(湖南专用)高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关(含解析)

（湖南专用）2013年高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差
及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关（含解析）
一、选择题
1．(2011·高考福建卷)若tan α＝3，则sin2αcos 2α
的值等于( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
解析：选D.sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α
＝2tan α＝2×3＝6. 2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22
cos α＝( ) A.225
B ．－225 C.425 D ．－425
解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225
.故选A.
3．tan π12－1t a n π12
等于( ) A ．4 B ．－4
C ．2 3
D ．－2 3 解析：选D.原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6
＝－2 3. 4．(2011·高考福建卷)若α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33
C. 2
D. 3
解析：选D.∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3
，∴tan α＝ 3. 5．(2012·洛阳质检)在△A BC 中，C ＝120°，tanA ＋tan B ＝23
3，则tanAtan B 的值为( ) A.14 B.13
C.12
D.53
解析：选B.tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，
∴tan(A ＋B )＝t a n A ＋t a n B 1－t a n A t a n B ＝3， 即2331－t a n A t a n B ＝ 3.解得tanAtan B ＝13
，故选B. 二、填空题
6．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12
的锐角x ＝________. 解析：由题意知sin π5sin x －cos π5cos x ＝12
， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋x ＝－12，故x ＋π5＝±23π＋2k π，k ∈Z ， 又因为x 为锐角，故x ＝715
π. 答案：7π15
7.cos2α1＋sin2α·1＋t a n α1－t a n α
的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2αα＋cos α2·1＋sin αcos α1－sin αcos α
＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α
＝1. 答案：1
8．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析：根据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，
∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
答案：1
三、解答题
9．已知tan α＝2.求sin2α＋cos 2π－α1＋cos2α
的值． 解：sin2α＋cos 2π－α1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α
＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52
. 10．(2012·黄冈调研)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2
，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.
∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15
. ∵θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55⇒sin θ＝255. (2)由5cos(θ－φ)＝35cos φ有
5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝35cos φ⇒
5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，
∴cos φ＝sin φ.
又∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝22
. 11．已知角A 、B 、C 为△A BC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －
cos B )，OM →·ON →＝－15
. (1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )
＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15
， ∴sinA ＋cosA ＝－15
，① 两边平方并整理得：2sinAcosA ＝－2425
， ∵－2425＜0，∴A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴sinA －cosA ＝1－2sin A cos A ＝75
.② 联立①②得：sinA ＝35，cosA ＝－45，∴tanA ＝－34
， ∴tan2A ＝2t a n A 1－t a n 2A ＝－321－916
＝－247. (2)∵tanA ＝－34
， ∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3t a n A 1＋t a n A ＝1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝13.。