考点13 不等式选讲 -2021届高三《新题速递·数学(文)》1月刊(适用于高考复习)解析版

考点
13 不等式选讲
一、解答题
1．（2021·陕西西安市·高三一模）已知函数()2
1f x x =+，()|||21|g x x a x =---，1
2
a ≥
. （1）当12
a =
时，解不等式2
7()2g x <-；
（2）对任意1x ，2x R ∈，若不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）(,2)(2,)-∞-+∞；（2）
1322
a ≤≤. 【分析】（1）当1
2
a =
时，11()||21||22g x x x x =---=--，
不等式2
7()2g x <
，即217||22x --<-，即2
17||22
x ->， 解得24x >或23x <-(舍去)，由24x >，解得2x <-或2x >.
所以不等式2
7()2
g x <-的解集是(,2)
(2,)-∞-+∞.
（2）由题意知，只需满足()min max ()g x f x ≥即可.
()21f x x =+，()min 1f x ∴=，
依题意，当12a ≥时，11,21()31,21,x a x g x x a x a x a x a ⎧
+-<⎪⎪
⎪
=-++≤≤⎨⎪
--+>⎪⎪⎩
，
由一次函数性质知，()g x 在1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和(),a +∞上单调递减，
max 11
()()22
g x g a ∴==-.
由()min max ()g x f x ≥，得1
1
2a -≥，即32
a ≤. 2．（2021·浙江台州市·高三期末（文））已知数列{}n a 满足112
a =
，12
23
241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设1
21
n n b a n =+
-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】：（1）121n n b a n =+-，1223
241
n n n a a n ++-=-， 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+
=++=+=+=+-+--， 又11312
b a =+=
， 所以数列{}n b 是等比数列；
（2）由（1）得，1
232322
n n n b --=
⋅=⋅，N n *∈， 21
3221
n n a n -∴=⋅-
-，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，
211321
n n a -∴
≤⋅-， 当2n ≥时，
2
1231111111111222+2331222
22111
1
22511
32112
n n n n n S ----⎛⎫
- ⎪⎝⎭
<++++=+<+=-<-+++
+
⋅-，
又11
1
23S a =
=<， 综上，3n S <，n *∈N .
3．（2021·江西新余市·高三期末）已知()|1||3|f x x x =-++．
（1）求不等式()6f x ≥的解集；
（2）若存在0x 使得()2
06f x m m +≤+，求m 的取值范围．
【答案】（1）(,4][2,)-∞-+∞；（2）12m -≤≤.
【分析】解：（1）由已知得22,3
()4,31,22,1x x f x x x x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
所以当()6f x ≥时，2263x x --≥⎧⎨<-⎩或226
1x x +≥⎧⎨>⎩
，解得4x ≤-或2x ≥，
故()6f x ≥的解集为(,4][2,)-∞-+∞.
（2）由题得()|1||3||13|4f x x x x x =-++≥---=，当且仅当31x -≤≤时取等.
所以246m m ≤-++，220m m ∴--≤, 解得：12m -≤≤．
4．（2021·安徽宣城市·高三期末（理））已知函数()226f x x x =-+-.
（1）求不等式()10f x >的解集；
（2）记集合(){}
50A x f x a =-=，若A φ≠，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2
|3
x x ⎧
<-
⎨⎩
或}6x >；（2）)
5,⎡+∞⎣. 【分析】（1）依题意22610x x -+->；
当1x <时，22610x x -+->，则23x <-
，故2
3
x <-； 当16x ≤≤时，22610x x -+->，则6x >，无解； 当6x >时，22610x x -+->，则6x >，故6x >；
故不等式()10f x >的解集为2
|3
x x ⎧
<-
⎨⎩
或}6x >； （2）依题意，()5f x a =，
而()38,1,2264,16,38,6x x f x x x x x x x -+<⎧⎪
=-+-=+≤≤⎨⎪->⎩
则可知()min 5f x =，即()f x 的值域为[)5,+∞， 因为A φ≠，故55a ≥，则5a ≥
，故实数a 的取值范围为)5,⎡+∞⎣.
