江苏省九年级上学期期末模拟考试数学试题

江苏省九年级上学期期末模拟考试数学试题
一、选择题
1．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
2．已知34
a b
=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．
34a b = B ．34a b =
C ．
43
b a = D ．43a b =
3．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，
90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）
A ．3242
B ．3或4
C ．2242
D ．2或4
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为
（ ） A ．
45
B ．
34
C ．
43
D ．
35
5．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A ．方差
B ．平均数
C ．众数
D ．中位数
6．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ；
②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；
④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．10x =，23x =-
D ．10x =，23x =
8．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
15
9．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于
G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）
A ．一定相似
B ．一定全等
C ．不一定相似
D ．无法判断 10．已知α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根，则αβ+的值为（ ） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
11．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )
A ．10π
B 10
C 10π
D ．π
12．cos60︒的值等于（）
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
3
3
13．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（）
A．3
5
B．
3
8
C．
5
8
D．
3
4
14．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）
A．(2，3) B．(﹣2，3) C．(2，﹣3) D．(﹣2，﹣3) 15．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x+1
x
＝4 D．x2＝3x﹣2
二、填空题
16．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC 的面积之比为______．
17．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm，母线长为7cm，那么它的侧面展开图的面积是_____cm2．
18．一元二次方程290
x的解是__．
19．若
5
3
x y
x
+
=，则
y
x
=______.
20．O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与O的位置关系是______. 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线EF是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠ADB＝54°，则∠CBF＝____°．
22．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
23．某一时刻，一棵树高15m，影长为18m．此时，高为50m的旗杆的影长为_____m．24．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．
25．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．
26．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，E 、F 分别为AC 、AD 上两动点，连接CF 、EF ，则CF ＋EF 的最小值为_____．
27．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
28．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为3
5
，则m ＝__． 29．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则
1212x x x x +-•=__________．
30．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．
三、解答题
31．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t （件）与每件的销
售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x.
（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；
（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D 作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）求证：BF＝EF；
33．如图，C是直径AB延长线上的一点，CD为⊙O的切线，若∠C＝20°，求∠A的度数．
34．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩/分888990919596979899
学生人数2132121
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表：
平均数众数中位数
9391
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为
“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
35．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AB BD AD
A B B D A D
==
''''''
．判断△ABC和
△A′B′C′是否相似，并说明理由．
四、压轴题
36．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，
4），一次函数
2
3
y x b
=-+的图像与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD BE
=，
M是线段DE上的一个动点
（1）求b的值；
（2）连接OM，若ODM
△的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；（3）设N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
37．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证
明．
（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．
38．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长. 39．MN 是
O 上的一条不经过圆心的弦，4MN =，在劣弧MN 和优弧MN 上分别有
点A,B （不与M,N 重合），且AN BN =，连接,AM BM .
（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数；
（2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：
290MOD DMO ︒∠+∠=；
（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求
出这个值；若不是，请说明理由. 40．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC 的性质即可解题. 【详解】
解：∵∠ADC=110°,即优弧ABC 的度数是220°, ∴劣弧ADC 的度数是140°, ∴∠AOC=140°, ∵OC=OB,
∴∠OCB=1
2
∠AOC=70°, 故选D. 【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解：由
34
a b
=，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误； C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确； D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】 解：如图所示，
∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形，
∴A,B,C,D 四点共圆， ∵AC=BC ，
∴BAC ABC 45∠∠==︒， ∴ADC ABC 45∠∠==︒， 作AE CD ⊥于点E,
∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD 2x =，
∵CD=7,CE=7-x, ∵AB 52=， ∴AC=BC=5，
在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+， ∴()2
2257x x =+- 解得，x=3或x=4， ∴AD 232x ==或42.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据勾股定理求出AB 的长，在求出∠ACD 的等角∠B ，即可得到答案. 【详解】
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴2222AB AC BC 345=+=+=, ∵CD ⊥AB, ∴∠ADC=∠C=90°, ∴∠A+∠ACD=∠A+∠B, ∴∠B=∠ACD=α, ∴4
cos 5
BC cos B AB α===. 故选：A.
