《系统生物学》习题及答案Homework-AlonBook

作业2.4 级联。

考虑三个激活剂的级联，X→Y→Z 。

蛋白质X 起初以非激活的形态存在于细胞内，X 的输入信号x S 在t = 0时出现，使X 迅速活化并与Y 基因的启动子结
合，使蛋白质Y 开始以速率β产生。

当Y 的浓度超过阈值y K 时，基因Z 开始转录。

所
有蛋白的降解/稀释速率均为α。

问： 1）蛋白Z 的浓度随时间变化的函数是什么？
2）相对信号x S 的出现时间，蛋白Z 的响应时间是什么？
3）如果三个级联的蛋白是阻抑物，情况又会怎样？
解： 1）根据题意，蛋白Y 浓度随时间的变化满足方程：
dY Y dt
βα=-， （1） 且满足初始条件：(0)0Y t == ，
（2） 于是，可解得：()(1)(1)t t st Y t e Y e ααβα--=
-=- ， （3） 其中，st Y βα
= 为Y 的稳态浓度。

蛋白Y 的浓度在达到激活阈值y K 之前，蛋白Z 的浓度为零。

设蛋白Y 浓度达到y K 的时刻为y t ，令()
()1y t y y Y t e K αβα-=-=， 可得： 1l n 1y y K t ααβ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， （4） 即有： ()0 if y Z t t t =≤。

（5） 设Y 的浓度超过阈值y K 之后，蛋白Z 以速率γ产生，则，
蛋白Z 浓度随时间的变化满足方程：dZ Z dt
γα=- ， （6） 由初始条件：()0y Z t =， （7） 可得：()()()11t t st Z t e Z e ααγα
--=-=-， （8） 故，蛋白Z 随时间变化的函数为：
()0 i f (1) i f y t y t t Z t e t t γαα
-<⎧=⎨-≥⎩ （9） 2）设蛋白Z 的浓度达到其稳态浓度一半的时刻是z t ，则由：
()(1)/
2z t s t s t Z t Z e Z α-=-= 可得：ln(2)z t α
=， （10） 于是，蛋白Z 相对于信号x S 的响应时间为：
1/2112ln(2)ln(1)ln y y z y K T t t K αβαβαβα⎛⎫⎛⎫=+=--= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭ （11） 3）若三个级联蛋白是阻抑物，即有X —|Y —|Z 。

因为X 对Y 的抑制作用，起初
Y 的浓度为零。

设在t = 0时刻，信号x S 出现，即解除对Y 的抑制，此时，Y 开始从头
积累，并在y t 时刻达到对Z 的抑制阈值y K ，故，题1）中的式（1）、（2）、（3）、
（4）仍然成立。

由于Y 的浓度大于阈值之后，对Z 的完全抑制作用（逻辑近似），使得Z 从其稳态的最大浓度开始衰减，故有：
()(0)st
dZ t Z dt Z t Z α⎧=-⎪⎨⎪==⎩， （12） 解得蛋白Z 的浓度随时间变化的函数为：
i f () if st y t st
y Z t t Z t Z e t t α-<⎧=⎨≥⎩， （13） 蛋白Z 对信号x S 的响应时间为其浓度衰减为稳态值一半时所经历的时间，
由 ()/2z t st st Z t Z e Z α-==，可得：ln(2)/z t α=， （14）
则蛋白Z 对信号x S 的响应时间为：1/212ln y z y T t t K βαβα⎛⎫=+= ⎪ ⎪-⎝⎭
， （15） 即与（11）式相同。

函数()Y t 和()Z t 对时间作图（略），类似于图2.7。

作业3.4 正反馈。

正自身调节对于响应时间有何影响？用以下线性方程模型进行说明：1dX X X dt
ββα=+-，式中，1βα<。

解释其中每一项的含义，并求解响应时间。

在何时这种设计是生物学上有用的？当1βα>时又会怎样？
解：正自身调节会延缓响应时间。

与简单调节相比，正自身调节达到半稳态浓度的时间存在一个延迟。

上式中，β是蛋白X 在其它转录因子作用下的生成速率，1X β是蛋白X 受其自身激活作用下的生成速率，它与X 的浓度成正比，而X α-是蛋白X 的降解速率，它也和X 的浓度成正比。

