河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题(含解析)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）
（5月份）
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正
确答案的序号填涂在答题卡上）
1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）
A．4B．4+4i C．﹣4D．2i
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）
A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A?B D．?R A＝B
3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）
A．B．C．1D．2
4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）
A．B．C．4D．8
5．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是
一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概
率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．
7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．1C．1D．2
9．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）
A．12B．10C．9D．6
10．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）
A．B．C．D．
11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为
（）
A．B．C．1D．
12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西
函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；
③f（x）＝cosx；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）
13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．
14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，
3），动点P（x，y）满足不等式0≤?≤1，0≤?≤1，则W＝?的最大值为．
15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为．
16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则．（写出所有正确结论的编号）
①四面体ABCD每个面的面积相等
②四面体ABCD每组对棱相互垂直
③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
写在答题纸的相应位置）
17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sinAsinC＝．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量＝（cosA，cos2A），＝（﹣，1），当?取最小值时，判断△ABC的形状．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该
校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个
容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出
样本编号的中位数；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：
（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本
中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且?＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．
（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；
（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；
（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]
22．选修4﹣4：参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）
（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正
确答案的序号填涂在答题卡上）
1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）
A．4B．4+4i C．﹣4D．2i
【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．
【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，
∴，解得x＝3，y＝1，
∴（1+i）x+y＝（1+i）4＝（2i）2＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法
则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）
A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A?B D．?R A＝B
【分析】由x2﹣5x+6≥0，解得x≥3，x≤2，
【解答】解：由x2﹣5x+6≥0，化为（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得x≥3，x≤2，∴B ＝{x|x≥3，x≤2}，
∴A?B，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与
计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）
A．B．C．1D．2
【分析】画出△ABC，通过足，＝2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，P为AC的中点，＝2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：
因为S△ABC＝＝2．
所以S△APQ＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计
算能力．
4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）
A．B．C．4D．8
【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正
四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．
【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，
所以菱形的边长为：1，
由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，
底面边长为1，侧棱长为：，
所以几何体的表面积为：＝4．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，
注意视图的应用．
5．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是
一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概
率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．
【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，
则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，
则对应概率P＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．
6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．
【分析】由题表达函数f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）；向左平移m （m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；利用新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．
【解答】解：定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝化为：f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）
再向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；
又因为新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得，
即x＝0时函数值为最大或最小值，即：sin（﹣）＝1；或sin（﹣）＝﹣1；
所以：﹣＝kπ+，k∈Z；即m＝2kπ+，k∈Z；
又m＞0，所以m的最小值是：
故选：C．
【点评】本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象
及性质．
7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【分析】由，，＝，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．
【解答】解：，，＝，
∵6π＞0，
∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．
设f（x）＝，
则f′（x）＝，
当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，
∵e＜3＜π＜4
∴，
∴b＞c＞a，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．
8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．1C．1D．2
【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a 的值，然后求出离心率．
【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，
又由已知得|AF2|＝|F1F2|＝2，而抛物线准线为x＝﹣1，
根据抛物线的定义A点到准线的距离＝|AF2|＝2，
因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，
因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
所以双曲线的离心率e＝＝＝＝＝+1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）
A．12B．10C．9D．6
【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．
【解答】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，
∴S′＝A′B′？B′C′？sin45°＝
由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC
∴S＝AB?BC＝9
则由S＝kS′得k＝2，则T＝T＝（m﹣1）＝2（m﹣1）
故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2
当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3
当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4
当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5
当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，
故输出的结果为12
故选：A．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题
型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分
析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可
使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择
恰当的数学模型③解模．
10．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的
边数为a n，则＝（）
A．B．C．D．
【分析】先观察图形再结合归纳推理可得解．
【解答】解：a3＝12，a4＝20，a5＝30，猜想a n＝n（n+1）（n≥3，n∈N+），
所以＝＝，
所以+…＝（））+（）+…+（）＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．
11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为
（）
A．B．C．1D．
【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆
上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），
∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B 为切点，
∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，
∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，
∴P（，0），Q（0，），
∴△POQ面积S＝＝×，
∵﹣1≤sin2θ≤1，
∴当sin2θ＝1时，△POQ面积取最小值．
【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、
三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理
运用．
12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；
③f（x）＝cosx；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B （x2，y2由），
使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．
【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|
≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等号），
又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，
则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；
设AB的方程为y＝kx，对于①，由于y＝kx（x＞0）与f（x）＝x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；
对于②，由于y＝kx与f（x）＝lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；
对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；
对于④，取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是
中档题．
二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）
13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．
【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝??
，
令3﹣＝0，求得r＝2，故展开式的常数项为?＝．
等比数列{a n}的第5项a5＝，可得a3a7＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通
项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．
14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤?≤1，0≤?≤1，则W＝?的最大值为4．
【分析】利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各
个数量积代入已知不等式得到P的坐标满足的不等式，将的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．
【解答】解：由题得：，＝（x，y），＝（0，1），＝（2，3）．
∵0≤≤1，0≤≤1．
∴?
