湖南省湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学2024届高三8月开学考试数学试题
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( ) A． 3 + 3, 2 + 2 3
( ) B． 3 + 3,4 + 2 3
( ) C． 3 + 3,6 + 2 3
( ) D． 3+ 3,+¥
7．已知 C，D 是圆 O : x2 + y2 = 9 上两个不同动点，直线 (m +1) x + y - (m + 2) = 0 恒过
定点 P ，若以 CD 为直径的圆过点 P ，则 CD 最小值为（ ）
B．若
f
æ çè
1 2
ö ÷ø
=
-
1 2
，则
f
æ çè
40 ö 41 ÷ø
=
-2
C．若 f (2 - x) + g ( x) = 4 ，则 g ( x) 的图像关于点 (2, 4) 对称
D．若a
Î
æ çè
0,
π 4
ö ÷ø
，则
f
(sin
2a
)
>
2
f
( sin a
)
三、填空题 13．在 (3 - x)7 的展开式中， x6 的系数是
考数据： lg 2 » 0.3 ， lg 3 » 0.477 ）
A．7
B．8
C．9
D．10
试卷第11 页，共33 页
5．已知函数
y
=
f
( x) 对于任意的
x∈
æ çè
-
ππ, 22
ö ÷ø
满足
f
¢( x)cos
x+
f
( x)sin
x
>
0
（其中
f ¢( x) 是函数 f ( x) 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
r a
r ×b
r ar a
= -6brr2
r ar
2b 2b
=
-
3 2
r a
，
故选：C 4．B 【分析】设该污染物排放前需要过滤的次数为 n(n Î N* ) ，则由题意得1.8´ (1- 20%)n £ 0.3 ， 解不等式可得答案. 【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为 n(n Î N* ) ，则由题意得
x10 + 2 的方差为 2
C．若随机变量 X 服从正态分布 N (2,s 2 ) ， P ( X £ 3) = 0.64 ，则
P (1 £ X £ 2) = 0.14
( ) D．若
P
(
A)
=
1 2
，
Pห้องสมุดไป่ตู้
(
B
A)
=
1 4
，
P
B
A
=
2 3
，则
P
(
B
)
=
7 24
11．已知双曲线
C
：
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点 F2 (
对于
B
πi
选项， e 2
=
cos
π2π+ i sin
2
=
i
为纯虚数，B
错；
( )( ( ) ) 对于 C 选项，因为
exi (cos x + i sin x) 3 - i
=
3+i
3+i 3-i
= sin x + 4 3 cos x +
3
sin
x4
cos
x
i
，
( ) 因此，
e xi =
3+i
æ ççè
x
Î
æ çè
1 e
,
+
¥
ö ÷ø
，
f
(x)
³
0
恒成立，求实数
m
的取值范围.
22．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
0)
的离心率为
1 2
,
A1
,
A2
分别为椭圆 C
的左右顶点，
F1, F2 分别为椭圆 C 的左右焦点， B 是椭圆 C 的上顶点，且 VBA1F1 的外接圆半径为 2 21 ．
]
w 上有且仅有四个零点，则
的取值
范围为 ．
16．在
VABC
中， ÐBAC
=
π 2
，
AB
=
2
，
AC
=1
，点
D
为边
BC
边上一动点，将
△ABD 沿着 AD 翻折，使得点 B 到达 B¢ ，且平面 AB¢D ^ 平面 ACD ，则当 B¢C 最小时， CD 的长度为 .
四、解答题
17．已知等差数列{an} 的公差 d ¹ 0 ，其前 n 项和为 Sn ，若 a1 ， a2 ， a5 成等比数列，且
A． eπi = 1
πi
B． e 2 为实数
C．
e xi
1
3+i = 2
D．复数 e2i 对应的点位于第三象限
3．已知
r a
=
2
r b
rr ，若 a 与 b
rr 的夹角为 120°，则 2b - a
r 在 a 上的投影向量为（
）
r A． 3 - 3a
B．
-
1 2
r a
C．
-
3 2
r a
r D． 3a
分”的概率，探求 an 与 an-1 (n ³ 2) 的关系，并求数列{an} 的通项公式. 21．已知函数 f ( x) = ( x -1)ln x - m( x + 1) .
(1)若 m = 1，求曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切线方程；
试卷第61 页，共33 页
(2)若对任意的
（用数字作答）.
