精品试卷鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习试卷(精选含详解)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点
F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：①PD =；②四边形PECF 的周长为8；③AP EF =；④
EF 的最小值为2222PB PD PA +=；⑥AP EF ⊥．其中正确结论有几个（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2、已知在平行四边形ABCD 中，∠A ＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A ．∠D ＝90°
B ．AB ＝CD
C ．A
D ＝BC D ．BC ＝CD
3、下列说法：①不可能事件发生的概率为0；②随机事件发生的概率为12；③事件发生的概率与实
验次数无关；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是必然事件．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①④
4、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝6，F 为DE 的中点．若OF 的长为1，则△CEF 的周长为（ ）
A ．14
B ．16
C ．18
D ．12
5、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A ．测量对角线是否互相平分
B ．测量一组对角是否都为直角
C ．测量对角线长是否相等
D ．测量3个角是否为直角
6、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
7、如图，正方形ABCD 的边长为8，对角线AC 、BD 相交于点G ．K 为AC 上的一点，且
CK =BK 并延长交CD 于点H ．过点A 作AE BH ⊥于点E ，交BD 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8、如图，正方形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点
E 在BD 上，且BE =AD ，则∠ACE 的度数为（ ）
A ．22.5°
B ．27.5°
C ．30°
D ．35°
9、在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以A 点，B 点为圆心以大于12
AB 为半径画弧，两弧交于E ，F ，连接EF 交AB 于点D ，连接CD ，以C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AC 于G 点，则:CG AB =（ ）
A ．
B ．1：2
C ．
D ．10、如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，8AC =，12BD =，
E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（ ）
A．B C．D
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是1；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
2、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF AD
，垂足为点F．若
3
AF=，5
EC=，则正方形ABCD的面积为______．
3、菱形的判定：
（1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形．
几何语言描述：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）对角线互相____________的平行四边形是菱形
几何语言描述：
∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．
（3）四条边都____________的四边形是菱形．
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．
4、如图，在正方形ABCD中，AB E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为_________．
5、（1）定义法：有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形是正方形．
（2）矩形法：一组邻边相等的________是正方形
（3）菱形法：一个角为直角的________是正方形
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AH＝HF；③AF＝EG．
(1)从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题．写出该命题并证明；
(2)若AB ＝3，EG 垂直平分AF ，设BF ＝n ．
①求EH ：HG 的值（含n 的代数式表示）；
②连接FG ，点P 在FG 上，当四边形CPHF 是菱形时，求n 的值．
2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD//BC
(1)在图中，用尺规作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交BD 、BC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接DF ，证明四边形ABFD 为菱形．
3、如图，直线12l l ∥，线段AD 分别与直线1l 、2l 交于点C 、点B ，满足AB CD ．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC 的垂直平分线交1l 于点E ，交2l 于点F ，交线段BC 于点O ，连接ED 、DF 、FA 、AE ．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证：四边形AEDF 为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：12l l ∥
1∴∠=____①____ EF 垂直平分BC
OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=
∴____②____FOB ∆≌
OE ∴=____③____
AB CD =
OB AB OC DC +=+∴
OA OD ∴=
∴四边形AEDF 是___④_____
EF AD ⊥
∴四边形AEDF 是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．
4、已知平行四边形ABCD ，AC 是它的对角线．
(1)用尺规作AC 的垂直平分线EF ，垂足为O ，EF 交AB 于点E ，交CD 于点F （不写作法，但要保留痕迹）；