根据定义，响应时间是X 达到半稳态浓度所需的时间。

令10dX X X dt
ββα=+-=，可求得稳态浓度：1st X β
αβ=-。

（1）
令1γαβ=-，则原微分方程化为：dX X dt
βγ=-，结合初始条件(0)0X t ==，可解得X 随时间变化的函数为：()()1()1
()11t t X t e e βαγββγαβ--=-=--， （2） 由1/2()/2st X T X +=，并将（1）式和（2）式代入，可解得：1/21
ln(2)T αβ+=-， （3） 此即为正反馈调节下蛋白X 的响应时间。

在1βα<时，此响应时间为正，且大于简
单调节的响应时间，即simple 1/21/21ln(2)ln(2)T T αβα
+=>=-。

因此，正反馈调节可以延缓响应时间，这种设计在需要相对较长的时间才能完成的生物过程（如发育过程）中有用。

当1βα>时，蛋白正自身调节的生成速率大于消耗速率，将产生双稳态，即基因X 一旦激活，就锁定在高表达的“开”状态，此类记忆回路在发育过程中的转录网络中有用，以决定细胞的不可逆分化命运。

作业4.1 第二个输入。

假如信号S x 是始终存在的，那么，问：
1）在具有逻辑“与”的C1-FFL 中，S y 跳变对Z 的表达动力学有何影响？
2）在Z 的表达中，对S y 的ON 或OFF 跳变是否存在延迟？
3）对于这样的跳变，Z 的响应时间是多少？
解： 1）根据题意，在C1-FFL 中，信号S y 出现与否，都不影响蛋白X 的表达，故，设X 的表达量达到了稳态最大值，且浓度超过了对蛋白Y 和蛋白Z 的激活阈值。

又因为信号S x 始终存在，故所有X 处于它的活化状态X*，即，蛋白X*始终保持对蛋白Y 和蛋白Z 的激活表达的能力，从而使Y 的浓度达到稳态最大值。

此时，若信号S y 发生跳变，对于Z 表达的动力学影响将是“即时”的。

2）在Z 的表达中，因为X 始终存在对Z 的激活作用，Y 的浓度也处在稳态最大值（超过阈值），故，对于S y 的ON 跳变来说，信号S y 一旦出现，Y 就迅速转化成有活性的状态Y*，从而，通过逻辑“与”门，和X 一起激活Z 的表达，不存在延迟。

若Z 的表达量处于稳态最大值，此时，如果出现S y 的OFF 跳变，Y*迅速转变为Y,失去对Z 的激活作用，此时，通过逻辑“与”门的作用，蛋白Z 的浓度立刻开始衰减，故，对信号S y 的OFF 跳变，Z 的表达也不存在延迟。

3）Z 的响应时间是达到Z 的半稳态浓度的时间。

因为Z 的表达对于信号S y 的ON 和OFF 跳变均不存在延迟，故，其响应时间与Z 受到简单调节时的响应时间相同，即为：1/2ln(2)/T α=，其中，α是蛋白Z 的降解/稀释速率。

作业4.3 FFL 上的纹饰。

转录网络中的C1-FFL 的调节物Y 通常是带有自身调节的。

设在C1-FFL 中，Z 上有逻辑“与”门，且Y 带有负自身调节，问：
1） 这将如何影响回路的动力学？
2） 又将如何影响延迟时间？
设Z 上有逻辑“或”门，且Y 带有正自身调节，问：
3） 这将如何影响回路的动力学？
4） 又将如何影响延迟时间？
解：1）在逻辑“与”门的C1-FFL 中，在逻辑近似下，若Y 带有负自身调节，如何
影响回路的动力学，要视Y 对自身阻抑的浓度阈值（设为y K -）与Y 对Z 激活的浓度阈
值（设为yz K ）之间的关系而定。