14．已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线与 P,Q 两点，
且1 PF
+
1 FQ
= 8 ，则拋物线的准线方程为
.
试卷第41 页，共33 页
15．若函数
f
(x)
=1-
2 sin 2
æçè w x
-
π 6
ö ÷ø
(w
>
0)
在[0,π
，若曲线
f
(x)
存在“优美点”，则实
数 k 的取值范围为（ ）
试卷第21 页，共33 页
( ) ( A． -¥, 2 - 3 B． -¥, 2 - 2 3ùû
) C． éë2 - 3, +¥
( ) D． 2 - 2 3, +¥
二、多选题 9．已知 a > 0,b > 0 ，且 2a + b = 2 ，则（ ）
3 3
，则 ÐF1PF2
=
2π 3
12．若定义在 (-1,1) 上的函数
f
( x) 满足
f
( x) +
f
( y)
=
f
æ ç è
x+ y 1+ xy
ö ÷ ø
，且当
x
>
0 时，
f ( x) < 0 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 x1 ， x2 Î(-1,1) ， x2 > x1 ，则 f ( x1 ) + f ( x2 ) > 0
A． 4 - 2
B． 4 + 2
C．8 - 2 2
D． 6 - 2
8．对于函数 y = f ( x) ，若存在 x0 ，使 f ( x0 ) + f (-x0 ) = 0 ，则称点 ( x0, f ( x0 )) 是曲线
f
(x)
的“优美点”，已知
f
(x)
=
ìx2 íîkx
+ 2x, + 3, x
x<0 ³0
4．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步， 人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为
1.8mg / cm3 ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 20%，贵州省环保部门为
了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过 0.3mg / cm3 ，若 要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参
3
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点（ P,Q 在 x 轴的两侧），记直线
A1P, A2P, A2Q, A1Q 的斜率分别为 k1, k2 , k3, k4 ． （i）求 k1 × k2 的值；
（ii）若
k1
+
k4
=
5 3
( k2
+
k3
)
，则求 △F2 PQ
uuur PG
=
1 4
uuur PC
.
(1)证明： A,G, F, E 四点共面； (2)求平面 ABF 与平面 AEF 的夹角的大小. 20．新宁崀山景区是世界自然遗产､国家 5A 级景区，其中“八角寨”景区和“天下第 一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角 寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一 巷”景区记 2 分，若继续游览“天下第一巷”景区记 4 分，假设每位游客选择游览
A． f (0) >
2
f
æ çè
π 4
ö ÷ø
B．
2f
æ çè
-
ππö 3 ÷ø
>
f
æ çè
-
ö 4 ÷ø
C．
2
f
æ çè
ππö 3 ÷ø
>
f
æ çè
4
ö ÷ø
D．
f
(0)
>
2
f
æ çè
π 3
ö ÷ø
6．已知锐角
VABC
的内角
A
，
B
，C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
B
=
π 3
，
c
=
2
，则
VABC 的周长的取值范围为（ ）
所以 A I B = (0,3) .
故选：C. 2．C 【分析】利用复数的欧拉公式可判断 AB 选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数
exi ，结合复数的模长公式可判断 C 选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断 D
3 +i
选项. 【详解】对于 A 选项， eπi = cosπi+sinπ1 = - ，A 错；
的面积的取值范围．
试卷第71 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】解一元二次不等式求出集合 A ，求出函数 y = ex 的值域可得集合 B ，再求交集即可.
【详解】解不等式 x2 - 2x - 3 < 0 得 -1 < x < 3 ，函数 y = ex 的值域为 (0, +¥ ) ，
所以 A = (-1,3), B = (0, +¥) ，
1.8´ (1- 20%)n
£
0.3
，即
æ çè
5 ön 4 ÷ø
³
6，
所以
lg
æ çè
5 4
ön ÷ø
³
lg
6
，
n
lg
10 8
³
lg 2 + lg 3 ，
n(1- 3lg 2) ³ lg 2 + lg 3 ，
A．
ab
的最小值是
1 2
B．
1 a
+
2 b
的最小值是
4
C．
1 a2
+
4 b2
的最小值是
8
D． (2a +1)(b +1) 的最小值是 2 6
ab
10．下列说法正确的是（ ） A．相关系数 r 越大，两变量的线性相关程度越强
B．若一组数据 x1 ， x2 ， x3 ，…， x10 的方差为 2，则 x1 + 2 ， x2 + 2 ， x3 + 2 ，…，
“天下第一巷”景区的概率均为 1 ，游客之间选择意愿相互独立. 3
(1)从游客中随机抽取 2 人，记总得分为随机变量 X ，求 X 的数学期望；
( ) (2)（i）记 pk k Î N* 表示“从游客中随机抽取 k 人，总分恰为 2k 分”的概率，求{ pk }
的前 4 项和；
( ) （ii）在对游客进行随机问卷调查中，记 an n Î N* 表示“已调查过的累计得分恰为 2n
答案第11 页，共22 页
故选：C. 3．C 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.