(2)连接AF 、CE ，求证：四边形AFCE 是菱形；
5、如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，求CT 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，可说明四边形AMFD 为矩形，AM DF =，BM CF =，MPB △是等腰直角三角形，=BM PM ；①中PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒可得
PDF ∆为等腰直角三角形，进而求PD ，由于四边形PECF 是平行四边形，=PF CE ，故可知
PD ==；②90BCD ∠=︒，四边形PECF 为矩形，进而可求矩形的周长；③证明ADP CDP △≌△，由全等可知AP PC =，进而可说明AP EF =；④==EF PC AP ，当AP 最小时，EF 最小，即AP BD ⊥时，AP 最小，计算即可；⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，勾股定理求得222PB PM MB =+，222PD PF FD =+将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H ，证明APM △FEP ≌，得MAP PFE ∠=∠，90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，，90PFE HPF ∠+∠=︒，=90PHF ∠︒进而可说明AP EF ⊥．
【详解】
解：如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，
由题意知FM AD DF AB ∥，∥ ∴四边形AMFD 为平行四边形 ∵90MAD ∠=︒
∴四边形AMFD 为矩形
∴AM DF AD MF ==，
∵BM AB AM CF CD DF =-=-， ∴BM CF =
∵4590ABD BMP ∠=︒∠=︒， ∴45MPB ∠=︒
∴MPB △是等腰直角三角形 ∴=BM PM
①∵PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒ ∴PDF ∆为等腰直角三角形
∴PD =
PE BC ⊥，PF CD ⊥
∴PE CD PF BC ∥，∥
∴四边形PECF 是平行四边形 ∴=PF CE
∴PD =
故①正确；
②∵90BCD ∠=︒
∴四边形PECF 为矩形
∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+==
故②正确； ③四边形PECF 为矩形
PC EF ∴=
∵在ADP △和CDP 中
∵45AD CD ADP CDP PD PD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴()ADP CDP SAS ≌△△
∴AP PC =
∴AP EF =
故③正确；
④∵EF PC AP ==
∴当AP 最小时，EF 最小
∴当AP BD ⊥
时，即1122
AP BD ==⨯=EF
的最小值等于故④正确；
⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，22222PB PM MB PM =+=，2222222PD PF FD FD AM ===+
∴22222222PB PD PM AM AP +=+=
故⑤正确；
⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H
∵在APM △和FEP 中
∵AP EF AM PF MP PE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴APM △()FEP SSS ≌
∴MAP PFE ∠=∠
∵90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，
∴90PFE HPF ∠+∠=︒
∴=90PHF ∠︒
AP EF ∴⊥
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
2、D
【解析】
略
3、C
【解析】
【分析】
根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）1=；②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）0=；③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0P <（A ）1<，逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：①不可能事件发生的概率为0，说法正确；
②随机事件发生的概率为0到1，故说法错误；
③事件发生的概率与实验次数无关，故说法正确；
④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是随机事件，故说法错误．
正确的说法有：①③．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．
4、B
【解析】
【分析】
根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：22ED CF EF ==，结合图形得出CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，再由中位线的性质得出22BE OF ==，在Rt CED 中，利用勾股定理确定10ED =，即可得出结论．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，BO DO =，BC CD =，90BCD ∠=︒，
∵F 为DE 的中点，O 为BD 的中点，
∴OF 为DBE 的中位线且CF 为Rt CDE 斜边上的中线，
∴22ED CF EF ==，
∴CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，
∵1OF =，
∴22BE OF ==，
∵6CE =，
∴268BC BE CE =+=+=，
∴8CD BC ==，
在Rt CED 中，90ECD ∠=︒，8CD =，6CE =，
∴10ED ==，
∴CEF 的周长为10616EF EC FC ED EC ++=+=+=，
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】
解：A 、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B 、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C 、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D 、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】 解：四边形ADCB 为菱形，
OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，