若 y
yz K K -<，则Y 达到对Z 的激活阈值前，已经达到了对自身的抑制阈值，从而使Y 的浓度固定在y K -的稳态水平，也就永远无法激活
蛋白Z 的表达；若y
yz K K ->，则Y 达到对自身的抑制浓度之前，已经激活了蛋白Z 的表达，之后，由于自抑制作用，Y 稳定在浓度y K -上，保持对蛋白Z 的激活状态，故
而，当y
yz K K ->时，Y 的负自身调节，不影响蛋白Z 表达的动力学。

2）在问题1）的基础上，设信号S y 一直存在，考虑Z 的表达对信号S x 跳变的敏
感性。

若S x 出现ON 跳变，对于y
yz K K -<的情形，蛋白Z 永远无法被激活，从而其表达被无限延迟，而对于y
yz K K ->的情形，蛋白Z 表达的延迟与Y 没有负自身调节时的延迟是一样的；若S x 出现OFF 跳变，由于逻辑“与”门的作用，Z 表达的变化没有延迟。

3）在逻辑“或”门的C1-FFL 中，在逻辑近似下，若Y 带有正自身调节，设Y 对
自身激活的浓度阈值为y K +，Y 对Z 的激活的浓度阈值为yz K ，并假设Y 所能达到的稳
态最大浓度值为st Y ，且满足st y Y K +>和st yz Y K >。

若 y
yz K K +<，则Y 达到对Z 的激活阈值前，已经达到了对自身的激活阈值，从而使Y 的浓度固定在高表达的稳态水平
st Y ，在逻辑“或”的作用下，始终保持对蛋白Z 的激活表达状态；若y
y z K K +>，则Y 达到对自身的激活浓度之前，已经激活了蛋白Z 的表达，之后，由于自激活作用，Y 稳定在高表达水平st Y 上，保持对蛋白Z 的激活状态。

因此，在逻辑“或”门的C1-FFL 中，Y 的正自身调节，将有利于保持它对蛋白Z 表达的激活状态。

4）在问题3）的基础上，若信号S y 一直存在，考虑Z 的表达对信号S x 跳变的敏感性。

在S x 出现ON 跳变时，X 迅速转变为有活性的X*，由于逻辑“或”门的作用，蛋白Z 将被立即激活，没有延迟，与蛋白Y 的浓度变化无关。

在S x 出现OFF 跳变时，X*迅速失活，由于逻辑“或”门的作用，蛋白Z 表达的变化将依赖于Y 。

由于X*的失活，失去对蛋白Y 的激活作用，Y 的浓度从稳态开始有所下降，但只要Y 的浓度依然
高于其激活自身的浓度y K +，Y 就可以维持在一个较高的表达水平st
Y '，若st yz Y K '>，则蛋白Z 保持激活状态不变，从而对S x 的OFF 跳变不响应；若st
yz Y K '<，在Y 的浓度从st Y 衰减到yz K 的时间即为蛋白Z 对S x 的OFF 跳变的延迟时间。

由于自激活作用和降解/稀释作用并存，所有Y 的浓度从st Y 衰减到yz K 的过程中，满足动力学方程
dY Y Y dt
βα=-和初始条件(0)st Y t Y ==，可解得：()()a t st Y t Y e β-=，令()yz Y K τ=，可求得：()ln /yz st K Y τβα
=-，此即为蛋白Z 的表达变化对信号S x 的OFF 跳变的时间延迟。

