【精品】2020中考数学考点举一反三讲练第13讲 二次函数及其应用 (教师版)

第13讲 二次函数及其应用
一、考点知识梳理
【考点1 二次函数的图像及性质】
1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项． 2．三种表示方法：
(1)一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)；
(2)顶点式：y ＝a(x －h)2
＋k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；
(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解
两点式 4.图像性质
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)
a ＞0时
开口向上， 对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a ，
4ac －b 2
4a ，增减性：在对称轴的
左侧，即x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b
2a 时，y 随x 的增大而增大，简
记为“左减右增”
a ＜0时
开口向下，对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a ，
4ac －b 2
4a ，增减性：在对称轴的
左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b
2a 时，y 随x 的增大而减小，
简记为“左增右减”
【考点2 二次函数的实际应用】
1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．
2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．
3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．
【考点3 二次函数的图像与方程的关系】
二次函数与一元二次方程的关系：
1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．
【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】
1.平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
平移步骤：
(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；
(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．
2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．
【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】
二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。

二、考点分析
【考点1 二次函数的图像及性质】
【解题技巧】二次函数表达式的确定：
(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；
①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式；
②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式；
③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
(2)步骤：
①设二次函数的表达式；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；
③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．
【例1】（2019福建中考）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D （，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【答案】D．
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
【举一反三1-1】（2019 甘肃中考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b ＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤
【答案】C．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
【举一反三1-2】（2019 陕西中考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）
A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
【答案】D．
【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴，解之得，
故选：D．
【举一反三1-3】（2019 北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称；
（3）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与AB无交点；
②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；【解答】解：（1）A（0，﹣）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与AB无交点；
②a＜0时，
当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，
x＝或x＝
当≤2时，a≤﹣；
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
【举一反三1-4】（2019 云南中考）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，可求出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点，进而确定k的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为y轴，点P到y轴的距离为2，可以转化为点P的横坐标为2或﹣2，求相应的y的值，确定点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，
∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；
又∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k与x轴有两个交点．
∴3k＜0
∴k＝﹣3．此时抛物线的关系式为y＝x2﹣9，
因此k的值为﹣3．
（2）∵点P在物线y＝x2﹣9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝﹣5
当x＝﹣2时，y＝﹣5．
∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）
因此点P的坐标为：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．
【考点2 二次函数的实际应用】
【解题技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；
(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．
【例2】（2019 河北唐山中考模拟）如图所示，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m )，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2
.如果要围成面积为45 m 2
的花圃，那么AB 的长是（ ）
A ．45 m
B ．9 m
C ．24 m
D ．5 m
【答案】D ．
【分析】(1)先设AB 的长为x m ，再用含x 的代数式表示花圃的长BC ，从而建立面积S(m 2
)与AB 的长x m 之间的函数关系式．然后依据方程与二次函数的知识来求解；(2)将S ＝45代入二次函数关系式得一元二次方程，再求得解；(3)将二次函数的一般式转化为顶点式，将x 的最小值代入求面积的最大值，再求出此时围墙的长与宽．
【解答】解：(1)设宽AB 为x m ，则BC 为(24－3x)m . 这时面积S ＝x(24－3x)＝－3x 2
＋24x ； (2)由条件得，－3x 2
＋24x ＝45. 整理，得x 2
－8x ＋15＝0. 解得x 1＝5，x 2＝3.
∵0＜24－3x ≤10，∴14
3
≤x ＜8.
∴x ＝3不合题意，舍去．故花圃的宽为5 m ； 故选：D ．
【举一反三2-1】（2019 河北张家口中考模拟）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y ＝－35
x 2
＋3x ＋1的一部分，如图所示．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度是 ；
(2)已知人梯高BC ＝3.4 m ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4 m ，则这次表演 （填能或否） 成功． 【答案】(1)19
4
.(2)能.
【分析】(1)将函数表达式配方成顶点式，即可求得演员弹跳地面的最大高度；(2)将点(4，3.4)代入函数表达式，验证该点是否在抛物线上．在，说明表演能够成功；不在，说明表演不能成功． 【解答】解：(1)y ＝－35x 2
＋3x ＋1
＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194
.
∵a ＝－3
5＜0，∴函数有最大值，
即演员弹跳离地面的最大高度是19
4
m ；
(2)由于OC ＝4 m ，故将x ＝4代入函数表达式，得y ＝－3
5×42＋3×4＋1＝3.4，因此点(4，3.4)在该抛物线
上，说明这次表演能够成功．
【举一反三2-2】（2019 山东德州中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A ．此抛物线的解析式是y ＝﹣x 2
+3.5 B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D ．篮球出手时离地面的高度是2m 【答案】A ．
【分析】A 、设抛物线的表达式为y ＝ax 2
+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值；
B 、根据函数图象判断；
C 、根据函数图象判断；
D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为（1）中求得y ＝﹣0.2x 2+3.5，当x ＝﹣2，时，即可求得结论．
【解答】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2
+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a ×1.52
+3.5， ∴a ＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
【举一反三2-3】（2019 湖北武汉中考）（2019•武汉）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80
周销售量y（件）100 80 40
周销售利润w（元）1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是__ 元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值．