【点睛】
此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．【详解】
平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差
故选A
考点：方差
6．B
解析：B
【解析】
分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【详解】
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105
=． 【详解】
解：()21P 105
=
=次品 ． 故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键． 9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．
【详解】
解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，
∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，
∴A DCH ∠∠=，
∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，
∴ADG CDH ∠∠=，
继而可得出AGD CHD ∠∠=，
∴ADG ~CDH ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出αβ+的值．
【详解】
解：∵α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根
∴212αβ-+=-
= 故选C ．
【点睛】
此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=b a
-是解决此题的关键． 11．C
解析：C 【解析】
【分析】
【详解】
如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：2210AD CD +=
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°， 则顶点A 所经过的路径长为601010π⨯=． 故选C.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可．
【详解】
解：cos60°=
12
. 故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值. 13．B
解析：B
【分析】
先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】
因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是3
．
8
故选B．
【点睛】
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.
【详解】
解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.
二、填空题
16．1：9．
试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9.
考点：相似三角形的性质.
解析：1：9．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9.
考点：相似三角形的性质.
17．35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr即可求解．
【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
解析：35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=1
2
lr即可求解．
【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：1
2
×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18．x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一
解析：x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵290
x-=
∴2x=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 19．【解析】
【分析】
将已知比例式变形化成等积式，整理出x与y的倍数关系，再化成比例式即可得.
【详解】
解：∵，
∴3x+3y=5x,
∴2x=3y,
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查比例的
解析：2 3
【解析】
【分析】
将已知比例式变形化成等积式，整理出x与y的倍数关系，再化成比例式即可得.【详解】
解：∵
5
3
x y
x
+
=，
∴3x+3y=5x,∴2x=3y,
∴
2
3 y
x .
故答案为：2 3 .
【点睛】
本题考查比例的基本性质，解题关键是将比例式与等积式之间能相互转换.
20．相交
【解析】
【分析】
由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的
解析：相交
【解析】
【分析】
由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，
∵4＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交.
【点睛】
本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.
21．46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠AD B＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆
解析：46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，
然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.
【详解】
解：连接OB，OC，
∵直线EF是⊙O的切线，B是切点
∴∠OBF=90°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB＝54°
又∵∠D CB＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=1
(18092)44 2
-=
∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
22．（2，﹣3）
【解析】
【分析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题
解析：（2，﹣3）
【解析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.
23．60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴，
由题意知AB
解析：60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．
【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴AB DC
BE CE
=，
由题意知AB=50,CD=15,CE=18,
即，5015
18
x
=，
解得x＝60，
经检验，x=60是原方程的解，
即高为50m的旗杆的影长为60m．故答案为：60．
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例.
24．【解析】
【分析】
根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．
【详解】
解：∵AO＝8米，AB＝10米，
∴OB＝6米，
∴圆锥的
解析：60
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方
法S＝1
2
lr，求得答案即可．
【详解】
解：∵AO＝8米，AB＝10米，
∴OB＝6米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
∴S扇形＝1
2
lr＝
1
2
×12π×10＝60π米2，
故答案为60π．【点睛】
本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝1
2
lr是解题的关键．
25．【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203
【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
123////l l l ，
AB DE BC EF
∴=， 3,5,4AB BC DE ===，
345EF
∴=， 解得203
EF =
， 故答案为：203
． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
26．【解析】
【分析】
作BM⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥BM，即可得出答案 解析：245
【解析】
【分析】
作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD ⊥BC ，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF ≥BM ，即可得出答案．
【详解】
作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF＋EF＝BF＋EF≥BF＋FM＝BM，即CF＋EF≥BM，
∵S△ABC＝1
2
×BC×AD＝
1
2
×AC×BM，
∴BM＝
6424
55 BC AD
AC
，
即CF＋EF的最小值是24
5
，
故答案为：24
5
．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
27．【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛
解析：【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
28．5
【解析】
【分析】
根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：由题意得，
解得m ＝5，
经检验m ＝5是原分式方程的根，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，根据概率公
解析：5
【解析】
【分析】
根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：由题意得，
10m 3610m 45
+=+++ 解得m ＝5，
经检验m ＝5是原分式方程的根，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．
29．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠
解析：2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵2350x x +-=
∴12x x +=-3, 12x x •=-5
∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a
•=是解答本题的关键． 30．【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，
△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据 解析：23
【解析】
【分析】
根据题意说明PB 1∥A 2 B 3，A 1B 1∥A 2B 2，从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系，根据A 2B 3=A 2B 2，得到PB 1和QB 1的比值.
