线性代数宝典5

五、特征值与特征向量、相似矩阵与二次型
1. 正交矩阵:T T AA A A E ==.则称A 为正交矩阵. 注1.A 为正交阵,则1T A A -=,2
1A = 注2.A 为正交阵,则1
*
,,T
A A A -均为正交阵.
注3. A 为正交阵,则A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j
=⎧==⎨≠⎩ ；
注4. 若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；
注5. 求解正交阵时，千万勿忘施密特正交化和单位化。

2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a
11b a =；
1222111[,]
[,]
b a b a b b b =-
121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- 3. 数 λ为方阵A 的特征值Ax x λ⇔=0()0,0Ax x A E x x λλ⇔-=⇔-=≠
()0A E x λ⇔-=有非零解0A E λ⇔-=．
4. 如何求特征值与特征向量？
(1)A 为具体矩阵
第一步. 求解0A E λ-=得特征值12,,,n λλλ (可能有重根)
第二步. 对每个i λ求出()0i A E x λ-=的基础解系1,...,i n ξξ(即对应i λ有i n 个线性无关的特征向量) 第三步. i λ对应的全部特征为111(,...,)i i i n n n k k k k ξξ++ 不全为零 (2)A 为抽象矩阵
法一 λ为A 的特征值⇔0A E λ-=; 法二 定义法,Ax x x o λ=≠
5. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交。

6. ,A B 相似，则有四同，即
(1) A B =； (2) 相同的特征值； (3) ()()=R A R B ； (4) ii
ii
a b
=∑∑．
7. 求正交矩阵Q （1
T Q
Q -=）将实对称矩阵A 对角化的步骤
(1) 求A 的特征值与特征向量;
(2)A 的特征值无重根,将特征向量单位化；若A 的特征值有重根,,将重根对应的线性无关的特征向量正交化
再单位化 (Schmidt 正交化)得正交单位向量组123,,ηηη (3)构造正交阵()123,,Q ηηη=;
(4) 11
2
3Q AQ λλλ-⎛⎫ ⎪
=∧=
⎪ ⎪⎝
⎭
(注意i λ与i η的对应) 8．矩阵的合同
A 和
B 为两个n 阶对称矩阵,若存在n 阶可逆矩阵
C 使B AC C T =，则称A 与B 合同，称由A 到B 的变
换为合同变换.
注1经可逆线性变换原二次型矩阵与新二次型矩阵合同.
注2.C 是正交矩阵,那么1
T
C C -=,1
T
B C AC C AC -==,所以,A B 不仅合同而且相似. 注3.任一实对称矩阵均合同且相似于一个对角阵 注4．若用正交变换x Cy =,x Cy
T
T x Ax
y y ∃=∧=
(标准型)即A 与∧合同且A 与∧相似,其中∧的对角线为A
的特征值.
9. 求正交变换化二次型为标准形步骤 (1)写出二次型的矩阵A ；
(2)求出A 的特征值及特征值对应的特征向量；
(3)单位化(特征值有重根可能要正交化) ，得正交单位向量组123,,ηηη； (4)构造正交阵()123,,Q ηηη=；
(5)写出正交变换=x Qy ,得2
2
2
1122T
n n x Ax y y y λλλ=+++
注:只有用正交变换化二次型为标准形时,标准形平方项的系数才是A 的特征值.
10.矩阵的等价,相似,合同
①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ⇔=PAQ B ，（P 、Q 可逆）()()⇔=r A r B ，A 、B 同型； ②、A 与B 合同⇔=T C AC B ，（其中C 可逆）⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；
③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；
11. 合同
→←
等价 ； 相似
→←
等价； 在实对称的前提下,相似
→←
合同.
12.证明矩阵正定常用的方法
（1）1(,,)T
n f x x x Ax = 正定⇔规范标准形为2
2
1n y y ++ ．
（2）n 阶实对称阵A 正定0,0T
x x Ax ⇔∀≠>A ⇔的特征值1,,n λλ 全大于0
⇔A 的顺序主子式全大于0A ⇔的正惯性指数为n ．
（3）1(,,)T
n f x x x Ax = 正定⇒ 0,ii a i >∀ ⇒ 0A >
13. n 阶方阵A 各行元素之和为k ⇔ k 是A 的征值,T
(1,1,,1)α= 是A 属于k 的特征向量 14. 矩阵等价与向量组等价的联系与区别
一般地,矩阵等价≠>向量组等价, 向量组等价≠> 矩阵等价
例.101001,000001A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,矩阵,A B 等价,但是他们的列向量组不等价.
1100α⎛⎫
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
与12120,000ββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,两个向量组等价，但矩阵1α与()12,ββ不等价. 但()()1212,,,,,,,m n n m n n A B αααβββ⨯⨯== ,
则1212,,,,,,n n αααβββ 与等价→矩阵,A B 等价,但反之未必;。