【分析】（1）①依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，由于对称轴是x＝，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①依题意设y＝kx+b，
则有
解得：
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，
设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有，
解得：，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m，
∵对称轴x＝，
∴①当＜65时（舍），②当≥65时，x＝65时，w求最大值1400，
解得：m＝5．
【举一反三2-4】（2019江苏徐州中考）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；（2）设甲、乙之间距离为d，由勾股定理可得d2＝（1200﹣240x）2+（80x）2 ＝64000（x﹣）2+144000，根据二次函数最值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则：
y1＝
y2＝bx
由图②知：x＝3.75或7.5时，y1＝y2，∴，解得：
答：甲的速度为240m/min，乙的速度为80m/min．
（2）设甲、乙之间距离为d，
则d2＝（1200﹣240x）2+（80x）2
＝64000（x﹣）2+144000，
∴当x＝时，d2的最小值为144000，即d的最小值为120；
答：当x＝时，甲、乙两人之间的距离最短．
【考点3 二次函数的图像与方程的关系】
【解题技巧】求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c ＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例3】（2019 河北沧州中考模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【答案】D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
【举一反三3-1】（2019•呼和浩特）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是．
【答案】﹣6＜b＜6．
【分析】将已知转化为对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，利用△＜0即可求解．
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6．
【举一反三3-2】（2019 河南郑州中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是．
【答案】x1＝1.6，x2＝4.4．
【分析】本题是一道估算题，先测估计出对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x＝3，可以算出右侧交点横坐标．
【解答】解：依题意得二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x＝3，
而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，
∴x1＝1.6；
又∵对称轴为x＝3，
则＝3，
∴x2＝2×3﹣1.6＝4.4．
∴答案是：x1＝1.6，x2＝4.4．
【举一反三3-3】（2019 山东日照中考）（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x 轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系
式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】
【解题技巧】将函数知识与几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将问题转化函数模型，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
【例4】（2019 辽宁本溪中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC 向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（）
A．19cm2B．16cm2C．12cm2D．15cm2
【答案】D．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm，
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ，
＝×6×8﹣（6﹣t）×2t，
＝t2﹣6t+24，
＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故选：D．
【举一反三4-1】（2019黑龙江哈尔滨中考）（2019•哈尔滨）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【答案】B．
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
【举一反三4-2】（2019江苏徐州中考））已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．
【答案】y＝（x﹣4）2．
【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
故答案是：y＝（x﹣4）2．
【举一反三4-3】（2019 甘肃中考）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；
（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
【举一反三4-4】（2019 上海中考）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x ＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m＝﹣1，即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，
解得：t＝0或3，
故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；
②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），
∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），
∴m＝﹣1，
故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，
∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．
【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】
【解题技巧】解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．【例5】（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】D．
【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
【举一反三5-1】（2018 河北中考）对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y ＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D．
【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△＝0求得c＝1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c＝3，4，5，故c＝1，3，4，5
【解答】解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点
∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式
得x2﹣2x+2﹣c＝0
△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0
解得：c＝1
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点
此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上
∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到
∴2＜c≤5
又∵c为整数
∴c＝3，4，5
综上，c＝1，3，4，5
故选：D．
【举一反三5-2】（2019 湖北孝感中考模拟）二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像如图所示，反比例函数y ＝b x 与
一次函数y ＝cx ＋a 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( )
,A )
,B ) ,C ) ,D )
【答案】D ．
【分析】根据二次函数的图像特点，可以确定a 、b 、c 的符号，从而可以确定一次函数和反比例函数图像的趋势。

【解答】∵y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像的开口向下 ∴a<0
∵对称轴在y 轴的右侧 ∴b>0，与y 轴正半轴相交 ∴c>0
反比例函数的图像经过第一、三象限 一次函数的图像经过第一、三、四象限． 故选B .
【举一反三5-3】（2019 海南中考）如图，已知抛物线y ＝ax 2
+bx +5经过A （﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ． （1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC ＝∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①S△PBC＝PG（x C﹣x B），即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
S△PBC＝PG（x C﹣x B）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 天津中考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝
…t m﹣2 ﹣2 n…
ax2+bx+c
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．
其中，正确结论的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C．
【分析】①当x＝0时，c＝﹣2，当x＝1时，a+b＝0，abc＞0，①正确；
②x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，②正确；
③m+n＝4a﹣4；当x＝﹣时，y＞0，0＜a＜，m+n＜，③错误；
【解答】解：当x＝0时，c＝﹣2，
当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴y＝ax2﹣ax﹣2，
∴abc＞0，
①正确；
x＝是对称轴，
x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
②正确；
m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵当x＝﹣时，y＞0，
∴a＞，
∴m+n＞，
③错误；
故选：C．
2.（2019 浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【答案】C．
【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．
【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；。