作业5.1 等间隔计时。

假设一个SIM 由调节基因X 所调控，X 激活下游基因Z i ， i = 1, 2, …, n ，其激活阈值分别为K i 。

在t = 0时刻，X 以固定速率β开始生成。

设计各阈值使得各个下游基因在相等的时间间隔内依次被激活（利用逻辑输入函数）。

解：根据题意，利用逻辑输入函数近似，即是说，只要X 的浓度超过阈值K i ，相应的下游基因Z i 就会被激活表达，否则，Z i 不表达。

因为在t = 0时刻，X 开始以固定速率β生成，再考虑到X 的降解/稀释作用（设速率为α），则，X 浓度随时间变化的函数为：()()1t X t e αβα
-=
-， 设所需间隔的时间为t ∆，则， 第一个下游基因Z 1被激活的阈值为：()1()1t K X t e αβα
-∆=∆=
- 第二个下游基因Z 2被激活的阈值为：()22(2)1t K X t e αβα-∆=∆=- 依次类推，一般地，第i 个下游基因Z i 被激活的阈值为：
()()1, 1, 2, ,
i t i K X i t e i n αβα-⋅⋅∆=⋅∆=-=
作业5.6 双扇的动力学。

假设在一个双扇中，激活剂X 1和X 2调节基因Z 1和Z 2。

X 1的输入信号S x1在t = 0时出现，在t = D 时消失。

X 2的输入信号S x2在t = D/2时出现，在t = 2D 时消失。

给定Z 1和Z 2的输入函数分别是逻辑AND 和逻辑OR ，用图形表示Z 1和Z 2的启动子活性的动力学特征。

解：根据题意，Z 1要求两个信号S x1和S x2同时存在时才能激活，而Z 2只要有一个信号就能激活。

Z 1随时间变化的函数为：()11111
11
0 if /2
()1 if /2 if t t t D Z t e D t D e t D ααβαβα--⎧<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩
Z 2随时间变化的函数为：()2222222
1 if 2() if 2t t e t D Z t e t D ααβαβα--⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩
以D 为时间单位，示意图绘制如下（这里采用了韩以超的图，此时D=500）：
作业6.3 设计多层感知机。

设计一个具有两个输入节点和一个输出节点的多层感知机，内层节点数目不限，要求其输出在X1—X2平面的中间部位存在一个三角形的激活区域。

解：该题的答案不唯一，只要设计满足要求即可。

注意，两个较小的权重连接输出时，产生激活域的交集，两个较大的权重连接输出时，产生激活域的并集，而负权重连接输出时，产生激活域的差集（即与非激活域相交）。

设计的一般步骤是：（1）先画出输出层Z在X1—X2平面上的激活域，形状需满足要求（平面中间的三角形）；（2）再将此激活域看成是中间层Y i（中间层的节点数不限，从少到多去试）的激活区域的集合运算的结果，画出中间层各节点的激活区域；（3）以一定的权重连接中间层和输出层的各节点，确保可以产生输出层激活区域的形状；（4）以一定的权重连接输入层和中间层的各节点，确保可以产生中间层各节点的激活区域的形状；（5）画出多层感知机的连接图，标明各个边上的权重；（6）给出每个节点上的变量的取值区间，并验证激活传递关系成立。

具体到本题目，可以通过修改图6.13(a)中各边上的权重，实现中间层为两个节点的、满足输出要求的（使用两个中间层节点激活域的差集）多层感知机，也可以
通过修改图6.12(b)来实现，在其基础上增加一个中间层节点Y3，并以负权重与输出
节点连接，并适当调节各边的权重，从而在图6.12(b)中Z 的输出激活区域的基础上，抹去右上角阴影区域而得到。

作业6.6 重合检测。

考虑如图6.22中那样的一个两输入前馈环模体。

这两个输入接受短暂的激活脉冲，前后稍有延迟。

设脉冲S x1的持续时间为d ，在脉冲开始后的时刻t 0，脉冲S x2到来并且持续时间d 。

那么：
a ）若不用第二个脉冲S x2，第一个脉冲S x1的持续时间d 至少要多长才能激活Z ？
b ）在平面上绘出Z 的响应区域，其中，坐标轴分别是脉冲持续时间d 和脉冲间隔时间t 0。