( ) 【详解】
rr 2b - a
×
r a
=
r -a
2
+
r 2a
×
r b
=
r -4b
2
+
4
r b
2
cos120o
=
r -6b
2
，
( ) r r r
2b - a a 在 上的投影向量为
rr 2b - a
A． Æ
B．(-1, +¥)
C． ( 0, 3)
D． (1, 3)
2．欧拉公式 exi = cos x + i sin x （其中 i 为虚数单位， x Î R ）将指数函数的定义域扩大 到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位， 被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
sin
x
+
4
3
cos
x
ö2 ÷÷ø
+
æ ççè
3 sin
x - cos x ö2
4
÷÷ø
=
4 sin2 x + cos2 x 16
=
1 2
，C
对；
对于
D
选项，
2
Î
æ çè
π 2
,π
ö ÷ø
，则
cos
2
<
0
，
sin
2
>
0
，
所以，复数 e2i = cos 2 + isin 2 在复平面内对应的点位于第二象限，D 错.
湖南省湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学 2024 届高三
8 月开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
{ } { } 1．已知集合 A = x x2 - 2x - 3 < 0 ， B = y y = ex ，则 A I B = （ ）
3,0) 到渐近线的距离为1， P 为
C 上一点，下列说法正确的是（ ）
试卷第31 页，共33 页
A． C 的离心率为 6 2
B． PF2 的最小值为 2 2
C．若 A ， B 为 C 的左、右顶点， P 与 A ， B 不重合，则直线 PA ， PB 的斜率之积
1
( ) B． 3 + 3,4 + 2 3
( ) C． 3 + 3,6 + 2 3
( ) D． 3+ 3,+¥
7．已知 C，D 是圆 O : x2 + y2 = 9 上两个不同动点，直线 (m +1) x + y - (m + 2) = 0 恒过
定点 P ，若以 CD 为直径的圆过点 P ，则 CD 最小值为（ ）
B．若
f
æ çè
1 2
ö ÷ø
=
-
1 2
，则
f
æ çè
40 ö 41 ÷ø
=
-2
C．若 f (2 - x) + g ( x) = 4 ，则 g ( x) 的图像关于点 (2, 4) 对称
D．若a
Î
æ çè
0,
π 4
ö ÷ø
，则
f
(sin
2a
)
>
2
f
( sin a
)
三、填空题 13．在 (3 - x)7 的展开式中， x6 的系数是
考数据： lg 2 » 0.3 ， lg 3 » 0.477 ）
A．7
B．8
C．9
D．10
试卷第11 页，共33 页
5．已知函数
y
=
f
( x) 对于任意的
x∈
æ çè
-
ππ, 22
ö ÷ø
满足
f
¢( x)cos
x+
f
( x)sin
x
>
0
（其中
f ¢( x) 是函数 f ( x) 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
r a
r ×b
r ar a
= -6brr2
r ar
2b 2b
=
-
3 2
r a
，
故选：C 4．B 【分析】设该污染物排放前需要过滤的次数为 n(n Î N* ) ，则由题意得1.8´ (1- 20%)n £ 0.3 ， 解不等式可得答案. 【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为 n(n Î N* ) ，则由题意得
x10 + 2 的方差为 2
C．若随机变量 X 服从正态分布 N (2,s 2 ) ， P ( X £ 3) = 0.64 ，则
P (1 £ X £ 2) = 0.14
( ) D．若
P
(
A)
=
1 2
，
Pห้องสมุดไป่ตู้
(
B
A)
=
1 4
，
P
B
A
=
2 3
，则
P
(
B
)
=
7 24
11．已知双曲线
C
：
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点 F2 (
对于
B
πi
选项， e 2
=
cos
π2π+ i sin
2
=
i
为纯虚数，B
错；
( )( ( ) ) 对于 C 选项，因为
exi (cos x + i sin x) 3 - i
=
3+i
3+i 3-i
= sin x + 4 3 cos x +
3
sin
x4
cos
x
i
，
( ) 因此，
e xi =
3+i
æ ççè
x
Î
æ çè
1 e
,
+
¥
ö ÷ø
，
f
(x)
³
0
恒成立，求实数
m
的取值范围.
