高考一轮复习练习： 二项式定理

一、填空题
1．(x y －y x
)6的展开式中，x 3的系数等于________． 解析：设含x 3项为第(k ＋1)项，则T k ＋1＝C k 6·(x y )6－k ·(－y x )k ＝C k 6·x 6－k ··(－
y )k ·＝C k 6···(－y )k ， ∴6－k －k 2＝3，即k ＝2，
∴T 3＝C 26·x 3·1y 2·y 2＝C 26·x 3，其系数为C 26＝6×52＝15.
答案：15(只写C 26或C 46也可)
2．已知n 为正偶数，且(x 2－12x )n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4
项的系数是________．(用数字作答)
解析：n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项
系数为C 36(－12)3＝－52
. 答案：－52
3．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答)
解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32，
令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1，
故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31.
答案：31
4．(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．
解析：(1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)·(C 06x 6(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36
x3·(－1
x)
3＋C46x2(－1
x)
4＋C56x(－1
x)
5＋C66x0(－1
x)
6)
＝(1＋x＋x2)(x6－6x4＋15x2－20＋15
x2－6
x4＋
1
x6)．
所以常数项为1×(－20)＋x2·15
x2＝－5. 答案：－5
5．在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋3
x)3的展开式中，x的系数为________．(用数字
作答)
解析：由条件易知(1＋x)3，(1＋x)3，(1＋3
x)3展开式中x项的系数分别是C13，
C23，C33，即所求系数是3＋3＋1＝7
答案：7
6．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
解析：(1＋2)5＝C05(2)0＋C15(2)1＋C25(2)2＋C35(2)3＋C45(2)4＋C55(2)5
＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292，
由已知，得41＋292＝a＋b2，
∴a＋b＝41＋29＝70.
答案：70
7．(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．
解析：－C310＋(－C710)＝－2C310＝－240.
答案：－240
8．(x y－y x)4的展开式中x3y3的系数为________．
解析：(x y－y x)4＝x2y2(x－y)4，只需求(x－y)4的展开式中含xy项的系数：C24＝6.
答案：6
9．若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 009x2 009(x∈R)，则a1
2＋
a2
22＋…＋
a2 009
22 009的值为
________．
解析：a r ＝(－1)r C 2 009－r 2 009·12 009－r ·2r ，则a 1，a 2，…，a r 都能表示出来，则a 12＋a 222＋…
＋a 2 00922 009＝(－1)r C 2 009－r 2 009＝(1－2)
2 009＝－1. 答案：－1
二、解答题
10．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：
(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；
(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|；
(3)a 1＋a 3＋a 5；
(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.
解析：设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，
则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，
f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.
(1)∵a 5＝25＝32，
∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31.
(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|
＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5
＝－f (－1)＝243.
(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，
∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122.
(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2
＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5)
＝f (1)×f (－1)＝－243.
11．已知(a 2＋1)n
的展开式中各项系数之和等于(165x 2＋1x )5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．
解析：由( 165x 2＋1x )5得，T k ＋1＝C k 5(165x 2)5－k (1x
)k ＝
令T k ＋1为常数项，则20－5k ＝0，
∴k ＝4，∴常数项T 5＝C 45×165＝16.
又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，
由题意得2n ＝16，∴n ＝4.
由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，
∴C 24a 4＝54，∴a ＝±3.
12．已知(x －124x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，
即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，
∴展开式的第k ＋1项为C k 8(x )8－k (－124x )k
(1)证明：若第k ＋1项为常数项，
当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，
∵k ∈Z ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．
(2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k 4为整数，
∵0≤k ≤8，k ∈Z ，
∴k ＝0,4,8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.。