FOC AOE ∠=∠，
()CFO AEO ASA ≅,
∴CFO AOE S S =,
∴CFO BOF BOC S S S +=, ∴1111··6864242
BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC
∆的面积为解题关键．
7、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及已知条件求得OK的长，进而证明AOF≌BOK，即可求得OF OK
=，勾股定理即可求得AF的长
【详解】
解：如图，设,
AC BD的交点为O，
四边形ABCD是正方形
AC BD
∴⊥，AC BD
=,
11
,
22 AO AC BO BD ==
∴
AC==，
1
2
OC AC
==
90
AOE BOK
∴∠=∠=︒，2390
∠+∠=︒,AO BO
=
CK=
OK OC CK
∴=-=
AE BH
⊥
∴1290
∠+∠=︒
13∠∠∴=
在AOF 与BOK 中
13AO BO
AOF BOK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AOF ≌BOK
OF OK ∴
==在Rt AOF
中，
AF ==
=故选C
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
利用正方形的性质证明∠DBC =45°和BE =BC ，进而证明∠BEC =67.5°．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC =AD ，∠DBC =45°，
∵BE =AD ，
∴BE =BC ，
∴∠BEC =∠BCE =（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC ⊥BD ，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．9、B
【解析】
【分析】
根据尺规作图可知EF是AB的垂直平分线，从而CD=CG=1
2
AB，然后可求CG：AB的值．
【详解】
解：根据尺规作图可知EF是AB的垂直平分线，∴D是AB中点，
∴CD=CG=1
2 AB，
∴CG：AB=1
2
AB：AB=1:2，
故选B．
【点睛】
本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的中线等于斜边的一半是解本题的关键．
10、A
【解析】
【分析】
取OD 的中点H ，连接HP ，由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝4，OB ＝OD ＝6，由三角形中位线定理可得122
HP OC ==，HP AC ∥，可得EH ＝6，90EHP ∠=︒，由勾股定理可求PE 的长． 【详解】
解：如图，取OD 的中点H ，连接HP
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝4，OB ＝OD ＝6
∵点H 是OD 中点，点E 是OB 的中点，点P 是CD 的中点
∴OH =3，OE =3，122
HP OC ==，HP AC ∥ ∴EH ＝6，90EHP ∠=︒
在Rt HPE △中，由勾股定理可得：
∴PE =故选：A
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题
1、①③④
【解析】
【分析】
①易证得△OBE ≌△OCF （SAS ），则可证得结论①正确；
②由OE 的最小值是O 到BC 的距离，即可求得OE 的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
≤EF ＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE ≌△OCF ，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形，AC ，BD 相交于点O ，
∴OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCD ＝45°，
在△OBE 和△OCF 中，
OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OBE ≌△OCF （SAS ），
∴OE ＝OF ，
∵∠BOE ＝∠COF ，
∴∠EOF ＝∠BOC ＝90°，
∴△OEF 是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE ⊥BC 时，OE 最小，此时OE ＝OF ＝12BC ＝1，
∴△OEF 面积的最小值是12×1×1＝12，
故②错误；
③∵BE ＝CF ，
∴CE ＋CF ＝CE ＋BE ＝BC ＝2，
假设存在一个△ECF ，使得△ECF 的周长是2
则EF
由①得△OEF 是等腰直角三角形，
∴OE
=
，OE 的最小值是1，
∴存在一个△ECF ，使得△ECF 的周长是2
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S 四边形OECF ＝S △COE ＋S △OCF ＝S △COE ＋S △OBE ＝S △OBC ＝14S 正方形ABCD ＝14
×2×2＝1， 故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
2、49
【解析】
【分析】
延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出
【详解】
如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴45CDB ∠=︒，
∴BME 是等腰直角三角形，
∴3EM BM ==，
在Rt EMC 中，4CM =，
∴347BC BM CM =+=+=，
∴22749ABCD S BC ===正方形．
故答案为：49．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
3、 相等 AD 垂直 BD 相等 AD
【解析】
略
4、1
【解析】
连接AM ，延长AM 交CD 于G ，连接FG ，由正方形ABCD 推出AB =CD =BC
AB ∥CD ，∠C =90°，证
得△AEM ≌GDM ，得到AM =MG ，AE =DG =12AB ，根据三角形中位线定理得到MN =12
FG ，由勾股定理求出FG 即可得到MN ．
【详解】
解：连接AM ，延长AM 交CD 于G ，连接FG ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =CD =BC
AB ∥CD ，∠C =90°，
∴∠AEM =∠GDM ，∠EAM =∠DGM ，
∵M 为DE 的中点，
∴ME =MD ，
在△AEM 和GDM 中，
EAM DGM AEM GDM ME MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEM ≌△GDM （AAS ），
∴AM =MG ，AE =DG =12AB =12
CD ， ∴CG =12
CD
∵点N 为AF 的中点，
∴MN =12
FG ， ∵F 为BC 的中点，
