总复习要关注中考数学试题的导向作用

总复习要关注中考数学试题的导向作用
河北省宁晋县中曹中学 刘玉波
复习课是针对性相当强的课，它既要针对学生的实际和教材的重点，复习和巩固已学的基础知识，又要培养和提高学生灵活运用已学知识的基本技能和技巧，发展学生的逻辑思维和创新能力。

因此上好复习课对提高教学质量是十分重要的。

而选择、设计例、习题是上好复习课的关键。

但教材和教辅不可能做到每年编写一次，几年前出现在教材中令人耳目一新的范例或习题如今可能会有一定的局限性。

而中考试题的命制是严肃而科学的，是经命题专家组反复论证过的，选择它作为复习之用，可无后顾之忧。

特别是近几年中考试卷中出现的新型试题，如开放性试题、阅读理解型试题、探索性试题、图表信息类试题等，展示了不同的思考策略和解题方法。

认真研究这些中考试题，既可对教师的教学起到很好的导向作用，又能有利于学生把学到的知识构成网络、形成系统，为总复习教学提供强有力的保障。

一、总复习要重视基础性试题的选择
认真分析各省市的中考试卷，不难发现基础题所占比例大都在65%左右，因此，总复习的选题一定要符合学生实际，狠抓基础知识的复习和基本技能的训练，抓住重点，突破难点。

例1.（2008年武汉市）小怡家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室的温度是2-℃，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）．
Ａ. 3℃ Ｂ．3-℃ Ｃ．7℃ Ｄ．7-℃． 选题说明：全国各地中考试题都比较关注对基础知识、基本技能和基本思想方法的有效检测。

本题以生活中冰箱的温度为背景，不仅考查了有理数的运算，而且也检测了对正负数意义的理解。

这些都提醒我们，在复习时，首要问题是夯实基础，不能忽视对基础知识的梳理。

例2.（2008年荆门市）如图1，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2）、（1-，1-），则两个正方形的位似中心的坐标是______.
选题说明：求解本题时一定要清楚位似图形一定是相似形。

本题以填空题的形式进行考查，设计是成功的，它避免了书写规范而繁杂的求解过程，重点是对分类讨论思想和位似、位似比之间的演算后坐标的确定的考查。

这也符合课程标准“淡化几何证明的技巧，降低论证过程形式化和证明的难度”的要求。

例3.（2008年北京市）如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，︒=∠45B ，2=
AD ，
24=BC ，求DC 的长．
选题说明：本题在梯形中考查了三角形、四边形的基础知识及其推理与运算的技能，引导数学教学在打好基础上下功夫。

本题解法多样，给了学生比较
图1
A B
D
C
O
E F
G y
x
A B
C
D
图2
大的思维空间。

如，可过点D 作DF ∥AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ；或分别过点A 、D 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ；或过点D 作DE ⊥AC 于E 等。

二、总复习要重视开放性试题的选择
在复习过程中，要注意选用开放性试题，锻炼学生的发散思维能力和创新能力，启发学生多角度、多渠道地思考问题。

例4.（2008年义乌市）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征。

甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大。

在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式________.
选题说明：这是一道结论开放的问题，没有采用给出函数来考查函数性质的形式，而是运用性质建构函数，淡化了对数学知识记忆的考查，更加关注学生对知识的理解与运用，及对不同的思维方式的表达。

例5.（2008年台州市）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图3，直径AB ⊥弦CD 于E ），设x AE =，y BE =，他用含x 、y 的式子表示图中的弦CD 的长度，通过比较运动的弦CD 和与之垂直的直径AB 的大小关系，发现了一个关于正数x 、y 的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ．
选题说明：本题很好地体现了新课标中“学会学习”的理念，让学生经历探究的过程，激发兴趣，感受“数形结合”思想，是一道很好的创新开放性试题。

结合题目条件，连结AC 、BC ，利用三角形相似的性质可得BE AE CE ⋅=2
，即xy CE =
，xy CD 2=，再根据圆中最长弦为直径即可得xy y x 2≥+或
xy y x 4)(2≥+或xy y x 222≥+或2
y
x xy +≤
等。

三、总复习要重视应用性试题的选择
训练学生运用数学知识、思想方法去解决一些简单的实际问题，让学生懂得数学来源于生活，又应用于生活。

例6.（2008年衢州市）1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/吨。

经测算，椪柑的销售价格定为2元/千克时，平均每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克。

⑴如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完这些椪柑？按此价格销售，获得的总毛利润是多少元（总毛利润=销售总收入－库存处理费）？
x
y C B D
A O 图3
E
⑵设椪柑销售价格定为x （20≤<x ）元/千克时，平均每天能售出y 千克，求y 关于x 的函数解析式；如果要在2月份售完这些椪柑（2月份按28天计算），那么销售价格最高可定为多少元/千克（精确到0.1元/千克）？
选题说明：试题的背景是当地特产椪柑的销售问题，体现了数学应用的情境性，问题设置层次鲜明，一方面突出了对相关知识（一次函数、不等式的解法与应用）现实意义的理解水平的考查，另一方面也评价了考生数学应用意识、运用数学知识解决实际问题的能力。

