椭圆的第二定义及简单几何性质
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二、椭圆的简单几何性质
一、知识要点
椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
)10(<<=
e a
c
e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
e d
MF =|
|∴
准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2
=．根据对
称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122
22=+b x a y 的准线方程是c
a y 2
±=．
焦半径公式：
由椭圆的第二定义可得：
右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2
===右； 左焦半径公式为ex a c
a x e ed MF +===|)-(-|||2
左
二、典型例题
例1、求椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
练习：椭圆8192
2
=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，
离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.
例2、已知椭圆方程136
1002
2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，
求P 到右准线的距离.
例3、已知点M 为椭圆116
252
2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求
||3
5
||1MF MA +的最小值.
变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13
42
2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT
MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
例4、已知3 \* MERGEFORMAT 1F 为椭圆122
22=+b
y a x 的焦点，过3 \* MERGEFORMAT 1F 的
直线与椭圆交于3 \* MERGEFORMAT A 、3 \* MERGEFORMAT B 两点，求证：
|
|1
||111BF AF +
等于常数。
例5、已知椭圆122
22=+b
y a x 的焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，
点 3 \* MERGEFORMAT P 为其上的一点，3 \* MERGEFORMAT α∠21=PF F ，求 3 \* MERGEFORMAT 21PF F Δ的面积。
变式1、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点3 \* MERGEFORMAT P 为其上的动点.当3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F 为钝角时，点3 \* MERGEFORMAT P 横坐标的取值范围是___________.
变式2、椭圆x y M 22
4924
1+=上有一点，椭圆的两个焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，若3 \* MERGEFORMAT 21MF MF ⊥，则3 \* MERGEFORMAT 21ΔMF F 的面积是___________.
例6、椭圆19252
2=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭
⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．
（1）求证821=+x x ；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．
变式： 已知椭圆
13
42
2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
三、课后练习
1、已知椭圆 3 \* MERGEFORMAT )0,(122
22>=+b a b
y a x 长半轴的长等于焦距，且 3 \*
MERGEFORMAT 4=x 为它的右准线，椭圆的标准方程：______________________________.
2、已知3 \* MERGEFORMAT P 是椭圆3 \* MERGEFORMAT 136
1002
2=+y x 上的一点，若3 \* MERGEFORMAT P 到椭圆右准线的距离是3 \* MERGEFORMAT
2
17
，则点3 \* MERGEFORMAT P 到左焦点的距离是 （ ）
3 \* MERGEFORMAT 516.
A 3 \* MERGEFORMAT 5
66.B 3 \*