高考数学 专题9 平面解析几何 72 双曲线的定义与标准

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 72 双
曲线的定义与标准方程 理
2．已知方程x 22－m ＋y 2
m －1
＝1的图象是双曲线，则m 的取值范围是________．
3．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为________．
4．(2015·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双
曲线的一个焦点在抛物线y 2
＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________． 5．过点(1,1)且b a
＝2的双曲线的标准方程是________________．
6．(2015·山东滕州第一中学1月期末)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的
垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为________．
7．(2015·宜宾一模)已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足PF 2－PF 1＝2，当点P 的纵坐标为1
2
时，点P 到坐标原点的距离是________．
8．(2015·开封摸底)从双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2
的切线，切点
为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO －MT 与b －a 的关系为________．
9．已知圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B (3
2
，－5)，则曲线C 一定是________．
10．(2015·宝鸡质检)已知双曲线的方程是x 29－y 2
16＝1，设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，
点P 在双曲线上且PF 1·PF 2＝32，则∠F 1PF 2的大小为________．
11．已知圆C ：(x －3)2
＋y 2
＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程是__________________．
12．已知P 是双曲线x 264－y 2
36＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的
值为________．
13．(2015·扬州二模)圆x 2
＋y 2
＝4与y 轴交于点A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．
14．(2014·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x
＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．
答案解析
1．一条射线
解析 因为PM －PN ＝MN ＝4，所以动点P 的轨迹是以N (2,0)为端点向右的一条射线． 2．m <1或m >2
解析 由(2－m )(m －1)<0，得m <1或m >2. 3．x 2
－y 2
4
＝1
解析 方法一 由题意得，双曲线的另一个焦点F 2的坐标为(5，0)， 点P 的坐标为(5，4)，所以PF 1＝25
2
＋42＝6，PF 2＝4，a ＝6－42
＝1，b 2＝c 2－a 2
＝4，
所以双曲线的方程为x 2
－y 2
4
＝1.
方法二 由题意得，双曲线的另一个焦点F 2的坐标为(5，0)，点P 的坐标为(5，4)，设
双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2
＝5，52a
2－42
b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，
故双曲线的方程为x 2
－y 2
4＝1.
4.x 24－y 2
3
＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a
x ，
又渐近线过点(2，3)，所以2b
a
＝3，即2b ＝3a ，①
抛物线y 2
＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2
＋b 2
＝7，即a 2
＋b 2
＝7，② 联立①②解得a 2
＝4，b 2
＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 2
3
＝1.
5.x 2
12－y 2
＝1或y 2
12
－x 2
＝1 解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a
2＝1，代入点(1,1)，
得a 2
＝12.此时双曲线方程为x 2
12－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 2
1
2
－x 2
＝1.
6.x 24－y 2
12
＝1
解析 依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)， ∴c ＝4，
4－a
2
＋－b
2
＝4，
又a 2
＋b 2
＝16，∴a ＝2，b 2
＝12， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 2
12＝1.
7.62
解析 由已知可得动点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，∴b ＝1， ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝1(x ≤－1)．
将y ＝12代入上式，可得点P 的横坐标为x ＝－52，
∴点P 到原点的距离为 －5
2
2
＋
12
2
＝
62
. 8．MO －MT ＝b －a
解析 设F 1是双曲线的右焦点，连结PF 1， 由双曲线的定义知PF －PF 1＝2a ，① ∵OM 是△FF 1P 的中位线， ∴PF 1＝2OM ，②
又∵M 是FP 的中点，∴PF ＝2MF ，③ ②③代入①得2MF －2OM ＝2a ，
MF －OM ＝a ，④
∵MF ＝MT ＋TF ，
TF 2＝OF 2－OT 2＝c 2－a 2＝b 2，
∴TF ＝b ， ∴MF ＝MT ＋b ，⑤
把⑤代入④得MT ＋b －OM ＝a ，
∴OM －MT ＝b －a . 9．双曲线
解析 设圆锥曲线C 的方程为x 2
m ＋y
2
n
＝1，则⎩⎨⎧
4
m ＋12
n ＝1，
9
4m ＋5
n ＝1，
解得n ＝－4，m ＝1，所以曲线C 一定是双曲线． 10.π2
解析 由双曲线的方程x 29－y 2
16＝1，
得a 2
＝9，b 2
＝16，c 2
＝25， 设∠F 1PF 2＝θ， 在△PF 1F 2中，
F 1F 22＝PF 21＋PF 2
2－2PF 1·PF 2·cos θ
＝(PF 1－PF 2)2
＋2PF 1·PF 2·(1－cos θ)， ∵F 1F 2＝2c ＝10，
∴100＝36＋64×(1－cos θ)，∴cos θ＝0， ∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2，
∴∠F 1PF 2＝π
2.
11．x 2
－y 2
8
＝1 (x ≤－1)
解析 由题意知PC －PA ＝2<6＝AC ，
故点P 的轨迹是以(±3，0)为焦点的双曲线的左支． 所以点P 的轨迹方程是x 2
－y 2
8＝1 (x ≤－1)．
12．33
解析 由双曲线方程x 264－y 2
36＝1知，a ＝8，b ＝6，
则c ＝a 2
＋b 2
＝10. ∵P 是双曲线上一点， ∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33.
又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33. 13.y 24－23－x 2
23
＝1 解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
C (x ′，y ′)(x ′<0，y ′>0)， BC ＝t (0<t <22)．
如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， 作CE ⊥AB 于E ， 则BC 2
＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14
t 2
.
∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′＝－12t 2
＋2t ＋8
＝－12(t －2)2
＋10，
∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，
又点C 在双曲线的上支上，且A 、B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，
∴所求方程为y 24－23－x 2
23＝1.
14.x 25－y 2
20
＝1
解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，
因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a
＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.
由⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝2，
c ＝a 2＋b 2＝5
得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝5，
b 2
＝20.
故双曲线的方程为x 2
5－y 2
20＝1.。