此题提醒我们在教学中要重视数学应用题阅读能力的培养，重视基础题型的教学，重视一题多变、一题多解的教学，引导学生关注生活、关注社会。

四、总复习要重视探索性试题的选择
探索性试题有利于训练学生的数学阅读理解、观察、类比、归纳能力，对综合运用知识能力有一定的要求。

在复习时应注意选取这类问题，帮助学生归纳解决此类问题的方法。

例7.（2008年北京市）请阅读下列材料：
问题：如图4-1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC ．若︒=∠=∠60BEF ABC ，探究PG 与PC 的位置关系及
PC
PG
的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PC
PG
的值； ⑵将图4-1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF
恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图4-2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
⑶若图4-1中α2=∠=∠BEF ABC )900(︒<<︒α，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PC
PG
的值（用含α的式子表示）． 选题说明：本题是一道探索性的几何综合题，题干以阅读材料的形式呈现，降低了题目的难度。

本题以菱形为基本图形，并作为探究的平台，为了解答的要求，试题做了适当的铺垫，然后由静到动，不断加大探索的难度，层次性较强，对于引导在教学中培养学生的探索精神具有一定的作用。

本题给出在特殊情况下的一种解决问题的方法，考查了类比与迁移的能力。

例8.（2008年天津市）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE 、CF 分别与直线AB 交于点M 、N ．
D
A B E
F C
P
G
图4-1
D
C G
P
A
B
E F
图4-2
C
A
B
E
F M
N 图5-2
C
A
B
E
F M
N 图5-1
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图5-1，求证：2
22BN AM MN +=； 思路点拨：考虑2
2
2
BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△
ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请完成证明
过程．
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图
5-2
的位置时，关系式
222BN AM MN +=是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
选题说明：这是一道动态探索题，就试题本身来说，难度较大。

但经过命题者巧妙的思路点拨，大大降低了试题的难度。

在解决问题的基础上对问题进行拓展，用类比的方法进行探究，这种类比性的探究性问题在近几年的中考中颇为多见。

本题探究的是三线段的平方之间的关系，我们可抓住问题的关键，对折后所得的三角形内角度数是可以测量的，若能量出该三角形是直角三角形，那么前者问题的结论在后者中可猜想是成立的，然后再进行证明。

五、总复习要重视图表信息型试题的选择
生活中的数学要求我们能够从图表、图象、文字及各种材料中获取信息，并对它们进行加工、整合，作出合理的解释。

近年来，各地加强了此类试题的考查，设计了众多情境新颖、形式活泼、思维含量丰富的试题，打破了原来“非算即证”的数学命题格局，提高了对学生的观察思考、分析推理和类比迁移能力的考查力度。

例9.（2008年南京市）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为)(h x ，两车之间的距离．．．．．．．为)(km y ，图6中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
信息读取
⑴甲、乙两地之间的距离为 km ；⑵请解释图中点B 的实际意义； 图象理解
⑶求慢车和快车的速度；
⑷求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决
图6
A B C D
O y /km
900
12 x /h
4
⑸若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
选题说明：此题是压轴题，它的呈现方式与以往的试题相比有其独到之处，让学生在经历“信息提取”、“图像理解”、“问题解决”的过程中，更进一步体会数形结合的思想方法。

题目中“两车之间的距离”这一改变，就把学生带入到一个新的问题情境之中，而问题分层设置、逐步引导学生探究解决问题的方法，有利于激发学生的思维激情和潜能，体现了尊重学生数学差异的理念。

例10.（2008年河北省）在一平直河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是km 3和km 2，
akm AB =)1(>a ．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图7-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且)(1km BA PB d +=（其中l BP ⊥于点P ）；图7-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为
2d ，且)(2km PB PA d +=（其中点A '与点A 关于l 对称，B A '与l 交于点P ）．
观察计算：⑴在方案一中，=1d ____km （用含a 的式子表示）；
⑵在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图7-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，
=2d _____km （用含a 的式子表示）．
探索归纳
⑴①当4=a 时，比较大小：1d ______2d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当6=a 时，比较大小：1d ______2d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
⑵请你参考右边方框中的方法指导，就a （当1>a 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
选题说明：本题通过文字表述、图表数据等呈现方式将要考查的内容构成信息系统和探究情境，是一个蕴涵了让学生经历观察、动手操作、猜测、合情推理、有条理论证的数学活动过程。

