒-≤≤，∴4a -<≤ ③当8a ≥时，()()min 4423F x F a ==-+， 由2342304
a a -+≥⇒≤
，∴a ∈∅.
综上所述，a 的取值范围是112a -≤≤ 【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或者二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：〔1〕轴固定区间也固定；〔2〕轴动〔轴含参数〕，区间固定；〔3〕轴固定，区间动〔区间含参数〕.找最值的关键是：〔1〕图象的开口方向；〔2〕对称轴与区间的位置关系；〔3〕结合图象及单调性确定函数最值.。