∵＝2x+3y＝（2x+y）+2y；
∴∈[0，4]．
∴所求最大值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．
15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为4．
【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出a n，利用等比数列的前n项和公式即可得出，再化简即可得出答案．
【解答】解：当n＝1时，a1+1＝2a1，解得a1＝1．
当n≥2时，∵S n+1＝2a n，S n﹣1+1＝2a n﹣1，∴a n＝2（a n﹣a n﹣1），∴．
∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
∴，∴．
∴＝1+4+42+…+4n﹣1＝＝．∴
．
∴2n（2n﹣30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值为4．
【点评】熟练掌握及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．
16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则①③④．（写出所有正确结论的编号）
①四面体ABCD每个面的面积相等
②四面体ABCD每组对棱相互垂直
③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．
【解答】解：由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成
的三棱锥，如图所示；
由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，
它们的面积相等，则①正确；
当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，
则②错误；
由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线
必经过长方体的中心，
由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；
由AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，
可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD的三边长，则④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱
锥放入长方体中，是基础题．
三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
写在答题纸的相应位置）
17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sinAsinC＝．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量＝（cosA，cos2A），＝（﹣，1），当?取最小值时，判断△ABC的形状．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；
（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断
三角形的性质．
【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2＝ac．由正弦定理得sin2B＝sinAsinC．
又sinAsinC＝，
所以sin2B＝．
因为sinB＞0，
则sinB＝．
因为B∈（0，π），
所以B＝或．
又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，
故B＝．
（Ⅱ）因为向量＝（cosA，cos2A），＝（﹣，1），
所以?＝﹣cosA+cos2A＝﹣cosA+2cos2A﹣1＝2（cosA﹣）2﹣，所以当cosA＝时，?取的最小值﹣．
因为cosA＝，
所以．
因为B＝，
所以A+B．
从而△ABC为锐角三角形．
【点评】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解
决本题的关键，考查学生的运算能力．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；
（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD＝CD，即可求AF的长；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角
公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，
∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面PAD，
∵FG?平面EFG，
∴FG∥平面PAD
∵M为AC中点，DM⊥AC，
∴AD＝CD．
∵∠ADC＝120°，AB＝4，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，AD＝CD＝，
∵∠DGF＝60°，DG＝，∴AF＝1
（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．＝（4，﹣，0）为平面PAC的法向量．
设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则
∵＝（2，2，﹣4），＝（4，0，﹣4），
∴，
令z＝3，得x＝3，y＝，则平面PBC的一个法向量为＝（3，，3），
设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝＝．
∴二面角A﹣PC﹣B余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问
题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．
19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该
校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个
容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出
样本编号的中位数；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：
（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本
中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数
（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，
求该数列的前10项和．
（3）分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本
的平均数与方差相等．
【解答】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：
512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），
512（重复），687，858，554，876，647，547，332．
将有效的编号从小到大排列，得
332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
所以中位数为×（647+687）＝667；
（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的
等差数列，
所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，
即S10＝10×8+＝4130；
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意可知x i＝8×7＝56，＝8×4＝32，
y i＝16，＝2×1＝2，
故样本平均数为＝×（x i+y i）＝×（56+16）＝7.2；
样本方差为s2＝×[+]
＝×{+}
＝×[﹣0.4（x i﹣7）+8×0.22++1.6（y i﹣8）
+2×0.82]
＝×（32﹣0+0.32+2+0+1.28）
＝3.56；
所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为 3.56．
【点评】本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差
的计算问题，是中档题．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且?＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，即可求出椭圆方
程，
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为+＝1．
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，
设其直线方程为：y＝kx+n，
则原点O到直线AB的距离为d＝，
联立方程，
化简得，（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，
由△＞0得4k2﹣n2+3＞0，
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴?＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+n）（kx2+n）＝（k2+1）x1x2+kn（x1+x2）+n2＝t 即（7d2﹣12﹣4t）k2+7d2﹣12﹣3t＝0对任意的k∈R恒成立，
则，解得t＝0，d＝，
当直线AB斜率不存在时，也成立．
故当t＝0时，O点到直线AB的距离为定值d＝．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的
求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想，是中档题．
21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．
（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；
（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；
（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．
【分析】（1）当a＝2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调
性求得函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；
（2）先求得g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的
范围，由此可得a的范围；
（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由题意可得，f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，化简可得m＝﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+
（2α﹣1）（x2﹣x1），由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx﹣x2，
可得，
函数f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，
所以f（1）取得最大值，且为﹣1；
（2）因为g（x）＝alnx﹣x2+ax，
所以g′（x）＝﹣2x+a，
因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，
所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，
即有a≥在（0，3）的最大值，
由y＝的导数为y′＝＞0，
则函数y＝在（0，3）递增，可得y＜，
则a≥；
（3）由题意可得，h′（x）＝﹣2x﹣m，
又f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，
∴2lnx1﹣x12﹣mx1＝0，2lnx2﹣x22﹣mx2＝0，
两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）＝m（x1﹣x2），
∴m＝﹣（x1+x2），
于是h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣m
＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）
＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），
∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．
可得h′（αx1+βx2）＜0．
要证：h′（αx1+βx2）＜0，
只需证：﹣＜0，
只需证：﹣ln＞0．（*）
令＝t∈（0，1），
∴（*）化为+lnt＜0，
只证u（t）＝+lnt即可．
∵u′（t）＝+＝﹣＝，
又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上单调递增，
故有u（t）＜u（1）＝0，∴+lnt＜0，
即﹣ln＞0．
∴h′（αx1+βx2）＜0．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭
区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]
22．选修4﹣4：参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．
【分析】（1）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，
【解答】解（1）∵P点的极坐标为，
∴＝3，＝．
∴点P的直角坐标
把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．
（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x ﹣2y﹣7＝0
设，则线段PQ的中点．
那么点M到直线l的距离
.
，
∴点M到直线l的最小距离为．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公
式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了
计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≤x+10的解集．（Ⅱ）由题意可得f（x）在x∈[﹣1，5]上的最小值大于或等于g（x）的最大值．。