题目将对称、勾股定理、不等式等多个数学概念、方法的应用有机地融入一个真实的生活情境之中，使该题的信息含量和知识含量大
A
B P
l
l
A
B P A ' C
图7-1 图7-2
l
A
B P A '
C
图7-3
K 方法指导
当不易直接比较两个正数m 与n 的大小时，可以对它们的平方进行比较：
∵))((2
2n m n m n m -+=-，0>+n m
∴)(2
2n m -与)(n m -的符号相同.
当02
2>-n m 时，0>-n m ，即n m >；
当02
2=-n m 时，0=-n m ，即n m =；
当02
2<-n m 时，0<-n m ，即n m <；
大增加。

本题可以使不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度，较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知的能力，具有一定的区分度和选拔功能。

六、总复习要重视阅读理解型试题的选择
阅读理解类试题内容丰富，涉及的知识也非常广泛，代数的、几何的，甚至是学生目前没有接触过的高中或大学的新知识。

虽然背景较新，但基本思维层次仍在学生“跳一跳、够得着”的范围之内。

例11.（2008年乌鲁木齐市）先阅读，再解答：
我们在判断点（7-，20）是否在直线62+=x y 上时，常用的方法：把7-=x 代入62+=x y 中，由2086)7(2≠-=+-⨯，判断出点（7-，20）不在直线62+=x y 上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A （1，2）B （3，4）C （1-，6）三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由．
选题说明：此题是试卷中的倒数第二题，首先要求学生必须找到判断三点确定一个圆的方法，而“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实是学生所熟知的，在此处又是学生容易忽视的，只要冷静思考，是可以从题目前半部分的表述中得到启发的。

其次题目用函数来解决几何问题，虽所用的都是基础知识，但解决问题的方案设计则需学生具备较高的综合能力。

例12.（2008年盐城市）阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵0)(2
≥-b a ，∴02≥+-b ab a ，
∴ab b a 2≥+，只有点b a =时，等号成立．
结论：在ab b a 2≥+（a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则p b a 2≥+，只有当b a =时，
b a +有最小值p 2．
根据上述内容，回答下列问题：
若0>m ，只有当=m 时，m
m 1
+有最小值 ．
思考验证：如图8-1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点，（与点A 、B 不重合）．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，a AD =，b DB =．试根据图形验证ab b a 2≥+，并指出等号成立时的条件．
探索应用：如图8-2，已知A （3-，0）、B （0，4-）为双曲线
x
y 12=)0(>x 上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴
于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
选题说明：本题首先将基本不等式介绍给学生，在此基础上构造问
A
O D B
C
图8-1
y x
B
A
D
P
C
O 3-
4- 图8-2
题，各问题难度分明，逐步递进，可引导学生逐步深入思考。

其次，在解决这一系列问题的过程中，有效地考查了学生认识新事物和运用新知识解决问题的能力。

此题解决过程中始终贯穿化归思想，要求学生只有紧紧把握化归目标，才能步步为营，逐步解决问题。

七、总复习要重视综合性试题的选择
一个好的综合性试题，涉及的知识点、解决方法都比较多，能较全面地帮助学生复习、巩固基础知识。

例13.（2008年台州市）如图9，在矩形ABCD 中，9=AB ，33=AD ，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）
，过点P 作直线PQ ∥BD ，交CD 边于Q 点，再把△PQC 沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．
⑴求CQP ∠的度数；
⑵当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？ ⑶①求y 与x 之间的函数关系式；
②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
27
7
? 选题说明：本题设计灵感来自于对贴在墙上的矩形纸片的自然脱落过程的观察和动态想象，探索图形在变化过程中某些特征（位置、形状、大小）的变化规律是题目要研究的重要内容。

本题着重考查学生的数学观察、实验、归纳、猜想和逻辑检验的水平，在考查学生数学思考的同时，考查了三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数、勾股定理、轴对称变换、一元二次方程、实数的大小比较等相关知识。

题目入口较宽，图形背景熟悉，学生既可以选择三角函数和勾股定理解题，也可以用相似三角形和勾股定理解题，而后一种解法则更具有一般性。

总之，总复习时一定要认真分析近几年各地的中考数学试题，关注中考命题的最新动态，这样才有利于学生掌握和巩固基础知识与技能，提高综合应用知识的能力和迁移能力，从而拓宽学生视野，培养学生思维的广阔性，提高学生分析问题和解决问题的能力，切实提高数学总复习效率。

D
Q
C B
P R
A
图9。