冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 全章热门考点整合应用

解：如图，连接EE′.由题意可知△ABE≌△CBE′， 所以CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2.∠ABE＝∠CBE′. 又因为∠ABE＋∠EBC＝90°， 所以∠CBE′＋∠EBC＝90°. 即∠EBE′＝90°， 则由勾股定理，得EE′2＝8.在△EE′C中， CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE2.
解：6分钟＝0.1小时，AC＝40×0.1＝4(nmile)， BC＝30×0.1＝3(nmile)． 因为AB＝5nmile， 所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB＝90°. 又由已知条件得∠CBA＝90°－37°＝53°. 所以∠CAB＝37°. 所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
18 育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采 集植物标本，第一组的步行速度为30m/min，第二组 的步行速度为40m/min，半小时后，两组同学同时停 下来，这时两组同学相距1500m. (1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角．
12 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸(直 线l)的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，已知CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何 处饮水所走总路程最短？最短总路程是多少？
解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD 于点M，连接AM，则在点M处饮水所走的总路程最短， 最短总路程为A′B的长． 过点A′作A′H⊥BD交其延长线于点H. 在Rt△A′HB中，易知A′H＝CD＝800米， BH＝BD＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(米)， 由勾股定理得A′B2＝A′H2＋BH2. 代入数据得A′B＝1000米，所以最短总路程是1000米．
所以△ABE≌△CBD(SAS)．所以 AE＝CD.
又因为 AD＝AE＋ED，ED＝BD，所以 BD＋CD＝AD.
5 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝6 3，D 是 AB 的中点，则 CD＝__3____3__．
6 如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°， 作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C， CD＝4. 求：(1)∠CBD的度数．
【点拨】 本题考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，解题的关
键是明确当点B，M，A′在一条直线上时，A′B的长是最 短总路程．
13 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE， 将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
证明：在△ABC 中，因为 AB＝AC，且 AE∶EM∶MB＝1∶
2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，所以 AD＝14AC， AE＝14AB＝14AC，所以 AE＝AD.同理 AM＝AN. 在△ADM 与△AEN 中，A∠DM＝AADE＝，∠NAE，
AM＝AN，
所以△ADM≌△AEN，所以∠AMD＝∠ANE. 因为AM＝AN， 所以∠AMN＝∠ANM， 所以∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE， 即∠OMN＝∠ONM， 所以OM＝ON， 所以△OMN是等腰三角形．
冀教版八年级上
第十七章特殊三角形
集训全课堂章 热 门 考 点 整 合 应 用
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1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20， CD是高． (1)求AB的长．
解：是直角三角形． 证明：因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1， 所以a2＋b2＝c2. 所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
10 【2020·保定涿州市实验中学期中】在△ABC中， AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB， ED＝BD. (1)求证：△ABD≌△CED.
【点拨】 含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互
余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题 的重要依据．
7 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC， AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连 接MD，NE，MN，MD与NE交于点O.求证：△OMN 是等腰三角形．
17 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海 域，我国海军的甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5nmile 的A，B两个基地前去拦截(甲巡逻艇从A基地出发，乙 巡逻艇从B基地出发)，6分钟后同时到达C地将其拦 截．已知甲巡逻艇每小时航行40nmile， 乙巡逻艇每小时航行30nmile，航向 为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
4 如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，E， D在同一条直线上，试说明：BD＋CD＝AD.
解：因为△ABC，△BDE均为等边三角形， 所以BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°. 所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC. 所以∠ABE＝∠DBC.
在△ABE 和△CBD 中，A∠BA＝BECB＝，∠CBD， BE＝BD，
( D)
A． a< b
B． a＝ b
C．a<b
D． a≤ b
16 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面 的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如 图①.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完 全展开时的尺寸如图②所示)
解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的 高度减去彩旗的对角线的长度． ∵1202＋902＝22500， ∴彩旗的对角线长为150cm. ∴h＝320－150＝170(cm)． 即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170cm.
