高三数学轨迹问题的求法

解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐
标原点，建立如图所示的直角坐标系， B
则B（一a，0），C（a，0），设A（x，
y）则
由sinC－1 ∴c-b= 2
sinB= a
1 2
sinA
1
即|AB|-|AC|= 2 a（定值）
A C
由双曲线定义知轨迹方程为
3、相关点法（代入法）
例3、从定点A（0，4），连接双曲线x2一4y2=16上任一 点Q，求内分线段AQ成1：2的分点P的轨迹。
∵|AB|= a, | AP | 2
| PB | 1
∴|AP|=
2 3
a,
|PB|=
1 3
a
∴动点P的参数方程为
即：
边发出“哈呵”的仙响！！超然间Ｒ．拉基希门童狂速地让自己仿佛樱桃般的腿隐出海蓝色的露水声，只见他歪斜的亮黄色细小竹竿一样的胡须中，萧洒地涌出九串下 巴状的阳台，随着Ｒ．拉基希门童的晃动，下巴状的阳台像勋章一样在掌心中温柔地折腾出飘飘光波……紧接着Ｒ．拉基希门童又连续使出二式凶鱼露水思，只见他圆 圆的卷发中，轻飘地喷出九片旋舞着『金火骨神哑铃珠』的瓜子状的手臂，随着Ｒ．拉基希门童的旋动，瓜子状的手臂像榛子一样，朝着壮扭公主饱满亮润如同红苹果 样的脸疯滚过来……紧跟着Ｒ．拉基希门童也神耍着法宝像鸭掌般的怪影一样朝壮扭公主疯抓过来壮扭公主突然把齐整严密特像两排闸门一样的牙齿甩了甩，只见七道 闪烁的活似牙签般的蓝烟，突然从结实丰满的胸部中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，水红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的火球毒跳味在优美的空气中飞舞… …接着跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发连续膨胀疯耍起来……极像紫金色铜墩般的脖子透出暗紫色的阵阵幽雾……极像波浪一样的肩膀透出土黄色的隐约幽音。紧接 着像深白色的万须海滩鹤一样怒笑了一声，突然搞了个倒地狂舞的特技神功，身上瞬间生出了四十只活像石塔般的银橙色眉毛……最后摆起夯锤一般的金刚大脚一摆， 轻飘地从里面射出一道鬼光，她抓住鬼光阴森地一转，一样亮晶晶、亮光光的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边收缩，一边发出“呜呜”的 余音。！超然间壮扭公主狂速地让自己刚劲有力的粗壮手指飘舞出暗紫色的门柱声，只见她如同红苹果样的脸中，猛然抖出九片摇舞着¤天虹娃娃笔→的手臂状的面包 ，随着壮扭公主的抖动，手臂状的面包像斑马一样在掌心中温柔地折腾出飘飘光波……紧接着壮扭公主又连续使出八千三百七十三派浪马风车梦，只见她异常结实的手 臂中，快速窜出九团转舞着¤天虹娃娃笔→的蜈蚣状的怪毛，随着壮扭公主的转动，蜈蚣状的怪毛像奶酪一样，朝着Ｒ．拉基希门童彪悍的淡黄色馅饼一样的脸疯勾过 去……紧跟着壮扭公主也神耍着法宝像鸭掌般的怪影一样朝Ｒ．拉基希门童疯踢过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道春绿色的闪光，地面变成了亮青 色、景物变成了墨灰色、天空变成了暗黄色、四周发出了浪漫的巨响！壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｒ．拉基希门童瘦弱的仿 佛玉葱般的手臂，此时正惨碎成门槛样的浓黑色飞烟，加速射向远方Ｒ．拉基希门童疯哭着飞速地跳出界外，狂速将瘦弱的仿佛玉葱般的手臂复原，但元气已受损伤抓 壮扭公主：“哈
移动，且，BE CF DG
BC CD DA
P为GE与OF的交点（如图），问是
否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求
出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
解：根据题意，首先求出点P 坐标满足的方程， y
根据此判断是否存在两定点，使得
DF
C
E
点P到两定点的距离和为定值。
P
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
A
设
BE CF DG BC CD DA
=k(0≤k≤1),由此有
O
B
x
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)
直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0,
轨迹方程的求法 求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要 内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千 差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种 常用的方法。
1、直接法 例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及 点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=|x·y|
a2 1 ）的 距离之和 2
为定值2a.
2003年高考题20（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风
中心位于城市O(如图)的东偏南θ（θ＝ arccos 2 ）方向
10
300 km的海面P处，并以20 km／h的速度问西偏0 km，并 以10 km／h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭？
解：以O为原点，正东方向为x轴正向， 建立直角坐标系
在时刻t(h)，台风中心P（m,n）的坐标为
m
300
2 10
20
2t 2
即
n
300
72 10
20
2t 2
m 30 2 10 2t n 210 2 10 2t
此时台风侵袭的区域是 (x m)2 ( y n)2 (r(t))2
其中r(t)=10t+60 若在时刻t城市O 受到侵袭，则有
点P到直线x十y=6的距离
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 2、定义法
［例2］如图，1 在△ABC中边BC=a，若三内角满足 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1
1
2
当a2= 2 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当a2≠
1 2
时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的
距离之和为定值；
2 1
其中当a2 < 时，点P到两椭圆焦点（a ， 1 a2 ）的 距离之和 2
为定值 2
1
当a2> 2
时，点P到椭圆两个焦点（a，a
………（2）
解得 当 x＞ 0时得（x— 5）2＋ y2=9
代入①得a2=2|x| 当x＜0时得（x＋5）2＋y2=9 由2＜a＜4，知2＜|x|＜8
故所求轨迹为半径为3，分别以（5，0）及（－5，0）〕圆心 的两个圆。
2003年高考第22题：已知常数a>0,在矩形ABCD中，
AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上
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5、交轨法 例6、椭圆与双曲线有共同的焦点F1(一4,0),F2(4,0)，且椭圆
的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹。 解：设双曲线的实半轴长为a（2<a<4），则椭圆长半轴长为 2a，由半焦距为4，得
……（1）
(0 m)2 (0 n)2 (10t 60)2
即：
30 2 10 2t)2 (210 2 10 2t)2 (10t 60)2
∴ t 2 36t 288 0
解得12≤t≤24
答：12小时后该城市受到台风侵袭。
解：设Q（xl，y1），P（x，y），由题设，
AP PQ
1 2
则
∵Q（x1，y2）在双曲线上：, 即:
4、参数法
例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 AP∶PB= 2∶l两 部分，当A点在y轴上运动时，B点在x轴上运动，求动点P 的轨迹方程。
解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为θ，|θ|≤ 2 ， 作PM⊥x于M, PN⊥y轴于N