数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式

第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式
定理：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且⎰b
a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布
尼茨公式，常写成：⎰b
a f (x)dx=F(x)b
a .
证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}，
在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得
F(b)-F(a)=∑=-n
1
i 1-i i )]x (F )x ([F =i n
1
i i x △)η(F ∑='=i n
1
i i x △)η(f ∑=.
∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<
a
b ε
-. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n
1
i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n
1
i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n
1
i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-
<a b ε
-·∑=n 1
i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).
例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： (1)⎰b
a n x dx(n 为正整数)；(2)⎰b
a x e dx ； (3)⎰b
a 2x
dx
(0<a<b)； (4)⎰π0sinx dx ；(5)⎰2
02x -4x dx.
解：(1)∵∫x n
dx =1
n x 1n +++C ，∴⎰b a n x dx=
b a
1n 1n x ++=1
n a b 1n 1n +-++.
(2)∵∫e x dx =e x
+C ，∴⎰b
a x e dx=e x b
a =e
b -e a .
(3)∵∫2x dx =-x 1+C ，∴⎰b a 2x
dx =-b
a
x 1
=-b 1-(-a 1)=
a 1-b
1. (4)∵∫sin xdx=-cosx+C ，∴⎰π
0sinx dx=-cosx b
a =-cos π-(-cos0)=2.
(5)∵∫2x -4x dx=-32)x -(431+C ，∴⎰202x -4x dx=-2
3
2)x -(43
1
=3
8.
例2：利用定积分求极限：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++++→2n 12
n 11n 1lim ∞
n
.
解：原式=n 1n
i 11
lim n
1
i ∞
n
⋅
+∑=→=⎰+10x 1dx =ln(1+x)1
=ln2.
注：和式n 1n
i 11
n
1
i ⋅+∑
=是函数f(x)=x 11+在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，△x i =n 1
，ξi =n i
∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+n i
n 1
-i , i=1,2,…,n.
习题
1、计算下列定积分：
(1)⎰+1
03)(2x dx ；(2)⎰+1
02
2
x 1x -1dx ； (3)⎰2e e xlnx dx ；(4)⎰10-x
x 2e -e dx ；
(5)⎰
3
2
x tan π
dx ；(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+9
4
x 1x dx ；(7)⎰+40x 1dx ；(8)⎰e e 12x )(ln x 1dx. 解：(1)⎰+1
03)(2x dx=(x 2+3x)10=4.
(2)⎰+1
02
2
x 1x -1dx=(2arctanx-x)
10
=2
π-1.
(3)⎰2
e e
xlnx
dx
=lnlnx 2e e =ln2-ln1=ln2.
(4)⎰1
0-x x 2e -e dx=2
1(e x +e -x )
10
=2
1
(e+e -1-2).
(5)⎰302
x tan πdx=(tanx-x)|30π
=3-3
π.
(6)⎰⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
9
4x 1x dx=|9
43x 2x 32⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(18+6)-(316+4)=344. (7)令t =x ，则⎰+4
x
1dx =⎰+4
t
12t
dt=2(t-ln|1+t|)|20=4-2ln3. (8)⎰e
e 12x )(ln x 1dx=31(lnx)3|e
e
1=32.
2、利用定积分求极限： (1))n 21(n 1lim
3
34∞n +⋯++→；(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯++++→222∞n n)n (12)n (11)
n (1n lim ； (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++++→2222∞
n
2n 12n 11n 1n lim ；(4)⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⋯++→n )1(n sin n 2sin n sin n 1lim ∞n πππ. 解：(1)原式=n 1n i lim n
1i 3
∞n ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑=→=⎰103
x dx=
4x 41
=4
1.
(2)原式=n 1n i 11
lim n
1
i 2
∞
n ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+∑
=→=⎰+102)x 1(1
dx=-x 11+1
=2
1.
(3)原式=n
1n i 11
lim n
1i 2∞n ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∑
=→=⎰+102x 11dx=arcttan 10
=4
π.
(4)原式=n n 1)-(i sin lim 1
n
1
i ∞
n
πππ
⋅∑=→=⎰
π
π
x sin 1
dx=-
cosx
1
π
π
=π
2.
3、证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ’(x)=f(x)，则有：⎰b
a f (x)dx=F(a)-F(b).
证：设除有限个点：y 1,y 2,…,y m 外有F ’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T ’，
T={a=x 0,x 1,…,x n =b}是分割T ’添加分点y 1,y 2,…,y m 后所得到的分割. 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得
F(b)-F(a)=∑=-n
1
i 1-i i )]x (F )x ([F =i n
1
i i x △)η(F ∑='=i n
1
i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上可积，
∴f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<
a
b ε
-. 于是， 当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ，
∴|i n
1
i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n
1
i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n
1
i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-
<a b ε
-·∑=n 1
i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).。