解：a ）若只有脉冲S x1，考虑到Z 上的逻辑“与”门，S x1的持续时间至少要长于蛋白Y 达到对Z 的激活阈值（设为K yz ）所需的时间。

设Y 的生成速率和降解/稀释速率分别为β和α，则Y 随时间变化的函数是：()(1)t Y t e αβα
-=-，而Y 要激活Z ，需要达到其激活阈值K yz 。

设Y 的浓度达到K yz 的时间为d ，将K yz 和d 分别代入上式，得：()(1)d yz Y t e K αβα
-=-=，于是，可解得： ln()ln()yz K d ββαα
--=， （1） 即，只有信号S x1时，其持续时间d 至少为式（1）中的取值时，才能激活Z 的表达。

b ）设从t = 0时刻开始，信号S x1出现并持续时间d ，则Y 的浓度从0达到K 1，即： 11()(1)d Y d e K αβα
-=-=， （2） 此时，信号S x1消失，并在间隔t 0时间后，信号S x2出现，那么，在信号间隔期间，Y 的浓度从K 1下降到1K '，因为这是一个衰减过程，故满足：
0011
()t Y t K e K α-'==， （3） 在t 0时间过后，信号S x2出现并持续时间d ，Y 的浓度又从1K '上升到2K ，此时满足：
2212()d Y d K e K αββα
α-⎛⎫'=+-= ⎪⎝
⎭， （4） 若要Z 被激活，则需2yz K K >， （5） 将（2）代入（3），将（3）代入（4），将（4）代入（5），可得：
()02121t d d yz e e e K αααβββααα---⎛⎫+--> ⎪⎝⎭。

（6） 将（6）式化简可得： 00
()(2)1122d t d t d yz e e e K αααββββαααα-+-+--->-， （7） 式（7）所表示的d 与t 0之间的关系，即为Z 的响应区域。

根据式（7），取125, =3, =1, 2yz K ββα==，以脉冲持续时间d 为横坐标，以脉冲间隔时间t 0为纵坐标，可绘得Z 的响应（阴影）区域如下：
作业7.2 积分反馈。

利用加热器加热一个房间。

房间温度T 的增加与加热器的功率P 以及其它的热源S 成比例，而室温的降低则归结为以某个速率向外进行热扩散，且与T 成比例：
/d T d t a P S b T
=+-。

（1） 积分反馈装置用于将房间的温度保持在一个期望的温度点T 0上。

在这个反馈环中，加热器的功率与温度的误差随时间的积分成比例：
00()P P K T T dt =--⎰， （2） 因此，这个反馈环的作用是，在房间温度太高，即0T T >时，降低加热器的功率，反之，在房间温度太低时，则增大加热器的功率。

将功率对时间求导，可得： 0/()
d P d t K T T =--。

（3） a ） 说明稳态温度是T 0，这个稳态不依赖于任何一个系统参数（a, S, b, K 等）。

换言之，积分反馈显示房间温度的鲁棒精准适应。

b ） 在所有的线性控制系统中，论证积分反馈是达成房间温度鲁棒精准适应的唯一解。

为此，可设控制器的一般线性形式为：
123/d P d t c T c P c =++。

（4）
试证：作为系统结构特征之一的积分反馈是产生鲁棒精准适应的充分必要条件。

解： a ） 温度达到稳态，即有：/0dT dt aP S bT =+-=，可解得：
aP S T b
+=， （5） 稳态要求T 不随时间变化，看（5）式右边，a, b 和S 都是常数，因此，要求P 也是不随时间变化的常数，即有/0dP dt =，根据积分反馈的定义，令（3）式等于零，可得稳态温度：0T T =。

