自动控制原理-第五章

2.高频段 在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为
渐近特性和准确特性相比,存在误差:越靠近转折频率,误差越大，如在转折频率这一点,误差最大，精确值为 L(=1/T)=-20lg21/2=-3dB 这说明,在转折频率处,精确值应为用渐近线绘制的对数幅值减去3dB。
为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。同时，如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。
而求渐近线时可先绘出构成系统的各串联典型环节的对数幅频特性的渐近线，再由各环节的对数幅频特性的纵坐标值相加而得到。
绘制开环系统的对数相频特性可根据其表达式计算、描点而得到，也可以由各环节的相频特性相加而得。
实际上，与开环奈氏图的绘制相同，当系统全由除延迟环节以外的典型环节构成时(开环传递函数全为左极点与左零点),开环波德图的绘制也具有一定的规律，可以大大简化曲线的绘制过程。
比例环节的相频特性仍为()=0,与无关，为相频特性图的横轴,如图5-29所示。 K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降，不改变其形状与对数相频特性。
二、积分环节 积分环节的频率特性为 幅频特性 为A()=1/ 其对数幅频特性为 L()=20lgA()=20lg(1/)=-20lg 绘出对数幅频特性曲线上的几个点： 当=0.1时,L(0.1)=+20dB ； 当=1时,L(1)=0dB； 当=10时, L(10)=-20dB。
容易看出各环节的单独作用，便于对系统的分析设计。
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可以用分段的直线(渐近线)来代替典型环节的准确的对数幅频特性，而且稍加修正就可得到精确的曲线。
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可根据实测数据绘制出波德图，再求出开环传递函数，便于采用物理实验的方法求取系统或元件的数学模型。
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2典型环节的波德图
一般为简化作图过程，常用分段直线近似表示对数幅频特性曲线，这种处理引起的误差一般在允许范围内。当需要精确曲线时，可以对分段直线进行简单的修正。
对数频率特性的横坐标如图6.3所示。图中横坐标采用对数比例尺(或称对数标度), 横坐标即频率坐标是按ω的对数值1gω进行线性分度的，如=1,lg1=0；=2,lg2=0.301；=3,lg3=0.477；=4,lg4=0.602；=5,lg5=0.699；=6,lg6=0.778；=7,lg7=0.845；=8,lg8=0.903；=9,lg9=0.954；=10,lg10=1。
当振荡环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。
八、延迟环节 延迟环节的频率特性为G(j)=e- j 幅频特性为A()=1
对数幅频特性为 L()=20lgA()=0dB 对数幅频特性L()为一条与横轴重合的直线，如图所示。 对数相频特性为()=-，单位为弧度（rad）。又有
在T=1/T附近,用渐近线得到的对数幅频特性存在较大误差，近似值为 L(T)=20lg1=0
而准确值为 L(T)=20lg[1/(2)]
只在=0.5时,二者相等。在不同时,精确曲线如图5-36所示。
当ζ<0.707时，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且ζ越小，谐振峰值Mr越大，谐振角频率ωr越接近于转折频率T（无阻尼自然振荡频率n）。
考虑到波德图是以lg为自变量，所以有
因此，()是呈指数规律下降的曲线，随ω增加而滞后无限增加，延迟环节的对数相频特性示于图。相关相位见表5-8。
可见，延迟时间越大，在较低频率处所引起的相位滞后也越大。从后面的分析可以得出，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利。
绘制系统的开环对数幅频特性可先绘出渐近线，再经过简单的修正得到精确的曲线。
频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。实际上由于lgω相当于自变量，从对数幅频特性的表达式可以直接看出，L()跟随lg变化，二者之间的函数关系是均匀线性的，斜率为-20dB/dec。 积分环节的对数相频特性为 ()=-90。 它与频率无关,在0≤≤的频率范围内,为平行于横轴的一条直线,如图5-30所示。
对数幅频特性为
其幅频特性为 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为
频段
六、二阶振荡环节 振荡环节的频率特性为 幅频特性为 对数幅频特性为
1.低频段 T<<1(或<<1/T)时, L()20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线重合。 2.高频段 T>>1(或>>1/T)时,并考虑到（0≤≤1），有 L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT--40lg dB 这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线,称为高频渐近线。 T=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。振荡环节对数幅频特性渐近线见图5-35。
四、惯性环节 惯性环节的频率特为 幅频特性A(ω)= 故对数幅频特性为
故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称为低频渐近线,见图5-32。
1.低频段 在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有
L()为因变量，lg为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 当频率变化10倍频时,L()变化-20dB，如图5-32，这称为高频渐近线。它与低频渐近线的交点为T =1/T。高频渐近线和低频渐近线的交点频率T=1/T称为转折频率，转折频率是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。