22．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
0)
的离心率为
1 2
,
A1
,
A2
分别为椭圆 C
的左右顶点，
F1, F2 分别为椭圆 C 的左右焦点， B 是椭圆 C 的上顶点，且 VBA1F1 的外接圆半径为 2 21 ．
]
w 上有且仅有四个零点，则
的取值
范围为 ．
16．在
VABC
中， ÐBAC
=
π 2
，
AB
=
2
，
AC
=1
，点
D
为边
BC
边上一动点，将
△ABD 沿着 AD 翻折，使得点 B 到达 B¢ ，且平面 AB¢D ^ 平面 ACD ，则当 B¢C 最小时， CD 的长度为 .
四、解答题
17．已知等差数列{an} 的公差 d ¹ 0 ，其前 n 项和为 Sn ，若 a1 ， a2 ， a5 成等比数列，且
A． eπi = 1
πi
B． e 2 为实数
C．
e xi
1
3+i = 2
D．复数 e2i 对应的点位于第三象限
3．已知
r a
=
2
r b
rr ，若 a 与 b
rr 的夹角为 120°，则 2b - a
r 在 a 上的投影向量为（
）
r A． 3 - 3a
B．
-
1 2
r a
C．
-
3 2
r a
r D． 3a
分”的概率，探求 an 与 an-1 (n ³ 2) 的关系，并求数列{an} 的通项公式. 21．已知函数 f ( x) = ( x -1)ln x - m( x + 1) .
(1)若 m = 1，求曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切线方程；
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(2)若对任意的
（用数字作答）.
14．已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线与 P,Q 两点，
且1 PF
+
1 FQ
= 8 ，则拋物线的准线方程为
.
试卷第41 页，共33 页
15．若函数
f
(x)
=1-
2 sin 2
æçè w x
-
π 6
ö ÷ø
(w
>
0)
在[0,π
，若曲线
f
(x)
存在“优美点”，则实
数 k 的取值范围为（ ）
试卷第21 页，共33 页
( ) ( A． -¥, 2 - 3 B． -¥, 2 - 2 3ùû
) C． éë2 - 3, +¥
( ) D． 2 - 2 3, +¥
二、多选题 9．已知 a > 0,b > 0 ，且 2a + b = 2 ，则（ ）
3 3
，则 ÐF1PF2
=
2π 3
12．若定义在 (-1,1) 上的函数
f
( x) 满足
f
( x) +
f
( y)
=
f
æ ç è
x+ y 1+ xy
ö ÷ ø
，且当
x
>
0 时，
f ( x) < 0 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 x1 ， x2 Î(-1,1) ， x2 > x1 ，则 f ( x1 ) + f ( x2 ) > 0
A． 4 - 2
B． 4 + 2
C．8 - 2 2
D． 6 - 2
8．对于函数 y = f ( x) ，若存在 x0 ，使 f ( x0 ) + f (-x0 ) = 0 ，则称点 ( x0, f ( x0 )) 是曲线
f
(x)
的“优美点”，已知
f
(x)
=
ìx2 íîkx
+ 2x, + 3, x
x<0 ³0
4．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步， 人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为
1.8mg / cm3 ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 20%，贵州省环保部门为
了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过 0.3mg / cm3 ，若 要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参
3
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点（ P,Q 在 x 轴的两侧），记直线
A1P, A2P, A2Q, A1Q 的斜率分别为 k1, k2 , k3, k4 ． （i）求 k1 × k2 的值；
（ii）若
k1
+
k4
=
5 3
( k2
+
k3
)
，则求 △F2 PQ
uuur PG
=
1 4
uuur PC
.