故该稳态温度不依赖于任何一个系统参数，显示了鲁棒的精
准适应。

b ） 根据积分反馈的定义（2）式及其微分（3）式，可知，若令1
c K =-，20c =，30c KT =，则（3）式可以转化成（4）式的形式，即：
00123/()0d P d t K T T K T P K T c T c P
c =--=-++=++， （6） 因此，积分反馈是实现系统鲁棒精准适应的充分条件。

下面论证必要条件。

根据上面的分析，系统达到稳态时，加热器的输出功率稳定，即，/0dP dt =，将（4）式代入可得：
123/0dP dt c T c P c =++=， （7） 由此可解得：320011
c c T P c c =--，即在稳态时，房间温度0T 和加热器功率0P 满足线性关系。

如果要求稳态温度0T 具有鲁棒的精准适应，则需要0P 的系数2c 为零，于是（4）
式化为：
13/dP dt c T c =+， （8） 且此时301
c T c =-，得到：310c c T =-，代入（8）式可得：10/()dP dt c T T =-，令1c K =-，即得到了积分反馈的形式，即（3）式。

综上所述，积分反馈是房间温度产生鲁棒精准适应的充分和必要条件，也即线性控制系统的唯一解。

（这里的论证，没有把握）
作业8.2 在边界有降解的扩散。

形态发生素在0x =处生成，并在细胞中的某个区域扩散，且在该区域不发生降解。

当形态发生素到达区域的另一端时，立即强烈降解。

因此，有边界条件：0(0)M M =和()0M L =。

问：
a ） M 的稳态浓度分布是什么？
b ） 基于此机制的模式形成对源处浓度M 0的变化鲁棒吗？
解： a ）根据提示，在稳态时，形态发生素服从方程：22/0Dd M dx =，且满足边界条件0(0)M M =和()0M L =，以()M x Ax B =+的形式去尝试，确定A 和B 的值，得
到形态发生素的稳态浓度分布函数为：0()(1/)M x M x L =-， （1）
即0/A M L =-，0B M =。

b ）设在某处形态发生素的阈值为T ， 令()M x T =，得该处的坐标为：
0(1/)T x L T M =-。

（2）
现考虑形态发生素的浓度在源处由0M 变成0M '，则阈值位置的坐标变为T x '，位移是：
0000(1/)(1/)(1/1/)T T x x L T M L T M LT M M δ'''=-=---=-，
（3） 例如，若0
M '是0/2M ，即M 在源处的浓度降低为原来的一半，则： 000
(1/2/)/L T M M L T M δ=-=-， （4）
即浓度阈值T 的位置将向着上游移动，因此，基于此机制的模式形成是非鲁棒的。

作业8.4 鲁棒的时间选择。

一个信号转导蛋白X 抑制信号途径Y 。

在时间t = 0，X 的生成停止，且它的浓度由于降解而衰减。

当X 的水平跌到抑制阈值T 以下时，Y 途径被激活。

设Y 被激活的时间为Y t 。

为使Y t 对X 的初始水平0(0)X t X ==尽可能地鲁棒，
则：
a ） 比较下述两种机制的鲁棒性：线性降解和自增强降解（注意，在本问题中所有的浓度分布都是空间均匀的）：
//n X t X X t X
αα∂∂=-∂∂=-， 哪一种机制对0X 的波动更鲁棒？试说明之。

b ） 试说明为什么一个鲁棒的时间选择机制要求在时间接近0t =时，X 有个极快的衰减？
解： a ）先看线性降解机制，由其满足的动力学方程：/X t X α∂∂=-，以及初始条件0(0)X t X ==，可解得X 随时间变化的函数为：
0()t X t X e α-=。

（1）
令()Y X t T =，可解得：()0ln()ln()/Y t X T α=-。

（2）
再看自增强降解机制，由其满足的动力学方程：/n X t X α∂∂=-，以及初始条件0(0)X t X ==，可解得X 随时间变化的函数为：
()()1
110()1n n X t n t X α--=-+。