【详解】
解：∵△ABB 1，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3是全等的等边三角形，
∴∠BB 1P=∠B 3，∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3，
∴PB 1∥A 2B 3，A 1B 1∥A 2B 2，
∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2， ∴112331==3PB BB A B BB ,112221==2
QB BB A B BB , ∴1231=3PB A B ，1221=2
QB A B ， ∵2322=A B A B ， ∴PB 1∶QB 1=
13A 2B 3∶12A 2 B 2=2：3.
故答案为：2 3 .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
31．（1）y= -3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.
【解析】
【分析】
（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；
（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．
【详解】
（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x2+330x-8568；
（2）y=-3x2+330x-8568= -3(x-55)2+507
因为-3<0，
所以x=55时，y有最大值为507.
答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32．见解析
【解析】
分析：
（1）连接OD，由已知易得∠B=∠C，∠C=∠ODC，从而可得∠B=∠ODC，由此可得
AB∥OD，结合DF⊥AB即可得到OD⊥DF，从而可得DF与⊙O相切；
（2）连接AD，由已知易得BD=CD，∠BAD=∠CAD，由此可得DE=DC，从而可得DE=BD，结合DF⊥AB即可得到BF=EF.
详解：
（1）连结OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥OD，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）连接AD．
∵AC是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，
∴DE=DC，
∴DE=DB，又DF⊥AB，
∴BF=EF．
点睛：（1）连接OD，结合已知条件证得OD∥AB是解答第1小题的关键；（2）连接AD 结合已知条件和等腰三角形的性质证得DE=DC=BD是解答第2小题的关键.
33．35°
【解析】
【分析】
连接OD，根据切线的性质得∠ODC=90°，根据圆周角定理即可求得答案.
【详解】
连接OD，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC=90°﹣∠C=70°，
由圆周角定理得，∠A=1
2
∠DOC=35°．
【点睛】
本题考查了切线的性质和圆周角定理，有圆的切线时，常作过切点的半径．
34．（1）5；3；90；（2）91；（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意即可得出结果；
（2）由20×50%=10，结合题意即可得出结论；
（3）由20×30%=6，即可得出结论．
【详解】
（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
出现次数最多的是90分，
∴众数是90分；
故答案为：5；3；90；
（2）20×50%＝10，
如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；
故答案为：91；
（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
∵20×30%＝6，
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．
【点睛】
本题考查了众数、中位数、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数、用样本估计总体是解题的关键．
35．△ABC ∽△A 'B 'C '，理由见解析
【解析】
【分析】
由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得
△ABD ∽△A 'B 'D '，进而可得∠B ＝∠B '，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC ∽△A 'B 'C '．
【详解】
△ABC ∽△A 'B 'C '， 理由：∵
==''''''
AB BD AD A B B D A D ∴△ABD ∽△A 'B 'D '，
∴∠B ＝∠B '， ∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线 ∴12BD BC =，1''''2
B D B
C =， ∴12==1''''
''2
BC AB BC A B B C B C ， 在△ABC 和△A 'B 'C '中 ∵=''''
AB BC A B B C ，且∠B ＝∠B '
∴△ABC ∽△A 'B 'C '．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似．
四、压轴题
36．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(
,)1313 【解析】
【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值；
（2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标．
【详解】
（1）在23
y x b =-+中，令x=0，解得y=b ， 则D 的坐标是(0,b)，OD=b ，
∵OD=BE ，
∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ），
将点E 代入23y x b =-
+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3；
(2)如图，∵OAED S 四边形=11()(31)3622
OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3,
∴13=42
ODM OAED S S ∆=四边形 设M 的横坐标是a ，则
13322a ⨯=， 解得：1a =， 将1x a ==代入233
y x =-+中，得： 27333
y =-⨯+=
则点M 坐标为7(1,)3；
（3）依题意，有两种情况：
①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是
32， 把32y =代入233
y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94
x =， ∴点M 坐标为93(,)42，
点N 坐标为93
(,)42
-；
②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3，
设M 的坐标2(,3)3
m m -+， 由OM=OD 得：222(3)93m m +-
+=， 解得：3613
m =或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(
,)1313
， 又MN ∥OD ，MN=OD=3，
∴点N 的坐标为3654(,)1313，
综上，满足条件的点N 坐标为
93
(,)42-或3654(,)1313
．
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
37．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH 的长为3﹣1或3+1．
【解析】
【分析】
（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.
（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明.
（3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.
【详解】
解：（1）如图2，
在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，
∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ，
在△FAG 和△FBC 中，
,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。