江西省宜春市高安灰埠中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析

江西省宜春市高安灰埠中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）
A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若，，则 D．若，，则
参考答案：
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m?β．
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或mβ，故B错误；
在C中，若，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或mβ，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
2. “ω=2”是函数f（x）=cos2ωx﹣sin2ωx的最小正周期为π的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的图象和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：f（x）=cos2ωx﹣sin2ωx=cosωx，
当ω=2时，函数的周期T==π，∴充分性成立．
若函数f（x）=cosωx的最小正周期为π，则T=，
解得ω=±2，∴必要性不成立．
故“ω=2”是函数f（x）=cos2ωx﹣sin2ωx的最小正周期为π的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的周期性是解决本题的关键．
3. 已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；
③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
参考答案：
D
【分析】
对函数求导得到函数的极值点进而得到a＞e，①不正确，先由函数单调性得到④正确，再推断②③的正误.
【详解】对函数求导：当a≤0时，f′（x）＝e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，∵f′（x）＝e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1＜x2，
∴f（lna）＜0，a＞e，
∴e lna﹣alna＜0，∴a＞e，①不正确；
函数的极小值点为
要证，只要证
因为函数f（x）在（﹣∞，）单调递减，故只需要证
构造函数
求导得到
所以函数单调递增，恒成立，
即，故得到
进而得证：，.故④正确.
又因为
根据，可得到.③不正确.
因为故②不确定.综上正确的只有一个.
故答案为：D.
【点睛】本题考查的是导数在研究函数的极值点中的应用，导数在研究函数的单调性中的应用，题目比较综合.其中④涉及到极值偏移的方法的应用.
4. 一个三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为（）
(1)
参考答案：
B
5. 已知b是实数，若是纯虚数，则b=( )A．2 B．﹣2 C．D．
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
解：∵==是纯虚数，
则b=，解得b=2．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
6. 设是第二象限角,为其终边上的一点,且,则=( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
7. 双曲线实轴的两个顶点为，点为双曲线上除外的一个动点，若，则动点的运动轨迹为（）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
参考答案：
C
设,实轴的两个顶点
∵QA⊥PA，∴，可得
同理根据QB⊥PB，可得两式相乘可得
∵点为双曲线M上除A、B外的一个动点，，
整理得故选C．
8. 已知函数f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】函数的图象．
【分析】去绝对值化简f（x）解析式，对a进行讨论，根据二次函数的性质判断f（x）的单调性，再根据函数平移规律得出两函数图象．
【解答】解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=，
（1）若a＞0，则当x≥0时，对称轴为x=﹣＜0，开口向上，x＜0时，对称轴为x=＞0，开口向下，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且f（0）=0，
f（x+a）是由f（x）向左平移a的单位得到的，
此时函数图象为B，
（2）若a＜0，则当x≥0时，对称轴为x=﹣＞0，开口向下，
x＜0时，对称轴为x=＜0，开口向上，
∴f（x）在（0，+∞）上先减后增，在（﹣∞，0）先减后增，且f（0）=0，
f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的单位得到的，
此时函数图象为A或C，
故选D．
9. 对于的实数，当，满足时则
A.只有最大值，没有最小值
B. 只有最小值，没有最大值
C. 既有最小值也有最大值
D. 既没有最小值也没有最大值
参考答案：
C
10. 是的（）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
．
参考答案：
由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。

棱柱的高为4，
，底面梯形的上底为4，下底为5，腰
,所以梯形的面积
为
，梯形的周长为
，所以四个侧面积为
，所以该几何体的表面积为。

12. 双曲线：的离心率________；渐近线的方程为_________．
参考答案：
，.
试题分析：由题意可知，
，
，∴
，∴离心率
，渐近线方程为
.
考点：双曲线的标准方程及其性质.
13. 设互不相等的平面向量组，满足：①；
②
，若
，则
的取值集合为
参考答案：
【知识点】向量的加法 向量的模F1
{0,2,}
解析：由题意知m 最大值为4，当m=2时，为以OA,OB 为邻边的正方形的对角线对应的向量，其模
为
，当m=3时，
，其模为2，当m=4时，
，其模为
0，所以
的取值集合为{0,2,
}.
.
【思路点拨】可先结合条件由m=2开始逐步分析所求向量的和向量，再求其模即可. 14. 已知数列{a n }满足：
(
)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 40= ．
参考答案：
440
当n=2k 时，即①
当n=2k-1时，即
②当n=2k+1时，即
③
①+②
③-①
S 40=（a 1+a 3+a 5+…+a 39）+（a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 40）
15. 已知
A. B. C. D.
参考答案：
D
16. O是平面α上一点，点A，B，C是平面α上不共线的三点，
平面α内的动点P满足
则的值为。

参考答案：
略
17. 数列{a n }中，S n 是其前n 项的和,若a1
＝
1
，a n+1＝S n （n≥1），则a n＝
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）
已知函数，（其中，，），
其部分图象如图所示．
（I）求的解析式；
（II）求函数在区间上的最大值及相应的值．
参考答案：
（I）由图可知，，，所以
∴
又，且，所以
所以．
（II）由（I），
所以=
因为，所以，．
故，当时，取得最大值．
19. 已知.
⑴ 求函数在上的最小值；
⑵ 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
⑶ 证明对一切，都有成立.
参考答案：
解答：⑴ ，当，，单调递减，当，，单调递增.
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以.
⑵ ，则，设，则，
，，单调递增，，，单调递减，所以
，因为对一切，恒成立，所以；
⑶ 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立.略
20. 如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线
的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.
(1)求的方程;
(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.
参考答案：
21. 已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：
（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.
参考答案：（1）；（2）或.
【分析】
（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
，直线，点F到直线l的距离为，
，
所以椭圆的标准方程为；
（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，
联立，消去得，，
，设，
，
，
，
线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，
，，
，平方整理得，
解得或（舍去），，
所求的直线方程为或.
【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.
22. 已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和.
参考答案：
（Ⅰ）显然，又图象过（0,1）点，∴f（0）＝1,∴sinφ＝，∵|φ|<，∴φ＝；
由图象结合“五点法”可知，对应函数y＝sinx图象的点（2π，0），
∴ω·＋＝2π，得ω＝2
所以所求的函数的解析式为：f（x）＝2sin………………………………7分
（Ⅱ）如图所示，在同一坐标系中画出和y＝（m∈R）的图象，
由图可知，当－2<<0或<<2时，直线y＝与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.∴m的取值范围为：－1<m<0或<m<1 当－1<m<0时，两根和为；当<m<1时，两根和为………………………15分。