高中数学必修二第七章复数知识点题库(带答案)

高中数学必修二第七章复数知识点题库单选题
1、3+i
1−3i
=（）
A．1B．−1C．i D．−i
答案：C
解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.
解：3+i
1−3i =(3+i)(1+3i)
(1−3i)(1+3i)
=3+3i2+10i
10
=3−3+10i
10
=i.
故选：C.
小提示：复数乘除法运算技巧：
（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
2、复数z=1
a−1
+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）
A．1或-1B．1
C．-1D．0或-1
答案：C
分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.
因复数z=1
a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0
a2−1=0
，解得a=−1，
所以实数a的值为-1.
故选：C
3、已知i是虚数单位，若z=i+a
1+i
为纯虚数，则实数a=（）
A．1B．−1C．2D．−2
答案：B
分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．
因为z=i+a
1+i =(a+i)(1−i)
(1+i)(1−i)
=a−a i+i−i2
2
=a+1
2
+1−a
2
i为纯虚数，
所以{a+1
2
=01−a
2
≠0
，a =−1．
故选：B ．
4、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π
3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i 答案：B
分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π
3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时
针旋转后的复数，相乘得到结果．
解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π
3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π
3)+i sin(−π
3)]=(3−√3i )(1
2−√3i
2
)=3
2−
3√3i
2
−
√3i 2
+
3i 22
=−2√3i ．
故选：B ．
5、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：B
分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4
，进而求模长即可.
因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4
，
所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5. 故选：B.
6、已知复数z 1=2
1+i 与z 2在复平面内对应的点关于直线y =x 对称，则z 1z 2=（ ） A ．−4i B ．−2i C ．2i D ．4i 答案：C
分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．
因为z 1=2
1+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)，
其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ， 所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ， 故选：C ．
7、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ） A ．1−2i B ．1+2i C ．1+i D ．1−i 答案：C
分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .
设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ， 所以，{4a =46b =6
，解得a =b =1，因此，z =1+i .
故选：C. 8、已知复数z =
2−i 20171+i
，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案：A
分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 复数z =
2−i 20171+i =
2−i 1+i
=(2−i )(1−i )(
1−i )(1+i )
=
1−3i 2
=12
−3
2
i ，
则z =12
+32
i
所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,3
2)，位于复平面内的第一象限. 故选：A 多选题
9、意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo ，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程x 3+a 2x 2+a 1x +a 0=0中的x 用x −
a 23
来替换，得到方程x 3+px +q =0；
第二步，利用公式x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )(x +ωy +ω2z )(x +ω2y +ωz )将x 3+px +q 因式分解；
第三步，求得y ，z 的一组值，得到方程x 3+px +q =0的三个根：−y −z ，−ωy −ω2z ，−ω2y −ωz （其中ω=
−1+√3i 2
，i 为虚数单位）；
第四步，写出方程x 3+a 2x 2+a 1x +a 0=0的根：x 1=−a 23
−y −z ，x 2=−
a 23
−ωy −ω2z ，x 3=−
a 23
−
ω2y −ωz .
某同学利用上述方法解方程8x 3−12x 2−42x +55=0时，得到y 的一个值：−1+i ，则下列说法正确的是（ ）
A ．a 2=−3
2B ．yz =2C ．x 2=−1
2+√3D ．x 3=−1−√3
答案：ABC
分析：根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.
8x 3−12x 2−42x +55=0⇒x 3−32x 2−214x +55
8
=0
依题意可知a 2是2次项系数，所以a 2=−3
2，A 选项正确. 第一步，把方程x 3−3
2x 2−214
x +
558
=0中的x ，用x +1
2来替换，
得(x +12)3
−3
2(x +12)2
−
214(x +1
2)+
558
=x 3−6x +4=0，
第二步，对比x 3−6x +4=0与x 3+y 3+z 3−3xyz =0， 可得{y 3+z 3=4
−3yz =−6y =−1+i ，解得yz =2,z =−1−i ，B 选项正确.
所以x 2=−a 23
−ωy −ω2
z =12−
−1+√3i 2(−1+i )+(
−1+√3i 2
)2
(1+i )=−1
2+√3，C 选项正确.
x 3=−
a 23
−ω2
y −ωz =12
−(
−1+√3i 2
)2
(−1+i )+(
−1+√3i 2
)(1+i )=−1
2−√3，D 选项错误.
故选：ABC
10、设z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A ．|z|2=zz̅ B ．z 2
＝|z |2
C ．若|z |＝1，则|z +i|的最大值为2
D ．若|z ﹣1|＝1，则0≤|z |≤2
分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
设z=x+yi(x,y∈R)，则z̅=x−yi，
对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz̅，故A正确；
对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；
对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，
而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，
故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；
对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，
又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.
故选：ACD.
11、已知复数z0=1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z−1|=|z−i|，下列结论正确的是（）
A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2
2
答案：ACD
解析：根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z−1|=|z−i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.
复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；
复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；
设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得|(x−1)+yi|=|x+(y−1)i|，即√(x−1)2+y2=
√x2+(y−1)2，整理得，y=x；即Z点在直线y=x上，C正确；
易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值
为
√2=√2
2
，故D正确.
小提示：本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 填空题
12、已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=____.
答案：1+3i##3i+1
分析：利用复数的四则运算法则化简可得结果.
由已知条件可得z2+z=(1+i)2+1+i=2i+1+i=1+3i.
所以答案是：1+3i.
13、已知(1+i)z=2i（i为虚数单位），则z=___________.
答案：1+i##i+1
分析：根据复数代数的四则运算计算即可.
∵(1+i)z=2i,∴z=2i
1+i =2i(1−i)
(1+i)(1−i)
=i(1−i)=1+i.
所以答案是：z=1+i.
14、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________. 答案：−1+i##i-1
分析：利用复数的运算进行化简即可．
z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i
1−i =2i(1+i)
(1−i)(1+i)
=i−1，
所以答案是：−1+i
解答题
15、已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m的值；
（2）用m表示|α|+|β|．
答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m>1 2,0≤m≤1
2√1−m,m<0
.
分析：（1）由α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．可得α+β=−2，αβ=m，对α，β分为实数，
与一对共轭虚根即可得出．
（2）不妨设α⩽β，对m及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．
解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．
∴α+β=−2，αβ=m，
若α，β为实数，即Δ=4−4m≥0，解得m≤1时；
则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m，
解得m=−1．
若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m<0，解得m>1时；
则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|，
解得m=3．
综上可得：m=−1或3．
（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．
Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．
α+β=−2，αβ=m，
0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．
m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．
|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m
综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽1
2√1−m,m<0
．。