西藏拉萨市10校2022-2023学年高一上数学期末综合测试模拟试题含解析

4
2
2
故答案为−1.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列函数中，满足对定义域内任意实数 x1 ， x2 恒有
f
x1
2
x2
f
x1 f x2 的函数的个数为（
2
）
① y sin x
A.1 个 C.3 个
出球心和半径.
16、 1
【解析】∵
0, , 且
1 2
cos2
sin
4
,∴ cos2
2sin
4
，
∴ cos sin cos sin 2 cos sin ，
∴cosα+sinα=0,或 cosα−sinα= 2 (不合题意,舍去)，
∴ 3 ,2 3 ,sin2 sin 3 1，
为 3．已知定义在 R 上的函数 f x的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
1
2
3
4
f x 5
3
2
5
那么函数 g x f x 2x 一定存在零点的区间是（）
A. –,1
B. 1,2
C. 2,3
D. 3, 4
x2 1，x 0
4．已知函数
f
(x)
f
(x
3)，x
，则
0
f
(1)
（）
A.5
B. 3
设该梯形的上底为 a，下底为 b，高为 h，
则直观图中等腰梯形的高为 h′＝ 1 hsin45°； 2
∵等腰梯形的体积为 1 （a+b）h′＝ 1 （a+b）• 1 hsin45°＝
2
2
2
2
，
∴
1 2
（a+b）•h＝
1
2 sin45
＝4，∴该梯形的面积为 4
2
故选 D
【点睛】本题考查了平面图形的直观图的还原与求解问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，属于基础
2sin C 2sin C sin C
c 2bc
8 2 68 16
答案： 7 16
15、 26
【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为 4，5， 11 ,则长方体的对角线长等于三棱锥 P-ABC 外接球的直径，
即可求出三棱锥 P-ABC 外接球的表面积
【详解】
∵三棱锥 P−ABC 中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB= 11 ，
（2）如果 A B A ，求实数 m 的取值范围. 19．已知函数 f (x) 2x
x 1 （1）用定义证明函数 f (x) 在区间 (1, ) 上单调递增；
（2）对任意 x [2, 4] 都有 f (x) m 成立，求实数 m 的取值范围
20．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：
①对任意实数 x ， y ，均有 f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y) ；
17．已知函数
f
x
ax ax
1 (a 1
0且a
1) .
（1）若 f 2 1 ，求 f 2 的值；
2
（2）若 f x 在1,1 上的最大值为 1 ，求 a 的值.
2
18．已知全集U R ，集合 A x x2 4x 0 ， B x m2 x 3m 2 .
（1）当 m 2 时，求 U A B ；
1、A
【解析】根据因为函数满足对定义域内任意实数 x1 ，x2 恒有
f
x1
2
x2
f
x1 f x2 ，可得函数的图象是“下凸”，
2
然后由函数图象判断.
【详解】因为函数满足对定义域内任意实数 x1 ， x2 恒有
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2 ，
所以函数的图象是“下凸”，
分别作出函数① y sin x
1
1
A.
B.
2
4
1
C.2
D.
8
11．已知角
是第四象限角，且满足
sin
3 2
3 cos(
)
1，则 tan(
)
（）
A. 3
B. 3
C. 3 3
D. 3 3
12．终边在 x 轴上的角的集合为（ ）
A.{a | a k , k N}
B.{a | a k , k Z}
C.{a | a 2k , k N}
4、A 【解析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系
【详解】因为
f
x
x2 1, x
f
x
3,
0 x
0
所以 f 1 f 2 22 1 5
故选：A
5、B 【解析】略 【详解】因为函数单调递增，且 x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为 1 6、C
【解析】设 AD a AB 2a,CD 2a, AC 5a sin cos 2 ,sin 2 ,cos 1 cos A
D.4
10．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(Private Key Cryptosystem) ，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密
密钥为 y kx3 ，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ 1 ”，则解密后得到的明文是（） 256
② y 2x2 3x 1
③
y
1 2
x
④ y log2 x 的图象，
由图象知，满足条件的函数有③一个， 故选：A
2、B
【解析】利用辅助角公式化简得到
f
(x)
2 sin
2x
6
，求出最小正周期和最大值.
【详解】 f (x)
3
sin
2x
cos
2x
2 sin
2x
6
所以最小正周期为T 2 ,最大值为 2. 2
② f (1) 0 ；
③对任意 x [0,1) ， f (x) 0
（1）求 f (0) f (2) 的值，并判断 f (x) 的奇偶性；
（2）对任意的 x∈R，证明： f (x 4) f (x) ；
（3）直接写出 f (x) 的所有零点(不需要证明)
21．若函数 f (x) 2x 2 b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_____.