8 如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长 度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面 墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹 角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，R点 离地面的高度为d，此时梯子与地面 的夹角为75°，则d＝a，为什么？
解：连接RQ，RB，设BR与PQ交于点M. ∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°， ∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°. 又∵PR＝PQ，∴△PRQ为等边三角形．∴RP＝RQ. 在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝45°， ∴∠BQP＝90°－45°＝45°，∴∠BPQ＝∠BQP， ∴BP＝BQ.∴点R，B在PQ的垂直平分线上， ∴BM⊥PQ.
n 2 3 4 5…
22－ 32－ 42－ 52－
a
…
1111
b 4 6 8 10 …
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n
为整数且2n2＞＋1)的3式2＋子表示42：＋a＝_5_2_＋_____，b＝
c
……
________，c1＝_____1___． 1
1
2n
n2＋1
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并 证明你的猜想．
解：将长方体的侧面展开，连接AB′，如图所示． 因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6cm，∠AA′B′＝90°， 所以AB′2＝AA′2＋A′B′2，代入数据得AB′＝10cm.
所以用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，所用细线最短需要 10 cm.如果从点 A 开始经过 4 个侧 面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短时，其长度的平 方为(8n)2＋62＝64n2＋36.所以其长度为 2 16n2＋9 cm.
解：在Rt△ADB中， ∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝30°. ∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°. 又∵∠DBC＝∠BDC，∴∠CBD＝30°.
(2)线段AB的长．
解：如图，过点 C 作 CM⊥BD 于点 M，延长 CM 交 AB 于点 E，连接 DE.易得 DE＝EB， ∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∵∠CDM＝30°，∠CMD＝90°， ∴CM＝12CD＝12×4＝2.
【点拨】 方法一：因为DA＝DB，所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为
DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.在△ABC中， ∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以 ∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－80°＝ 100°.方法二：在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝ 180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC＝ 180°－2×30°＝120°.所以∠BDC＝360°－140°－ 120°＝100°.故选A.
又∵∠EBM＝∠CBM＝30°， ∠EMB＝∠CMB＝90°，BM＝BM， ∴△EBM≌△CBM，∴EM＝CM＝2. ∵∠EDM＝30°，∠EMD＝90°，∴DE＝2EM＝4. ∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°， ∴∠DEA＝∠A，∴AD＝DE＝4. 又∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8.
2 【2021·保定师范附属学校期末】以下列各数据为边长，
能构成直角三角形的是( C )
A. 3， 4， 5
B．2，3，4
C．1， 2， 3
D．4，8，10
3 如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB ＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是( ) A A．100° B．80° C．70° D．50°
在Rt△BMP中， ∵∠BPQ＝45°，∴∠RBA＝45°. 在Rt△RAB中， ∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°， ∴∠ARB＝∠RBA， ∴AR＝AB，即d＝a.
【点拨】 若两个点到线段两端点的距离分别相等，则这两点确定的
直线是该线段的垂直平分线．
9 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
解：因为半小时后，第一组行走的路程为30×30＝ 900(m)，第二组行走的路程为40×30＝1200(m)，9002＋ 12002＝15002，而此时两组同学相距1500m，所以两组 同学行走的方向成直角．
(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时 间后能相遇？
解：设 x min 后两组同学相遇． 根据题意，得 30x＋40x＝1 500. 解这个方程，得 x＝1570. 即这两组同学若以原来的速度相向而行，1570 min 后能 相遇．
由勾股定理的逆定理，可知∠EE′C＝90°.
因为 BE＝BE′，∠EBE′＝90°， 所以∠BE′E＝180°－2 90°＝45°， 所以∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.
14 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC 边上的中线AD＝12.求： (1)AC的长度．
解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°. 在 Rt△ABD 与 Rt△CED 中，ABBD＝＝CEED，， ∴Rt△ ABD≌Rt△ CED(HL)．
(2)若∠ACE＝22°，则∠B的度数为____6_7_°__．
11 如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1cm和3cm， 高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠 绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从 点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B， 那么所用细线最短时其长度是多少 (用含n的式子表示)?
解：∵AD是BC边上的中线，BC＝10， ∴BD＝CD＝5. ∵52＋122＝132，∴BD2＋AD2＝AB2. ∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2＋CD2＝169.∴AC＝13.
(2)△ABC的面积．
解：S△ABC＝12BC·AD＝12×10×12＝60.
15 用反证法证明“若 a>b>0，则 a> b”首先应该假设
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝15，AC＝20， ∴AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625. ∴AB＝25.
(2)求△ABC的面积．
(3)求解：CDS的△A长BC＝．12AC·BC＝12×20×15＝150.
∵CD 是边 AB 上的高， ∴12AC·BC＝12AB·CD. ∴CD＝12.