(1)证明： A,G, F, E 四点共面； (2)求平面 ABF 与平面 AEF 的夹角的大小. 20．新宁崀山景区是世界自然遗产､国家 5A 级景区，其中“八角寨”景区和“天下第 一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角 寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一 巷”景区记 2 分，若继续游览“天下第一巷”景区记 4 分，假设每位游客选择游览
A． f (0) >
2
f
æ çè
π 4
ö ÷ø
B．
2f
æ çè
-
ππö 3 ÷ø
>
f
æ çè
-
ö 4 ÷ø
C．
2
f
æ çè
ππö 3 ÷ø
>
f
æ çè
4
ö ÷ø
D．
f
(0)
>
2
f
æ çè
π 3
ö ÷ø
6．已知锐角
VABC
的内角
A
，
B
，C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
B
=
π 3
，
c
=
2
，则
VABC 的周长的取值范围为（ ）
所以 A I B = (0,3) .
故选：C. 2．C 【分析】利用复数的欧拉公式可判断 AB 选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数
exi ，结合复数的模长公式可判断 C 选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断 D
3 +i
选项. 【详解】对于 A 选项， eπi = cosπi+sinπ1 = - ，A 错；
的面积的取值范围．
试卷第71 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】解一元二次不等式求出集合 A ，求出函数 y = ex 的值域可得集合 B ，再求交集即可.
【详解】解不等式 x2 - 2x - 3 < 0 得 -1 < x < 3 ，函数 y = ex 的值域为 (0, +¥ ) ，
所以 A = (-1,3), B = (0, +¥) ，
1.8´ (1- 20%)n
£
0.3
，即
æ çè
5 ön 4 ÷ø
³
6，
所以
lg
æ çè
5 4
ön ÷ø
³
lg
6
，
n
lg
10 8
³
lg 2 + lg 3 ，
n(1- 3lg 2) ³ lg 2 + lg 3 ，
A．
ab
的最小值是
1 2
B．
1 a
+
2 b
的最小值是
4
C．
1 a2
+
4 b2
的最小值是
8
D． (2a +1)(b +1) 的最小值是 2 6
ab
10．下列说法正确的是（ ） A．相关系数 r 越大，两变量的线性相关程度越强
B．若一组数据 x1 ， x2 ， x3 ，…， x10 的方差为 2，则 x1 + 2 ， x2 + 2 ， x3 + 2 ，…，
“天下第一巷”景区的概率均为 1 ，游客之间选择意愿相互独立. 3
(1)从游客中随机抽取 2 人，记总得分为随机变量 X ，求 X 的数学期望；
( ) (2)（i）记 pk k Î N* 表示“从游客中随机抽取 k 人，总分恰为 2k 分”的概率，求{ pk }
的前 4 项和；
( ) （ii）在对游客进行随机问卷调查中，记 an n Î N* 表示“已调查过的累计得分恰为 2n
答案第11 页，共22 页
故选：C. 3．C 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.
( ) 【详解】
rr 2b - a
×
r a
=
r -a
2
+
r 2a
×
r b
=
r -4b
2
+
4
r b
2
cos120o
=
r -6b
2
，
( ) r r r
2b - a a 在 上的投影向量为
rr 2b - a
A． Æ
B．(-1, +¥)
C． ( 0, 3)
D． (1, 3)
2．欧拉公式 exi = cos x + i sin x （其中 i 为虚数单位， x Î R ）将指数函数的定义域扩大 到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位， 被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
sin
x
+
4
3
cos
x
ö2 ÷÷ø
+
æ ççè
3 sin
x - cos x ö2
4
÷÷ø
=
4 sin2 x + cos2 x 16
=
1 2
，C
对；
对于
D
选项，
2
Î
æ çè
π 2
,π
ö ÷ø
，则
cos
2
<
0
，
sin
2
>
0
，
所以，复数 e2i = cos 2 + isin 2 在复平面内对应的点位于第二象限，D 错.
湖南省湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学 2024 届高三
8 月开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
{ } { } 1．已知集合 A = x x2 - 2x - 3 < 0 ， B = y y = ex ，则 A I B = （ ）
3,0) 到渐近线的距离为1， P 为
C 上一点，下列说法正确的是（ ）
试卷第31 页，共33 页
A． C 的离心率为 6 2
B． PF2 的最小值为 2 2
C．若 A ， B 为 C 的左、右顶点， P 与 A ， B 不重合，则直线 PA ， PB 的斜率之积
1