2
A.（2，+∞）
B.（0，2）
C.（-∞，2）
D.（0， 1 ） 2
8．与函数
y
tan
2x
3
的图象不相交的一条直线是（
）
A. x 2
B. x 3
C. x 12
D. x 4
9．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为 2 ，则原梯形的面积为( )
A.2
B. 2
C.2 2
32
256 256 32
解得 x3 1 ，即 x 1
8
2
故选：A.
11、A
【解析】直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可
【详解】由
sin
3 2
3cos
1，
得 cos 3cos 1，即 cos 1 ，
2
∵角 是第四象限角，
∴ sin 1 cos2 3 ， 2
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
22．若函数
f(x)满足
f(logax)＝
a ·(x－ a2 1
1 x
)(其中
a＞0
且
a≠1).
(1)求函数 f(x) 解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当 x∈(－∞，2)时，f(x)－4 的值恒为负数，求 a 的取值范围
的参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
2
∴三棱锥 P−ABC 外接球的表面积为 4
26 2
26 .
故答案为：26π.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求
外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用 4R2 a2 b2 c2 （ a, b, c 为三棱的长）；②若 SA 面 ABC （ SA a ），则 4R2 4r2 a2 （ r 为 ABC 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找
2
5
5
cos( ) 10 ,故选 C. 10
考点：解三角形.
7、B
【解析】列不等式求解
【详解】 log 1 x 1 0 ，解得 x (0,2)
2
故选：B
8、C
【解析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线.
【详解】函数的定义域是 2x k ， k Z 32
解得： x k ， k Z 12 2
13、 4 3
【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2，
所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2 3
所以球的半径为： 3
所求球的体积为 4
3
3 = 4 3
3
故答案为： 4 3
14、 7 16
【解析】由正弦定理、余弦定理得 sin 2A 2sin Acos A sin A cos A a b2 c2 a2 4 62 82 42 7
故选：B
3、B
【解析】利用零点存在性定理判断即可.
【详解】 g 1 f 1 2 5 2 3, g 2 f 2 4 3 4 1
g 1 g 2 0
则函数 g x f x 2x 一定存在零点的区间是 1, 2
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.
当 k 0 时， x ， 12
函数
y
tan
2x
3
的图象不相交的一条直线是
x
. 12
故选：C
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于简单题型. 9、D
【解析】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，结合图形即可求得面积
【详解】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；
D.{a | a 2k , k Z}
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.） 13．一个棱长为 2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm³.
14． ABC 的边 BC, AC, AB 的长分别为 a,b, c ，且 a 4 ， b 6 ， c 8，则 sin 2A __________. 2sin C
∴ tan tan sin 3
cos
故选：A 12、B 【解析】利用任意角的性质即可得到结果
【详解】终边在 x 轴上，可能为 x 轴正半轴或负半轴，所以可得角 a k , k Z ，故选 B.
【点睛】本题考查任意角的定义,属于基础题.
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
② y 2x2 3x 1
B.2 个 D.4 个
③
y
1 2
x
④ y log2 x
2．已知函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x ，则 f (x) 的（ ）
A.最小正周期 π ，最大值为 3 1
B.最小正周期为 π ，最大值为 2
C.最小正周期为 2π ，最大值为 3 1
D.最小正周期为 2π ，最大值为 2
∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为 4,5, 11 ，
则长方体的对角线长等于三棱锥 P−ABC 外接球的直径. 设长方体的棱长分别为 x,y,z,
则 x2 y2 16, y2 z2 25, x2 z2 11，
x2 y2 z2 26
∴三棱锥 P−ABC 外接球的直径为 26 ，
题
10、A
【解析】根据题意中给出的解密密钥为 y kx3 ，利用其加密、解密原理，
求出 k 的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为 y kx3 ，
由已知可得，当 x 4 时， y 2 ，
所以 2 k 43 ，解得 k
2 43
1， 32
故 y 1 x3 ，显然令 y 1 ，即 1 1 x3 ，
15．在三棱锥 PABC 中， PA BC 4 ， PB AC 5 ， PC AB 11 ，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为
________.
16．若
0， ，且
1 2
cos 2
sin
4
，则 sin 2
的值为__________
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
C. 2
D. 2
5．函数 f (x) ln x 2x 6 的零点的个数为
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
6．在 ABC 中， B ，BC 边上的高等于 1 BC ,则 cos A （ ）
4
3
A. 3 10 10
B. 10 10
C. 10 10
D. 3 10 10
1 7．函数 f（x）= log1 x 1 的定义域为（ ）