∴CF =12
BC
∴FG ，
∴MN =1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM =MG 是解决问题的关键．
5、 相等 直角 矩形 菱形
【解析】
略
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)①6n n
-【解析】
【分析】
（1）过点作DP AF ⊥交AB 于点P ，先证四边形DGEP 是平行四边形，得
DP EG =，再由ASA 证ABF DAP ∆≅∆，得AF DP =，即可得出结论；
（2）①过点H 作AD 的平行线交AB 于N ，交CD 于Q ，则3NQ AD AB ===，::EH HG NH HQ =，证NH 是ABF ∆的中位线，得1
122NH BF n ==，则132
HQ n =-，即可得出答案；
②先由菱形的性质得3HF FC n ==-，再证262AF AH n ==-，在Rt ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
(1)
解：在正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 边上的点，AF 和EG 交于点H ，且AF EG ⊥；
求证：AF EG =．
证明：过点D 作DP AF ⊥交AB 于点P ，如图1所示：
则90ADP DAF ∠+∠=︒．
AF EG ⊥，
//DP EG ∴，
四边形ABCD 是正方形，
90B BAD BAF DAF ∴∠=∠=∠+∠=︒，AB AD =，//AB CD ，
ABF ADP ∴∠=∠，四边形DGEP 是平行四边形，
DP EG ∴=，
在ABF ∆与DAP ∆中，
BAF ADP AB DA B DAP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABF DAP ASA ∴∆≅∆，
AF DP ∴=，
AF EG ∴=；
(2)
解：①过点H 作AD 的平行线交AB 于N ，交CD 于Q ，如图2所示：
则3NQ AD AB ===，::EH HG NH HQ =， EG 垂直平分AF ，
N ∴、H 分别为AB 、AF 的中点，
NH ∴是ABF ∆的中位线，
1122
NH BF n ∴==， 132
HQ n ∴=-， 12::1632
n n EH HG NH HQ n n ∴===--； ②如图3所示：
四边形CPHF是菱形，
∴==-，
HF FC n
3
EG垂直平分AF，
AH HF n
∴==-，
3
∴==-，
262
AF AH n
在Rt ABF中，由勾股定理得：222
AB BF AF
+=，
即222
n n
+=-，
3(62)
解得：4
n=，
n=4
n
∴=
4
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和菱形的性质．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE ≌△FBE ，即可得出AE =EF ，进而利用菱形的判定方法得出答案．
(1)
（1）如图：EF 即为所求作
(2)
证明：如图，连接DF ，
∵AD //BC ，
∴∠ADE =∠EBF ，
∵AF 垂直平分BD ，
∴BE =DE ．
在△ADE 和△FBE 中，
ADE FBE DE BE
AED BEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△FBE （ASA ），
∴AE =EF ，
∴BD 与AF 互相垂直且平分，
∴四边形ABFD 为菱形．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
3、 (1)见解析
(2)①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】
（1）分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；
（2）：根据12l l ∥，内错角相等得出1∠=∠2①，根据EF 垂直平分BC ，得出OB OC =，90EOC FOB ︒∠=∠=，可证②△EOC FOB ∆≌，根据全等三角形性质得出OE =OF ③，再证OA OD =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEDF 是平行四边形④，根据对角线互相垂直
EF AD ⊥即可得出四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）
． (1)
解：分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；
如图所示
(2)
证明：12l l ∥，
1∴∠=∠2①， EF 垂直平分BC ，
OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=，
∴②△EOC FOB ∆≌，
OE ∴=OF ③，
AB CD =，
OB AB OC DC +=+∴，
OA OD ∴=，
∴四边形AEDF 是平行四边形④，
EF AD ⊥，
∴四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），
故答案为：①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作AC 的垂直平分线即可；
（2）先根据平行四边形的性质得到//FC AE ，再利用平行线的性质得到FCO EAO ∠=∠，CFO AEO ∠=∠，则可判断FOC EOA ∆≅∆，所以OF OE =，然后利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到结论．
(1)
解：如图，EF 为所作；
(2) 解：证明：四边形ABCD 是平行四边形，
//FC AE ∴，
FCO EAO ∴∠=∠，CFO AEO ∠=∠， EF 是AC 的垂直平分线，
CO AO ∴=，
在FOC ∆和EOA ∆中，
CFO AEO FCO EAO OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ΔΔFOC EOA AAS ∴≅，
OF OE ∴=，
EF ∴与AC 互相垂直平分，
∴四边形AFCE 是菱形．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握5种基本作图方式．
5
【解析】
【分析】
连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC ，AB CF ACD =45°，
∠GCF =45°，则利用勾股定理得到AF CT 的长．
【详解】
解：连接AC 、CF ，如图，
∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，
∴AC AB CF CE ACD =45°，∠GCF =45°，
∴∠ACF =45°+45°=90°，
在Rt △ACF 中AF =，
∵T 为AF 的中点，
∴12CT AF =，
∴CT ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．。