若横轴上有两点ω1与ω2，则该两点的距离不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1,如2与20、10与100之间的距离均为一个单位长度，即一个十倍频程。
对数幅频特性曲线的纵坐标是将A(ω)取常用对数，并乘上20倍，变成对数幅值L() ，单位为dB（分贝）。 由于直接标注L()的数值，纵坐标是均匀的普通比例尺。A()每变大十倍,L()增加20dB。 至于对数相频特性,其横坐标与幅频特性的横坐标相同,不是均匀的线性刻度；其纵坐标直接表示相角位移,单位为“度”(),采用普通比例尺。 对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于lgω为自变量。
图5-37 二阶系统渐近线的修正曲线 由表5-7 可见，当0﹒4≤ζ≤0﹒7时，误差小于3分贝，这时可以不对渐近线进行修正；但当ζ<0.4或ζ>0.7，误差很大，必须对渐近线进行修正。在转折频率附近的修正曲线见图5-37。
Hale Waihona Puke 振荡环节的对数相频特性为可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→-180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()（ω）=-90°这一点斜对称。振荡环节的对数相频特性既是ω的函数，又是ζ的函数。随阻尼比ζ不同，对数相频特性在转折频率附近的变化速度也不同。ζ越小，相频特性在转折频率附近的变化速度越大，而在远离转折频率处的变化速度越小。
当积分环节的比例系数为K时，即频率特性为
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则对数幅频特性为 L()=20lgA()=20lg(K/)=20lg K -20lg 相当于整体斜线高度上升20lg K ，K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降，不改变原有形状与对数相频特性。此时L(1)=20lg K，对数频率特性曲线在=K这一点穿过0dB线。
对数相频特性为() = -arctanT。 为了近似绘制相频特性,选择确定以下几个点，见表5-6 。
同时，由于惯性环节的相位与频率呈反正切函数关系，所以，对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-45°这一点对称，如图所示，可以清楚地看出在整个频率范围内，()呈滞后持续增加的趋势，极限为-90。 当惯性环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。
的对数幅频特性曲线如图5-28所示，并分别绘制出精确曲线与渐近线。
对数频率特性曲线反映L(ω)=20lg A(ω)与()随lgω变化的规律，从而间接反映A(ω)与()随ω变化的规律。如惯性环节
波德图采用半对数坐标具有如下优点： 1.缩小了比例尺,使横坐标的低频段大大展宽，而高频段压缩，能够展示更宽的频率范围，便于分析和设计系统。幅频特性采用分贝表示幅值后，纵坐标高段也相对缩小，幅频特性曲线斜率下降，范围更广，图示更清楚。 2.大大简化绘制系统频率特性的工作。当系统由许多环节串联构成时，开环频率特性为G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)= A()ej() 式中 A()=A1()A2()…An()； () = 1() + 2() + … + n() 在极坐标中绘制幅相频率特性,要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时,有 L() =20 lgA()= 20lgA1() + 20lgA2() + …+ 20lgAn() = L1()+L2()+…+Ln() 则复杂的乘除运算变成了简单的加减运算,这样,如果先绘出各环节的对数幅频特性,然后进行加减,就能得到串联各环节所组成系统的对数频率特性，作图大为简化。
5.3对数频率特性及其绘制
5.3.1对数频率特性曲线基本概念
对数频率特性曲线是频率法中应用最广泛的曲线，常称为波德(Bode)图，分为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。波德图是绘制在以10为底的半对数坐标系中的，它的特点是横坐标采用对数刻度，因此刻度不是线性均匀的，而纵坐标则仍采用均匀的线性刻度。
比例环节
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比例环节的频率特性表达式为 G(j)=K
幅频特性A(ω)= K，则比例环节的对数幅频特性为 L() = 20lg|G(j)| = 20lgK
在对数频率特性上表现为平行于横轴的一条直线。若K=100,则L()=20lg100=40分贝，如图6.5所示。当K＞1时，该平行线位于0dB线之上；当0＜K＜1时，该平行线位于0dB线之下；当K=1时，该平行线与0dB线重合。
三、微分环节 理想微分环节的频率特性为 G(j)=j 幅频特性为A()=，对数幅频特性为 L()=20lgA()=20lg
在时间常数T已知时，可以在从0变化到∞的范围内，逐点求出L()值，从而绘制出精确的对数幅频特性曲线，但十分费时。在工程中，一般采用渐近线近似的方法，这已经满足大多数情况下的要求。可以分段讨论如下。
标注角频率的真值,以方便读数。每变化十倍,横坐标1gω就增加一个单位长度，记为decade或简写dec。这个单位长度代表十倍频率的距离,故称之为“十倍频”或“十倍频程”。
由于横坐标按照ω的对数来分度，对于ω是不均匀的，但对1gω却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。
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三、微分环节
与积分环节类似，L()跟随lg变化，二者之间的函数关系是均匀线性的，斜率为20dB/dec。频率每增加10倍，幅频特性上升20dB。理想微分环节的对数幅频特性为一条斜率为+20dB/十倍频的直线, 它在=1处穿过零分贝线,如图5-31所示。若K值变化将使对数幅频特性曲线上升（K＞1）或下降（0＜K＜1）。 理想微分环节的相频特性为()=90 在0＜＜的范围内,它是平行于横轴的一条直线。 积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以轴为镜象。