5．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））已知函数()14
f x x x =++-．
（1）求不等式()7≤f x 的解集；
（2）若不等式(
)
2
2()log 4f x m m ≤-的解集为空集，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）[]2,5-；（2）()()4,04,8-.
【分析】（1）由不等式()7≤f x 可得：()147f x x x =++-≤，
可化为：1147x x x <-⎧⎨
---+≤⎩，或14147x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩，或4
147x x x >⎧⎨++-≤⎩
，
解得：21x -≤<-，或14x -≤≤，或45x <≤， 综上不等式的解集为[]2,5-．
（2）因为()14=14|14|5f x x x x x x x =++-++-≥++-=， 当且仅当14x -≤≤时，等号成立. 所以()min 5f x =，
由不等式(
)
2
2()log 4f x m m ≤-的解集为空集，得(
)
2
2log 45m m -<，
所以，20432m m <-<，解得40m -<<或48m <<， 所以，实数m 的取值范围为()
()4,04,8-．
6．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））已知函数()|||23|=++-f x x a x . （1）当1a =时，求()f x 的最小值；
（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|5|+f x x 恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）最小值为52；（2）122,5⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【分析】（1）当1a =时，23,13()1234,12332,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=++-=--≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
，
由解析式可知，()f x 在(),1-∞-和31,2
⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
上单调递减，且在1x =-处连续，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
上单调递增，
故()f x 在3
2x =
处取得最小值，且3225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为52
. （2）
[,22]x a a ∈-，22a a ∴->，2a ∴>，
又[,22]x a a ∈-，0x a +>，230x ->，50x +>，
()5|||23|5235f x x x a x x x a x x ∴≤+⇒++-≤+⇒++-≤+.
即28a x ≤-+在[,22]x a a ∈-上恒成立，
令28y x =-+在[,22]x a a ∈-上单调递减，min 2(22)8412y a a =-⨯-+=-+
412a a ∴≤-+，解得：125
a ≤
， 综上，a 的取值范围为122,
5⎛⎤
⎥⎝⎦
. 7．（2021·安徽淮北市·高三一模（理））已知不等式14x x x +-<+的解集为(),m n . （1）求m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，()10n x y m -++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1,5m n =-=；（2）证明见详解.
【分析】(1) 解：原不等式可化为：
()014x x x x ≤⎧⎨
---<+⎩或()0114x x x x <<⎧⎨--<+⎩或()114x x x x ≥⎧
⎨+-<+⎩
所以10-<≤x 或01x <<或15x ≤<，即15x -<< 所以1,5m n =-=
(2)证明：由(1)知410,x y +-=即41x y +=，且00x y >>，
所以
()114445529x y y x y x
x y xy x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭
当且仅当3
11
6x y =
=，时取“=” 所以9x y xy +≥
8．（2021·石嘴山市第三中学高三期末（理））已知a ，()0,b ∈+∞，且242a b =.
（1）求
21
a b
+的最小值； （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式21
13x a b
-+≥+成立，求实数x 的取值范围. 【答案】（1）8（2）4x ≤-或6x ≥
【分析】（1）因为242a b =，所以222a b +=，所以21a b +=， 因为0,0a b >>，
所以
2121(2)()a b a b a b +=++444428b a b a
a b a b
=++≥+⋅=， 当且仅当11
,24
a b =
=时，等号成立.
所以
21
a b
+的最小值为8. （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式21
13x a b
-+≥
+成立， 则min 2113x a b ⎛⎫
-+≥+
⎪⎝
⎭， 由（1）知min 218a b ⎛⎫
+=
⎪⎝
⎭，所以|1|38x -+≥，即15x -≥， 所以4x ≤-或6x ≥.。