（3）
令()Y X t T =，可解得：110(1)
n n Y T X t n α---=-。

（4） 要说明哪一种机制对0X 的变动更鲁棒，就要考察0X 改变一定量0X ∆时，Y t 的改变量Y t ∆，不妨把Y t 看成是0X 的函数，并用导数的取值来说明。

将（2）式对0X 求导可得：00
1Y dt dX X α=， （5） 将（4）式对0X 求导可得：001Y n
dt dX X α=， （6） 从（5）式和（6）式可见，若01X >，（6）式的取值小于（5）式，变化率更小，说明，时间阈值Y t 对0X 的波动更不敏感，即，自增强降解机制更鲁棒。

否则，线性降解机制更鲁棒。

b ） 鲁棒的时间选择，要求时间阈值Y t 对起始浓度0X 的波动不敏感，也即，当0X 出现衰减时，y t 的前移变化量要尽可能地小，这就要求曲线在接近t=0时有一个很大的负斜率，即X 的快速衰减。

作业9.2 细致平衡。

确定一个校正方案中的差错率，在此校正方案中从[]cC 转变为[]*c C 的前向速率为c m 、后向速率为c m '，从[]*c C 转变为c C +的前向速率为c l 、后向速率为c l '，且对错误的tRNA （表示为d ）有相应的常数，其中，产物的生成速率v
相对于其它速率可以忽略不计。

考虑所有反应发生在平衡状态的情形。

利用细致平衡条件，即，每个反应的流量精确地等于其逆反应的流量，这将导致沿任何闭合回路的净流量为零。

a ） 说明细致平衡要求c c c
c c c k m l k m l '''=，且对
d 也相同。

b ） 计算因此产生的差错率F ，并解释之。

解： a ） 根据题意，有下图：
Product
利用细致平衡条件，即，每个反应的净流量为零，可得：
[][][]
[][*][*][][]
c c c c
c c k c C k cC m cC m c C l c C l c C '='='=， 将上式左边和右边分别相乘，化简，消去各浓度，即可得到c c c c
c c k m l k m l '''=，（而不是书上说的c c c
c c c k m l k m l '''=，疑为原书有误）。

对于错误的tRNA （表示为
d ），上述分析一样成立。

b ） 要求差错率，先要分别求出正确氨基酸的结合率和错误氨基酸的结合率，分别为： [*][][][]
c c c c o r r e c t c c
c m m k R v c C v c C v c C m m k ==='''， [*][][][]
d d d w r o n g d d
d m m k R v d C v d C v d C m m k ==='''。

由于细胞中，各tRNA 的浓度相当，即有[][]c d ≈，在从[]cC 到[*]c C 的修饰过程中，
对各tRNA 不做区分，即有，c d c
d m m m m ≈''（可理解为，此修饰过程中，正确和错误tRNA 的解离常数相近）。

令正确tRNA 和错误tRNA 形成的复合物的解离常数分别表示为：
/c c
c K k k '=和/
d d d K k k '=，则，差错率为： /(1/)/(1/)/w r o n g c o r r
e c t d c c d
F R R K K K K =≈=， 即细致平衡时，差错率约等于正确tRNA 与错误tRNA 的解离常数之比，也即没有校正功能。

作业10.1 起限制作用的底物。

蛋白质X 是一种酶，它作用在底物上完成一定的生物功能。

设底物的浓度为L 。

在假定具有线性成本项~c X η-和米氏方程收益项
(,)b LX b L X X K
=+的适应度函数(),f X L 存在的情形下（此时，起限制作用的是底物而不是酶），计算作为L 和K 的函数的酶X 的最优水平。

解： 根据题意，适应度函数为：0(,)(,)b LX f X L b L X c X X K
η=-=++， （1） 在适应度最大时，酶X 的表达水平为最优。

将（1）式对X 求导可得：
()
02(,)b K L d f X L dX K X η=++， （2） 令其等于零，即()020b KL K X η+=+，
可解得：opt X K =，
（3） 此即作为L 和K 的函数的酶X 的最优表达水平。